2014年普通高等学校招生全国统一考试(卷)理科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥,则集合()U C A B =U ( ) A .{|0}x x ≥ B .{|1}x x ≤ C .{|01}x x ≤≤ D .{|01}x x <<2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=,则z =( ) A .23i + B .23i - C .32i + D .32i -3.已知132a -=,21211log ,log 33b c ==,则( ) A .a b c >> B .a c b >> C .c a b >> D .c b a >> 4.已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面,下列说确的是( ) A .若//,//,m n αα则//m n B .若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥ C .若m α⊥,m n ⊥,则//n α D .若//m α,m n ⊥,则n α⊥5.设,,a b c r r r 是非零向量,已知命题P :若0a b •=r r ,0b c •=r r ,则0a c •=r r ;命题q :若//,//a b b c r r r r,则//a c r r ,则下列命题中真命题是( )A .p q ∨B .p q ∧C .()()p q ⌝∧⌝D .()p q ∨⌝6.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为( ) A .144 B .120 C .72 D .247.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .82π- B .8π- C .82π-D .84π-8.设等差数列{}n a 的公差为d ,若数列1{2}na a 为递减数列,则( )A .0d <B .0d >C .10a d <D .10a d > 9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度,所得图象对应的函数( ) A .在区间7[,]1212ππ上单调递减 B .在区间7[,]1212ππ上单调递增C .在区间[,]63ππ-上单调递减 D .在区间[,]63ππ-上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C :22y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为( ) A .12 B .23 C .34 D .4311.当[2,1]x ∈-时,不等式32430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值围是( ) A .[5,3]-- B .9[6,]8-- C .[6,2]-- D .[4,3]--ZXXK 12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足: ①(0)(1)0f f ==;②对所有,[0,1]x y ∈,且x y ≠,有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈,|()()|f x f y k -<,则k 的最小值为( ) A .12 B .14 C .12π D .18第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.执行右侧的程序框图,若输入9x =,则输出y = . ZXXK14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD 中,则质点落在阴影区域的概率是 .15.已知椭圆C :22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN += .16.对于0c >,当非零实数a ,b 满足224240a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时,345a b c-+的最小值为 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边a ,b ,c ,且a c >,已知2BA BC •=u u u r u u u r ,1cos 3B =,3b =,求:(1)a 和c 的值; (2)cos()B C -的值. 18. (本小题满分12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率; (2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X 的分布列,期望()E X 及方差()D X .19. (本小题满分12分)如图,ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直,且2AB BC BD ===,0120ABC DBC ∠=∠=,E 、F 分别为AC 、DC 的中点. (1)求证:EF BC ⊥;(2)求二面角E BF C --的正弦值.20. (本小题满分12分)圆224x y +=的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图),双曲线22122:1x y C a b-=过点P .(1)求1C 的方程;(2)椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点,直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ,B 两点,若以线段AB 为直径的圆心过点P ,求l 的方程.21. (本小题满分12分)已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+,2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x ππ=--+-.证明:(1)存在唯一0(0,)2x π∈,使0()0f x =;(2)存在唯一1(,)2x ππ∈,使1()0g x =,且对(1)中的x 0有01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲学科网如图,EP 交圆于E 、C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上一点且PG PD =,连接DG 并延长交圆于点A ,作弦AB 垂直EP ,垂足为F. (1)求证:AB 为圆的直径; (2)若AC=BD ,求证:AB=ED.23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程;(2)设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-,2()1681g x x x =-+,记()1f x ≤的解集为M ,()4g x ≤的解集为N. (1)求M ;(2)当x M N ∈I 时,证明:221()[()]4x f x x f x +≤.2014年普通高等学校招生全国统一考试(卷)理科数学答案1. D2. A3. C4. B5. A6. D7. B8. C9. B 10. D 11. C 12. B 13.299C 14. 23 15. 12 16. 2-17.(Ⅰ)由2BA BC ⋅=u u u r u u u r 得,cos 2c a B ⋅=,又1cos 3B =,所以ac =6.由余弦定理,得2222cos a c b ac B +=+.又b =3,所以2292213ac +=+⨯=.解22613ac a c =⎧⎪⎨+=⎪⎩,得a =2,c =3或a =3,c =2. 因为a >c ,∴ a =3,c =2.由正弦定理,得22242sin sin 339c CB b ==⋅=,又因为a b c =>,所以C 为锐角,因此22427cos 1sin 1()99C C =-=-=. 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=17224223393927⋅+⋅=. 18.(Ⅰ)设1A 表示事件“日销售量不低于100个”,2A 表示事件“日销售量低于50个”,B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯= . 2()0.003500.15P A =⨯=. ()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=.(Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为033(0)(10.6)0.064P X C ==⋅-=,123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==⋅-=,223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==⋅-=,333(3)0.60.216P X C ==⋅=,分布列为X 0 1 2 3 P0.0640.2880.4320.216因为X ~B (3,0.6),所以期望为E (X )=3×0.6=1.8,方差D (X )=3×0.6×(1-0.6)=0.72 19.(Ⅰ)证明:(方法一)过E 作EO ⊥BC ,垂足为O ,连OF ,由△ABC ≌△DBC 可证出△EOC ≌△FOC ,所以∠EOC =∠FOC =π,即FO ⊥BC ,又EO ⊥BC ,因此BC ⊥面EFO , 又EF ⊂面EFO ,所以EF ⊥BC .(方法二)由题意,以B 为坐标原点,在平面DBC 过B 左垂直BC 的直线为x 轴,BC 所在直线为y 轴,在平面ABC 过B 作垂直BC 的直线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.易得B (0,0,0),A (0,-1,3),D (3,-1,0),C (0,2,0),因而1331(0,,0)22E F ,所以33((0,2,0)22EF BC =-=u u u r u u ur ,因此0EF BC ⋅=u u u r u u u r ,从而EF BC ⊥u u u r u u u r ,所以EF BC ⊥.(Ⅱ)(方法一)在图1中,过O 作OG ⊥BF ,垂足为G ,连EG ,由平面ABC ⊥平面BDC ,从而EO ⊥平面BDC ,又OG ⊥BF ,由三垂线定理知EG 垂直BF . 因此∠EGO 为二面角E -BF -C 的平面角; 在△EOC 中,EO =12EC =12BC ·cos 30°3BGO ∽△BFC 知,3BO OG FC BC =⋅=因此tan ∠EGO =2EOOG=,从而sin ∠EGO 25,即二面角E -BF -C 25. (方法二)在图2中,平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)n =u r ,设平面BEF 的法向量2(,,)n x y z =u u r,又3113(,0),(0,22BF BE ==u u u r u u u r ,由220n BF n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u ru u r u u u r得其中一个2(1,3,1)n =-u u r ,设二面角E -BF -C 的大小为θ,且由题意知θ为锐角,则121212cos |cos ,|||||||5n n n n n n θ⋅=<>==⋅u r u u ru r u u r u r u u r ,因sin θ555,即二面角E -BF -C 的正弦值为255. 20.(Ⅰ)设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>,则切线斜率为00x y -,切线方程为0000()xy y x x y -=--,即004x x y y +=,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y +=≥知当且仅当00x y ==时00x y 有最大值,即S 有最小值,因此点P得坐标为 ,由题意知222222213a ba b a ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得221,2a b ==,故1C 方程为2212y x -=. (Ⅱ)由(Ⅰ)知2C的焦点坐标为(,由此2C 的方程为22221113x y b b +=+,其中10b >.由P 在2C 上,得22112213b b +=+,解得b 12=3,因此C 2方程为22163x y += 显然,l 不是直线y =0.设l 的方程为x =my,点1122(,),(,)A x y B x y由22163x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得22(2)30m y ++-=,又12,y y 是方程的根,因此1212232y y y y m ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩①②,由1122x my x my ==得1212221212122()66()32x x m y y m x x m y y y y m ⎧+=++=⎪⎪⎨-⎪=+++=⎪+⎩③④因1122),)AP x y BP x y ==u u u r u u u r由题意知AP BP ⋅=u u u r u u u r ,所以12121212))40x x x x y y y y ++++=⑤ ,将①,②,③,④代入⑤式整理得22110m -+=,解得12m =-或12m =-+,因此直线l 的方程为1)0x y --=,或1)0x y +-=. 21.(Ⅰ)当(0,)2x π∈时,2'()(1sin )(2)2cos 03f x x x x x π=-++--<,函数()f x 在(0,)2π上为减函数,又2816(0)0,()0323f f πππ=->=--<,所以存在唯一0(0,)2x π∈,使0()0f x =.(Ⅱ)考虑函数3()cos 2()4ln(3),[,]1sin 2x x h x x x x ππππ-=--∈+,令t x π=-,则[,]2x ππ∈时,[0,]2t π∈, 记3cos 2()()4ln(1)1sin t t u t h t t t ππ=-=-++,则3()'()(2)(1sin )f t u t t t π=++ , 由(Ⅰ)得,当0(0,)t x ∈时,'()0u t >,当0(,)2t x π∈时,'()0u t <.在0(0,)x 上()u t 是增函数,又(0)0u =,从而当0(0,]t x ∈时,()0u t >,所以()u t 在0(0,]x 上无零点. 在0(,)2x π上()u t 是减函数,由0()0,()4ln 202u x u π>=-<,存在唯一的10(,)2t x π∈ ,使1()0u t =.所以存在唯一的10(,)2t x π∈使1()0u t =.因此存在唯一的11(,)2x t πππ=-∈,使111()()()0h x h t u t π=-==.因为当(,)2x ππ∈时,1sin 0x +>,故()(1sin )()g x x h x =+与()h x 有相同的零点,所以存在唯一的1(,)2x ππ∈,使1()0g x =. 因1110,x t t x π=->,所以01x x π+<请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.(Ⅰ)因为PD =PG ,所以∠PDG =∠PGD .由于PD 为切线,故∠PDA =∠DBA ,又由于∠PGD =∠EGA ,故∠DBA =∠EGA ,所以∠DBA +∠BAD =∠EGA +∠BAD ,从而∠BDA =∠PF A .由于AF 垂直EP ,所以∠PF A =90°,于是∠BDA =90°,故AB 是直径. (Ⅱ)连接BC ,DC .由于AB 是直径,故∠BDA =∠ACB =90°, 在Rt △BDA 与Rt △ACB 中,AB =BA ,AC =BD ,又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ,故DC ∥AB . 由于,,AB EP DC EP DCE ⊥⊥∠所以为直角 于是ED 是直径,由(Ⅰ)得ED =AB .23.(Ⅰ)设11(,)x y 为圆上的点,在已知变换下位C 上点(x ,y ),依题意,得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y += 得22()12y x +=,即曲线C 的方程为2214y x +=.,故C 得参数方程为 cos 2sin x t y t ⎧⎨⎩== (t 为参数). (Ⅱ)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得:10x y =⎧⎨=⎩,或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12P P 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =,于是所求直线方程为111()22y x -=-, 化极坐标方程,并整理得2cos 4sin 3ρθρθ-=-,即34sin 2cos ρθθ=-. 24.(Ⅰ)33,[1,)()1,(,1)x x f x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩ 当1x ≥时,由()331f x x =-≤得43x ≤,故413x ≤≤; 当1x <时,由()11f x x =-≤得0x ≥,故01x ≤<; 所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.(Ⅱ)由2()16814g x x x =-+≤得2116()4,4x -≤解得1344x -≤≤,因此13{|}44N x x =-≤≤,故3{|0}4M N x x =≤≤I . 当x M N ∈I 时,()1f x x =-,于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +⋅=+2111()(1)()424x f x x x x =⋅=-=--≤.。