3.4.1圆周角和圆心角的关系
课型：新授课
授课人: XXX
教学目标：
知识与技能
1．理解圆周角定义，掌握圆周角定理.
2．会熟练运用定理解决问题.
过程与方法
在学生自主探索定理的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确学习方式.
情感态度与价值观：
培养学生的探索精神和解决问题的能力.
教学重点：经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，理解和掌握圆周角定理教学难点：渗透分类讨论、归纳等数学思想方法，培养学生的探究意识和探索新知识的能力
教法与学法指导：
本节课采用“七环节”的教学模式，学生通过直观情景观察和自己动手实验，从自己的实践中获取知识，并通过讨论、练习来深化对知识的理解．同时采用了多媒体辅助教学，一方面能够直观、生动地反映图形，增加课堂的容量；另一方面有利于突出重点、突破难点，更好地提高课堂效率。

课堂上，学生主要采用动手实践，自主探索、合作交流的学习方法，在教师的引导下从直观感知上升到理性思考。

经历观察、实验、猜想、验证、论证、归纳、
推理的学习过程，让不同层次的学生有不同的收获与发展。

课前准备：制作课件 教学过程：
一、
新课导入
在射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的位置B 对球门AC 的张角（∠ABC ）有关． 仅从射门角度大小考虑，谁相对于球门的角度更好呢？
生：七嘴八舌的议论起来，有的小组有争论。

师：看来大家的观点不尽相同，通过今天这节课的学习，相信大家能够准确的回答这个问题。

这节课
我们学习第三章第四节圆周角和圆心角的关系。

二、自主探究
1．圆周角的定义
师：为解决这个问题我们先来研究一种角．观察图中的∠ABC ，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？
生：它的顶点在圆上，角的两边分别与圆还有另一个交点。

师：回答的很准确，像这样的角，叫做圆周角。

师：判断下图中的角是不是圆周角？并说明理由。

生：（观察、分析，由中下游学生口答）
图（2）（4）（7）是圆周角。

师：其余为什么不是圆周角？
生：图（1）（3）的顶点不在圆上，图（5）角的两边和圆没有另一个交点，图（8）角的两边只有一
条边和圆有另一个交点。

师：对比我们学过的圆心角，哪位同学能总结出圆周角的特征？ 生：圆周角有两个特征：
①角的顶点在圆上
（1） ⑵ ⑶ ⑷ ⑸
⑹ ⑺ ⑻
A C
O
②两边在圆内的部分是圆的两条弦
师：总结的很准确，希望大家判断圆周角时牢牢把握这两点特征。

师：指出图中的圆周角
∠ACO ∠ACB ∠BCO ∠BAC ∠OAC ∠CBO ∠ABC
生：∠ACB ∠BAC ∠ABC 三个角是圆周角
三、合作竞学
2.圆周角定理
师：在⊙O 上画出几个AC 弧所对的圆周角，这几个圆周角有多少关系？这些圆周角与圆心角∠AOC 的大小有什么关系？改变∠ABC 的度数，你得到的结论还成立吗？圆周角与圆心有几种不同的位置关系呢？
生：画图与观察，讨论与交流
师：在学生讨论的基础上，出示讨论结果：
师：（1）同学们在自己所画的图中，连结OA ，OC ，则∠A OC 是什么角？ （2）在所画图中探索∠A BC 和∠A OC 之间有什么大小关系？ （组织学生思考，研讨，自我归纳结论）
师：对于从有限次实验中得出的命题，能当作定理吗？ 生：不能，必须应用学过的知识进行推理论证） 师：那么，哪一种比较特殊呢？ 生：第一种。

师：证明的结论是什么呢? 生：∠B =
1
2
∠AOC 师：你是如何证明的呢？想一想，试一试。

生：独立思考分析. 找出正确思路．一名学生上黑板演证明过程
已知：⊙O 中， 所对的圆周角是∠ABC ，圆心
角是∠AOC ．
1
（点
B 在优弧A
C 上运动）
B
求证：∠ABC＝1
2
∠AOC
证明：
∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO ∵OA＝OB
∴∠ABO＝∠BAO
∴∠AOC＝2∠ABO
即∠ABC＝1
2
∠AOC
师：我们用推理论证的方法得到了第一种情况结论是成立的，对于第二、三种情况，该如何证明呢？能利用第一种情况的结论吗？试一试，并交流自己的做法。

学生独立分析后，然后在小组内交流，最后在全班交流。

生甲：如图(1)，点O在∠ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出。

由刚才的结论可知：
∠ABD＝1
2
∠AOD，∠CBD＝
1
2
∠COD
∴∠ABD＋∠CBD＝1
2
(∠AOD＋∠COD)
即∠ABC＝1
2
∠AOC
生乙：在图(2)中，当点O在∠ABC外部时，仍然是作出直径BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可。

由前面的结果，有
∠ABD＝1
2
∠AOD，∠CBD＝
1
2
∠COD
∴∠ABD－∠CBD＝1
2
(∠AOD－∠COD)
即∠ABC＝1
2
∠AOC
师：还会有其他情况吗？请思考 生：不会有
师：经过刚才我们一起探讨，从三种位置关系证明了一个命题的正确性，因此，命题：“一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”可以作为定理来使用。

（师把前面板书中的“命题”改为“定理”并强调定理使用的前提条件是“同一条弧”） 师：在上述经历探索圆周角和圆心角的关系的过程中，我们学到了什么方法？ 生：由“特殊到一般”的思想方法，转化的方法，分类讨论的方法……
师：同学们总结得很好！由此我们可以知道，当解决一问题有困难时，可以首先考虑其特殊情形，然后再设法解决一般问题，这是解决问题时常用的策略。

今后我们在处理问题时，注意运用。

四、巩固训练
1．如图，在⊙O 中，∠BOC =50°，则∠BAC =
变式题1：如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠BAC =40°，则∠BOC = 变式题2：如图，∠BAC =40°，则∠OBC =
生1：根据一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，∠BAC ＝1
2
∠BOC ＝50°（由学困生口答）
生2：∠BOC ＝2∠BAC ＝80°
生3：先求得∠BOC ＝2∠BAC ＝80°，由OB =OC 可得∠OBC=∠OCB=50° 2.
求圆中角x 的度数
2题 3题 4题
3. 如图，在直径为AB 的半圆中，O 为圆心，C ，D 为半圆上的两点，∠COD=50°， 则∠CAD=_______
4．如图，OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，∠ AOB =2∠ BOC ，∠ ACB 与∠ BAC 的大小有什么关系？为什么？
生分析: 弧BC 所对圆周角是∠ACB , 圆心角是∠AOB .则
B
A
O 70°
x
∠ACB =
12∠AOB .，弧BC 所对圆周角是∠BAC , 圆心角是∠BOC , 则∠BAC = 1
2
∠BOC 即∵∠ACB = 1
2∠AOB
∠BAC = 1
2
∠BOC
又∵∠AOB =2∠BOC
∴∠ACB =2∠BAC
5. 如图，在⊙O 中，弦BC //半径OA ，AC 与OB 相交于M ，∠C =20°，求∠AMB 的度数。

生: (板演步骤) 解:
∵∠AOB=2∠C=40° 又∵弦BC//半径OA ∴∠CBO=∠AOB=40° ∵∠AMB 是△BMC 的外角, ∴∠AMB=∠CBO+∠C=60°
五、课堂检测
1．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠ABC =70°则∠AOC 的度数等于（ ） A.140° B.130° C.120° D.110°
,
）
B. 30 D.60°
2题 3题 4题
3. 如图，点B ，C 在⊙O 上，且BO=BC ，则圆周角∠BAC 等于（ ） A.60° B.50° C.40° D.30°
4. 如图，已知BD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦AC ⊥BD 于点E ，若∠AOD=60°，则∠DBC 的度数为（ ） A.30° B.40° C.50° D.60°
C
B
A O
M
1题
O
C
B
A
六、畅谈收获
这节课你有哪些收获？让我们一起分享吧！.
化归
化归
D
D
思想方法：分类讨论，“特殊到一般”的转化
七、布置作业
随堂练习：1题 ； 习题3.4: 1题、2题
板书设计：
教学反思：
1、本节课力求形成“问题情景——自主探究——实践与应用”的课堂教学模式，“足球训练场上关于足球射门”的实际问题情景直指数学问题，使数学问题的形成和提出自然且亲近，让学生直观看到真实的世界中的“圆周角和圆心角”，加强学生的感性认识，让不同层次的学生充分参与到数学活动思维中来。

2、注重过程意识，通过一系列的问题链引导学生进行实践操作，观察比较，分类确认，使圆周角与圆心的位置关系形成分类这一主要难点自然形成且直观；通过电脑动感演示，为教学提供了一个宽松、愉悦的氛围，从而较好地突出了重点和突破难点，定理学完后，马上进行适当的练习加以巩固，让学生在思考与回答的过过程中轻松获取知识，形成能力。