圆的综合题
1.如图，AB 是⊙O 的弦，AB＝4，过圆心O 的直线垂直AB 于点D，交⊙O 于点C 和
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点E，连接A C、B C、O B，c o s∠A C B＝，延长O E到点F，使E F＝2O E.
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(1)求证：∠B O E＝∠A C B;
(2)求⊙O 的半径；
(3)求证：BF 是⊙O 的切线．
2.如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为圆外一点，连接AC、BC，分别与⊙O 相交于点D、点E，且 AD D E ，过点D作D F⊥B C于点F，连接B D、D E、A E.
(1)求证：DF 是⊙O 的切线；
(2)试判断△D E C的形状，并说明理由；
(3)若⊙O的半径为5，A C＝12，求 s i n∠E A B的值．
3.(2016 长沙 9 分)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C作A C的垂线交A D的延长线于点E，点F为C E的中点，连接D B，D C，D F.
(1)求∠C D E的度数；
(2)求证：DF 是⊙O 的切线；
(3)若A C＝25D E，求t a n∠A B D的值．
4.(2016德州10分)如图，⊙O是△A B C的外接圆，A E平分∠B A C交⊙O于点E，交B C 于点D，过点E作直线l∥B C.
(1)判断直线l 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
(2)若∠A B C的平分线B F交A D于点F，求证：B E＝E F;
(3)在(2)的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF 的长．
5.(2015永州)如图，已知△A B C内接于⊙O，且A B＝A C，直径A D交B C于
点E，F是O E上的一点，使C F∥B D.
(1)求证：BE＝CE；
(2)试判断四边形BFCD 的形状，并说明理由；
(3)若BC＝8，AD＝10，求CD 的长．
6(2017原创)如图，A B切⊙O于点B，A D交⊙O于点C和点D，点E为D C 的中点，连接O E交C D于点F，连接B E交C D于点G.
(1)求证：AB＝AG；
(2)(2)若D G＝D E，求证：G B2＝G C·G A；
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(3)在(2)的条件下，若t a n D＝，E G＝
，求⊙O 的半径．
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7.(2015达州)在△A B C的外接圆⊙O中，△A B C的外角平分线C D交⊙O于点D，F为 A D 上一点，且 AF B C ，连接D F，并延长D F交B A的延长线于点E
. (1)判断DB 与DA 的数量关系，并说明理由；
(2)求证：△B C D≌△A F D；
(3)若∠A C M＝120°，⊙O的半径为5，D C＝6，求D E的长．
8.如图，A B为⊙O的直径，P是B A延长线上一点，P C切⊙O于点C，C G是⊙O的弦，C G⊥A B，垂足为点D.
(1)求证：△A C D∽△A B C；(2)求证：∠P C A＝∠A B C；
3
(3)过点A作A E∥P C交⊙O于点E，交C G于点F，连接B E，若 s i n P＝，C F＝5，
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求BE 的长．
9、(2016大庆9分)如图，在R t△A B C中，∠C＝90°，以B C为直径的⊙O交斜边A B 于点M，若H 是AC 的中点，连接MH。

(1)求证：MH 为⊙O的切线；
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(2)(2)若M H＝，t a n∠A B C＝，求⊙O的半径；
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(3)在(2)的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，A D与⊙O相切于N点，过N 点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O 于Q 点，求线段NQ 的长度．
10.如图，△A B C为⊙O的内接三角形，P为B C延长线上一点，∠P A C＝∠B，A D为⊙O 的直径，过C作C G⊥A D交A D于E，交A B于F，交⊙O于G.
(1)判断直线PA 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
(2)求证：A G2＝A F·A B；
(3)若⊙O 的直径为 10，AC＝25，AB＝45，求△A F G的面积．
11.(2016鄂州10分)如图，在R t△A B C中，∠A C B＝90°，A O是△A B C的角平分线，以O为圆心，O C为半径作⊙O.
(1)求证：AB 是⊙O 的切线；
1 AE
(2)已知AO 交⊙O 于点E，延长AO 交⊙O 于点D，tan D＝，求的值；
2 AC
(3)在(2)的条件下，设⊙O 的半径为 3，求AB 的长．。