D dP/P dy
cdD dy
1 P
ddy2P2 P 1(11y)2
T t1
t(t1)Ct (1y)t
30
泰勒展开与凸性
根据泰勒逼近公式 dP 1 dP dy 1 1 d 2P (dy)2 2
凸性具有减少久期的性质。即利率变化引起债券
➢ 确定的利率期限结构 ➢ 不确定的利率期限结构 ➢ 利率期限结构理论
3
8.1.1 确定的利率期限结构
▪ 短期利率：凡是给定期限的利率就称作短期利率
➢ ：PV＝FV/[(1+r1)(1+r2)…(1+rn)]
8-1
8-2
4
▪ 到期收益率 ：PV=Par/(1+yn)n
➢ 根据公式，两年后到期的零息票债券的到期收益率为
▪ 第一方案，三年期零息票债券的到期收益率为4.83%， 投 资 1000 元 ， 投 资 3 年 ， 到 期 一 共 可 以 获 得 本 息 为 1000(1.0483)3=1152.01（元）。
▪ 第二方案，1000元先投资于两年期的零息票债券，由于 二年期零息票债券的到期收益率为4.50%，因此，两年 后得到的本息共为1000(1.045)2=1092.03（元）；然后用 1092.03元再购买1年期的零息票债券，一年后可以得到 本息1092.03(1+r3)。
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▪ 结论：
➢ 如果投资者偏好短期投资，就要求远期利率f大于期 望的短期利率r；
➢ 如果投资者偏好长期投资，则要求期望的短期利率r 大于远期利率f。
➢ 即：远期利率是否等于未来期望的短期利率取决于投 资者对利率风险的承受情况，也取决于他们对债券期 限长短的偏好。
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8.1.3 利率期限结构理论
久期的缺陷
▪ 久期对利率的敏感性进行测量实际上只考虑了价 格变化与收益率之间的线性关系。而实际上，市 场的实际情况是非线性的。
▪ 所有现金流都只采用了一个折现率，也即意味着 利率期限结构是平坦的，不符合现实。
➢ 用3个月的即期利率来折现30年的债券显然是不合理 的
29
8.2.3 债券凸性
▪ 久期可以看作是债券价格对利率波动敏感性的一 阶估计。凸性则是二阶估计，它可以对久期计量 误差进行有效的校正：
规则六 债券价格对其收益率的敏感性与该债券当 前销售到期收益率呈负相关关系。
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决定利率风险的因素
债券定价规则证实了决定利率风险有以下因素： ▪ 期限长度 ▪ 息票利率 ▪ 当前销售的到期收益率（初始YTM）
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8.2.2 债券久期
▪ 久期是把债券每次利息或本金的支付时间进行加 权平均所得到的期限。因此，久期测度的是债券 的实际持有期限。或者说，是债券支付的未来现 金流(本息)的到期期限的加权平均值，也称为债 券的平均期限，它是债券的有效期限。
34.554 0.0358 0.0537 855.611 .0.8871 1.7742 964.540 1.000 1.8852
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债券价格变化与久期的关系
▪ 计算久期的主要目的在于找出久期、YTM与债 券价格三者之间的关系。用公式表示就是：
P/P = －D × [y / (1+y)]
▪ 债券价格变化的百分比约等于收益变化的久期修 正值。即：
价格实际上升的幅度比久期的线性估计要高，而
下降的幅度要小。
在其他条件相同时，人们应该偏好凸度大的债券。
31
Figure 16.4 Bond Price Convexity (30-Year Maturity, 8% Coupon; Initial Yield to Maturity = 8%)
32
T
D t wt
t 1
CtF CaFslho fo w prertiod
24
久期计算:举例
8% t Bond
0.5 1.0
1.5
2.0
CFt PV (CFt) Wt t×Wt
(10%)
40 38.095 0.0395 0.0197 40 36.281 0.0376 0.0376
40 1040 sum
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8.2 债券久期与凸性理论
▪ 债券定价规则 ▪ 债券久期 ▪ 债券凸性
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8.2.1 债券定价规则
▪ B.G.Malkiel(1962)最早系统地归纳了债券定价五 规则。后来，Homer和Liebowitz(1972)又补充了 一条。形成了债券定价六规则：
17
债券定价规则[1]
规则一 债券价格与收益率之间呈反向关系：当收 益率增加时，债券价格下降；反之，当收
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远期利率
▪ 远期利率：
➢运用债券当前价格和到期收益率推导出的未来 年度的短期利率就是远期利率(forward rates)。
10
远期利率：例
推导第三年的短期利率：
▪ 假定准备投资1000元，现在有两种投资方案：一是投资 3年期零息票债券债券，一是先投资2年期零息票债券， 然后再将到期获得的本息投资1年期零息票债券。
投资学第8章 债券投资理论
▪ 债券的期限结构理论：债券期限与利率水平的关 系（贴现率固定 不固定）。
▪ 债券的久期与凸性理论：含义、计算方法及在债 券投资管理中的运用。
▪ 债券资产组合的管理（选学）：控制或规避债券 投资风险的主要方式和策略。
2
8.1 利率的期限结构
▪ 利率的期限结构(term structure of interest rates) ：反映了债券的期限长度与利率水平的关系。
11
远期利率：例
▪ 套利活动会确保两个方案的全部本息额是相等的。这样， 我们可以推算出第三年的短期利率r3： 1152.01=1092.03(1+r3)， r3 = 0.0549≈5.5% 将这个推导一般化：
1000(1+yn)n=1000(1+yn-1)n-1(1+rn) 1+rn=(1+yn)n/(1+yn-1)n-1
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债券定价规则[3]、 [4]
规则三 长期债券的价格比短期债券的价格对利率 的敏感性更强。
规则四 债券价格对收益增加变化的敏感性低于相 应的期限的增加。
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债券定价规则[5]、 [6]
规则五 利率风险与债券的息票利率有一反向关系： 高息票利率的债券价格对利率变化的敏感 性较低息票利率的债券价格对利率变化的 敏感性低。
➢ 零息票债券：由于期间没有支付息票利息，债券的实 际持有期限就是债券的到期期限(Duration is equal to maturity for zero coupon bonds)。
➢ 息票债券：由于债券到期之前，每期都会支付息票利 息，从而使债券的实际期限缩短。
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久期:计算
w t P V (C t)/P C F t (1 y )t P
▪ 期限结构理论是指说明长短期债券利率水平的关 系的理论 。
（1）预期假定(expectations hypothesis) ：
➢ 预期假定是最简单的期限结构理论。这一理论认为远 期利率等于市场整体对未来短期利率的预期。
（2）流动偏好(liquidity preference) ：
➢ 投资者有不同的期限偏好，有些偏好短期债券，有些 偏好长期债券。要求远期利率与期望的未来短期利率 之间有一个溢价。
▪ 二年期债券价格为915.75元，明年的利率将升至5%， 明年债券剩一年就到期，明年它的价格应为 1000/1.05=952.38（元）。从现在起开始持有一年的持 有期收益率为(952.39-915.75)/915.75=4%。
▪ 三 年 期 债 券 价 格 为 868.01 元 ， 一 年 后 的 价 格 为 1000/(1.05)(1.055)=902.73（元），从现在起开始持有 一年的持有期收益率为(902.73元—868.01)/868.01=4%。
➢ 流动性溢价(liquidity premium)：远期利率大于预期 短期利率，超过的部分就是未来利率不确定所带来风 险所要求的溢价。
▪ 偏好长期投资的利率决定：
➢ 如果我们假定投资者偏好长期投资，愿意持有长期债 券，那么，他可能会要求有一更高的短期利率或有一 短期利率的风险溢价才愿意持有短期债券。
P/P = －D * × y
其中：P为债券价格的变化量，P为债券的初始 价格，y 为债券到期收益率的变化量， y 为债 券初始的到期收益率， D* 久期的修正值。
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举例
例如，某债券P=1000元，y =8%。假定该债券 久期为10年。若YTM增加至9%，债券的价格将会 有多大变化?
y / (1+y)=0.01/1.08=0.926%，则： P/P = －D × [y / (1+y)] =-9.26%
利率或到 期收益率
d P / P dy
1 1 y
T
(
t 1
tC Ft (1 y ) t
/
T t 1
C Ft (1 y
)
t
)
D D* 1 y
D为Macaulay久期，D*为修正久期，当y很小
时，二者近似相等。久期是对债券价格对利率敏
感性的度量，久期越大同样利率变化引起的债券
价格变化越大。
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Price 益率下降时，债券价格上升。如图所示：
15%息票率
10%息票率
零息票 0
YTM
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债券定价规则[2]
▪ 规则二(债券凸性) 债券价格曲线是凸的：债券收益率下降所引起债 券价格上升的幅度要超过债券收益率以同样比率 上升引起债券价格下降的幅度。称债券价格的这 种特性为凸性。换 言之，对于同等幅度的收益率 变动，收益率下降给投资者带来的利润大于收益 率上升给投资者带来的损失。