G(x) = φ(x/2) − F (0), F (0) + G(0) = φ(0) = ψ (0). ( ) ( ) x − at x + at ⇒ u(x, t) = ψ +φ − φ(0). 2 2
例 2.4 对非齐次波动方程的初值问题 (2.5)、(2.6), 证明: 当 f (x, t) 不变时, (1) 如果初始条件在 x 轴的区间 [x1 , x2 ] 上发生变化, 那么对应的解在区间 [x1 , x2 ] 的影响区域外不发生变化; (2) 在 x 轴区间 [x1 , x2 ] 上所给的初始条件唯一确定区间 [x1 , x2 ] 的决定区域中解的 数值. 解: 弄清影响区域、决定区域的定义. 例 2.5 求解 utt − a2 uxx = 0, x > 0, t > 0, u|t=0 = φ(x), ut |t=0 = 0, ux − kut |x=0 = 0,
其中 k 为正常数. 齐海涛 htqi2008@ 4
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达朗贝尔公式、波的传播
解: 波动方程的通解为 u = F (x − at) + G(x + at), 由初始条件得 F (x) + G(x) = φ(x), −aF ′ (x) + aG′ (x) = 0
1 C 1 C F (x) − G(x) = C, F (x) = φ(x) + , G(x) = φ(x) − , 2 2 2 2
1 其中 C = F (0) − G(0). 由于 x + at ≥ 0, G(x + at) = 2 φ(x + at) − C 2 . 当 x − at ≥ 0 1 C 1 时, F (x − at) = 2 φ(x − at) + 2 . 此时 u(x, t) = 2 [φ(x + at) + φ(x − at)]. 当 x − at < 0 时, 由边界条件知
由 d'Alembert 公式有 1 1 v (x, t) = [(h − x + at)φ(x − at) + (h − x − at)φ(x + at)] + 2 2a 再由 (1) 知此定解问题的解. 注：此问题也可由 (1) 并利用初始条件决定 F 和 G. 例 2.2 问初始条件 φ(x) 与 ψ (x) 满足怎样的条件时, 齐次波动方程初值问题的解仅由 右传播波组成? 解: 由题意知 1 1 G(x) = φ(x) + 2 2a ∫
1 − ka C1 G(x) − , 1 + ka 1 + ka 1 − ka C1 F (x − at) = F (−(at − x)) = G(at − x) − . 1 + ka 1 + ka 1 1 − ka ka ⇒ u(x, t) = φ(x + at) + φ(at − x) + φ(0). 2 2(1 + ka) 1 + ka 例 2.6 求解初边值问题 utt − uxx = 0, 0 < t < kx, k > 1, u|t=0 = φ0 (x), x ≥ 0, u | = φ1 (x), x ≥ 0, t t=0 u|t=kx = ψ (x), 其中 φ0 (0) = ψ (0). 解: 当 x − t ≥ 0 时, 由 d'Alembert 公式有 1 1 u(x, t) = [φ0 (x − t) + φ0 (x + t)] + 2 2 ∫
= 0.
x=l
例 1.3 试证: 圆锥形枢轴的纵向振动方程为 [ ] ( ∂ ( x )2 ∂u x )2 ∂ 2 u E 1− =ρ 1− , ∂x h ∂x h ∂t2 其中 h 为圆锥的高. 解: 仿照第一题有 (R 为圆锥的底面半径) ρV (x) 其中 ∂u ∂u ∂2u (x, t) = ES (x + ∆x) (x + ∆x, t) − ES (x) (x, t) ∂t2 ∂x ∂x ( x )2 S (x) = πR2 1 − . h
2 达朗贝尔公式、波的传播
例 2.1 证明方程 [ ] ∂ ( x )2 ∂u 1 ( x )2 ∂ 2 u 1− = 2 1− ∂x h ∂x a h ∂t2
(h > 0 常数)的通解可以写成 u= F (x − at) + G(x + at) , h−x
其中 F, G 为任意的具有二阶连续导数的单变量函数, 并由此求解它的初值问题: t=0: u = φ(x), ∂u = ψ (x). ∂t
x x+at
x−at
(h − ξ )ψ (ξ )dξ.
ψ (ξ )dξ −
x0
C ≡ const. 2a
故
G′ (x)
= 0, 即
aφ′ (x) + ψ (x) = 0.
例 2.3 利用传播波法, 求解波动方程的古沙(Goursat)问题 2 ∂2u 2∂ u = a , ∂t2 ∂x2 u|x−at=0 = φ(x), u|x+at=0 = ψ (x), (φ(0) = ψ (0)). 解: 设 u(x, t) 具有行波解 u = F (x − at) + G(x + at), 由边界条件得 F (0) + G(2x) = φ(x), F (x) = ψ (x/2) − G(0), F (2x) + G(0) = ψ (x).
齐海涛
htqi2008@
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山东大学威海分校 而 x = 0 时, T (0) = ρgl, 知 C = ρgl, 所以 T (x) = ρg (l − x). 又 sin α2 ≈ tan α2 = ∂u (x + ∆x, t), ∂x . x x + ∆x .
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达朗贝尔公式、波的传播
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方程的导出、定解条件
例 1.2 在杆纵向振动时, 假设 (1) 端点固定, (2) 端点自由, (3) 端点固定在弹性支撑 上, 试分别导出这三种情况下所对应的边界条件. 解: (1) u(0, t) = u(l, t) = 0; ∂u (2) 端点自由, 即端点处无外力作用. 在左端点 SE (0) ∂u ∂x (0, t) = 0, 即 ∂x (0, t) = 0. 同理右端点 ∂u ∂x (l, t) = 0. (3)端点固定在弹性支承上, 端点受的外力与支撑的变形成比例. 如左端有弹性支承, 弹性系数设为 k , 则 ( ) ∂u k ∂u − + hu =0 h= . SE (0) (0, t) = ku(0, t), ∂x ∂x E (x)S x=0 同理右端: ( ) ∂u + hu ∂x
解: (1) 令 v (x, t) = (h − x)u(x, t) 并代入方程得 vtt = a2 vxx , 齐海涛 htqi2008@ 3
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达朗贝尔公式、波的传播
进而 u= (2) {
F (x − at) + G(x + at) v = . h−x h−x
vtt = a2 vxx , t = 0 : v = (h − x)φ(x), vt = (h − x)ψ (x). ∫
由 Hooke 定律, B 两端的张力分别为 E (x)ux |x , E (x)ux |x+∆x . B 段的运动方程为 Sρ(x)∆x ∂2u (x, t) = E (x)Sux |x+∆x − E (x)Sux |x ∂t2
其中 S 为细杆截面面积, x 为 B 段重心坐标. 约去 S , 令 ∆x → 0, 有 ( ) ( ) ∂u ∂ ∂u ∂ ρ(x) = E (x) . ∂t ∂t ∂x ∂x 1
( x )2 V (x) = πR2 1 − ∆x + 例 1.4 绝对柔软而均匀的弦线有一端固定, 在它本身重力作用下, 此线处于铅垂的平衡 位置, 试导出此线的微小横振动方程. 解: 设弦长为 l, 取弦上端点为原点, 取铅垂向下的轴为 x 轴. 设 u(x, t) 为时刻 t, x 处的横向位移. 取位于 (x, x + ∆x) 的微元进行分析, 由绝对柔软的假设, 弦的张力 T 的方向总是沿弦的切线方向. 又由微小振动的假设 ux ≪ 1. 因此认为弦在振动过程中不 伸长, 且张力 T 与时间无关. 考察受力平衡 (α1 , α2 为张力 T 的方向与竖直线的夹 角) T (x + ∆x) cos α2 − T (x) cos α1 = −ρg ∆x, (1) T (x + ∆x) sin α2 − T (x) sin α1 = ρ∆xutt . 由 (1) 知 dT = −ρg dx ⇒ T = −ρgx + C. (2)
.. O
∂u sin α1 ≈ tan α1 = (x, t). ∂x 由 (2) 知 [ ] ∂ ∂u(x) ∂2u T (x) =ρ 2 ∂x ∂x ∂t [ ] ∂2u ∂ ∂u ⇒ =g (l − x) . ∂t2 ∂x ∂x
T .
T . x .
例 1.5 一柔软均匀的细弦, 一端固定, 另一端是弹性支承. 设该弦在阻力与速度成正比 的介质中作微小的横振动, 试写出弦的位移所满足的定解问题. 解: k , σ 为正常数 utt − a2 uxx + kut = 0, 0 < x < l, t > 0, u|t=0 = φ(x), ut |t=0 = ψ (x), u|x=0 = 0, (ux + σu)|x=l = 0. 例 1.6 若 F (ξ ), G(ξ ) 均为其变元的二次连续可导函数, 验证 F (x − at), G(x + at) 均 满足弦振动方程 (1.11). √ 例 1.7 验证 u(x, y, t) = 1/ t2 − x2 − y 2 在锥 t2 − x2 − y 2 > 0 中满足波动方程 utt = uxx + uyy .