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江苏高考数学压轴题

2008年江苏高考数学原创压轴题2008年将是不平静的一年,除了奥运会的举办等国际国内的大事以外,就数牵动千百万家庭的高考了,特别是江苏的高考,是进入新课程后的第一次高考,全新的课程标准、全新的教学方法、全新的高考模式、全新的录取形式,所以必然出现全新的高考命题模式.通过认真学习《高中数学课程标准》、《江苏省课程标准教学要求》等纲领性文件,反复研读了2005、2006、2007三年高考江苏卷的试卷评析报告,下面给出几个原创题,供高三师生参考,权当抛砖引玉.1.如果复数()()21m i mi ++是实数,则实数m=____________________.解: ()()21m i mi ++展开后,“原始项”共四项,但是我们并 不关心实部项,虚部项为:21m mi i ⋅+⋅,只需310m +=即可,所以1m =-.【命题意图】考查复数的运算和相关基本概念的理解.过去复数在《选修Ⅱ》中,《选修Ⅰ》没有复数,所以,近几年江苏一直不讲复数,因此,复数成了新内容.2.设[]x 表示不大于x 的最大整数,集合{}2|2[]3A x x x =-=,1|288x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭,则A B =I _________________. 解:不等式1288x <<的解为33x -<<,所以(3,3)B =-. 若x A B ∈I ,则22[]333x x x ⎧-=⎨-<<⎩,所以[]x 只可能取值3,2,1,0,1,2---. 若[]2x ≤-,则232[]0x x =+<,没有实数解;若[]1x =-,则21x =,解得1x =-;若[]0x =,则23x =,没有符合条件的解;若[]1x =,则25x =,没有符合条件的解;若[]2x =,则27x =,有一个符合条件的解x =因此,{A B =-I .【命题意图】此题是一元二次方程根分布问题,涉及指数不等式的解法,函数与方程思想,分类讨论思想等.数学的精华在于数学思想方法,思考问题的支撑点也是数学思想方法,只有理解了数学思想方法,才算真正学明白了数学.3.如图,测量河对岸的塔高AB 时,可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .测得 00153030BCD BDC CD ∠=∠==,,米,并在点C 测得塔顶A 的仰角为060,则塔高AB= _____ .解:由原解答得()tan sin 30tan 60sin 30156sin()sin 1530s AB θβαβ⋅===++o oo o (米) 【命题意图】在2007年的课改区高考试题中,十分重视弘扬和发展学生的数学应用意识.新课标卷更注意数学应用意识和实践能力的考查,试题设计更加注意贴近生活实践.4.若关于,x y 的方程组22110ax by x y +=⎧⎨+=⎩有解,且所有的解都是整数,则有序数对(),a b 的数目为 .解:因为2210x y +=的整数解为:()()()()()()()()1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1--------, 所以这八个点两两所连的不过原点的直线有24条,过这八个点的切线有8条,每条直线确定了唯一的有序数对(),a b ,所以有序数对(),a b 的数目为32.【命题意图】本题主要考察直线与圆的概念,以及组合的知识,既要数形结合,又要分类考虑,要结合圆上点的对称性来考虑过点的直线的特征.是较难问题.5.若数列{a n }的通项公式a n =21(1)n +,记12()2(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-,试通过计算(1)f ,(2)f ,(3)f 的值,推测出()f n = .解:∵ ()()1213(1)2121211f a ⎡⎤=-=⨯-=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦,122314(2)2(1)(1)1233f a a ⎛⎫=⨯--=-= ⎪⎝⎭,()3415(3)(2)113164f f a ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭,∴归纳猜想得2(1)n f n n +=+. 【命题意图】考查考生对归纳猜想和递推的理解和运用.此题涉及属探索性问题,考生可根据特殊情形归纳概括一般性结论.6.已知三个正数,,a b c 满足a b c <<.(1)若,,a b c 是从129,,101010⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭中任取的三个数,求,,a b c 能构成三角形三边长的概率; (2)若,,a b c 是从(0,1)中任取的三个数,求,,a b c 能构成三角形三边长的概率.分析:在(1)中,,a b c 的取值是有限可数的,可用列举法解决;(2)中,,a b c 的取值是无穷的,得用几何概型的方法求解.解:(1)若,,a b c 能构成三角形,则4,10a b c c +>≥. ①若410c =时,32,1010b a ==.共1种; ②若510c =时.432,,101010b a ==.共2种;同理610c =时,有3+1=4种; 710c =时,有4+2=6种; 810c =时,有5+3+1=9种; 910c =时,有6+4+2=12种. 于是共有1+2+4+6+9+12=34种.下面求从129,,101010⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭中任取的三个数,,a b c (a b c <<)的种数: ①若110a =,210b =,则39,,1010c =⋅⋅⋅,有7种;349,,,101010b c ==⋅⋅⋅,有6种;410b =,59,,1010c =⋅⋅⋅,有5种;……; 89,1010b c ==,有1种. 故共有7+6+5+4+3+2+1=28种.同理,210a =时,有6+5+4+3+2+1=21种;310a =时,有5+4+3+2+1=15种;410a =时,有4+3+2+1=10种;510a =时,有3+2+1=6种;610a =时,有2+1=3种;710a =时,有1种. 这时共有28+21+15+10+6+3+1=84种.∴,,a b c 能构成三角形的概率为34174824=. (2)a b c 、、能构成三角形的充要条件是0101a b c a b c c <<<<⎧⎪+>⎨⎪<<⎩.在坐标系aOb 内画出满足以上条件的区域(如右图阴影部分),由几何概型的计算方法可知,只求阴影部分的面积与图中正方形的面积比即可.又12S =阴影,于是所要求的概率为112.12P == 【命题意图】统计、概率对于现代社会(经济发达)越来越显得重要,也是学生由确定性数学向不确定性(随机性)数学的一个转变,有着基本的重要性,考查是必然的.7.请认真阅读下列程序框图:已知程序框图(1)i i x f x =-中的函数关系式为42()1x f x x -=+,程序框图中的D 为函数()f x 的定义域,把此程序框图中所输出的数i x 组成一个数列{}n x .(理科考生请完成下列各题)(1) 若输入04965x =,请写出数列{}n x 的所有项; (2) 若输出的无穷数列{}n x 是一个常数列,试求输入的初始值0x 的值;(3) 若输入一个正数0x 时,产生的无穷数列{}n x 满足:*n N ∀∈,都有1n n x x +<,试求正数0x 的取值范围.(文科考生请完成下列各题)(1) 若输入04965x =,请写出输出的所有数i x ; (2) 若输出的所有数i x 都相等,试求输入的初始值0x 的值.解:(1)当04965x =时,12349111111165191955x f x f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫======- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,, 所以输出的数列为1111195-,,…………………(3分) (2)数列{}n x 是一个常数列,则有120n x x x x ==⋅⋅⋅== 即000042()1x x f x x -==-,解得:0012x x ==或 所以输入的初始值0x 为1或2时输出的为常数列.(3)由题意知 142()1n n n n n x x f x x x +-==>+,因00x >, 0n x ∴>,有: 421n n n x x x ->+得42(1)n n n x x x ->+ 即2320n n x x -+<,即(2)(1)0n n x x --<要使*n N ∀∈,都有1n n a a +>,须00(2)(1)0x x --<,解得:012x <<,所以当正数0x 在(1,2)内取值时,所输出的数列{}n x 对任意正整数n 满足1n n x x +<(文科)解:(1)当04965x =时,12349111111165191955x f x f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫======- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,,所以输出的数为1111195-,,,要使输出的数i x 都相等,即11()i i i x f x x --== (2)此时有 100()x f x x ==,即00421x x -+=0x ,解得01x =或02x =,所以输入初始值01x =或02x =时,输出的数i x 均相等.【命题意图】算法思想可以贯穿于整个中学数学内容之中,有很丰富的层次递进的素材,而在算法的具体实现上又可以和信息技术相联系,因此,算法与函数,数列等知识的融合,有利于培养学生理性精神和实践能力,是实施探究性学习的良好素材.8.已知二次函数2(),f x ax bx c =++直线21:8l y t t =-+(其中t 为常数);2:2=x l .若直线12,l l 与函数()f x 的图象以及1l ,y 轴与函数()f x 的图象所围成的封闭图形如阴影所示.(Ⅰ)求a 、b 、c 的值(Ⅱ)求阴影面积S 关于t 的函数()S t 的解析式;(Ⅲ)若,ln 6)(m x x g +=问是否存在实数m ,使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有两个不同的交点?若存在,求出m 的值;若不存在,说明理由.解:(I )由图形知:2201880804164c a a b c b c ac b a⎧⎪==-⎧⎪⎪⎪⋅+⋅+==⎨⎨⎪⎪=-⎩⎪=⎪⎩,解之得:,∴函数()f x 的解析式为x x x f 8)(2+-= (Ⅱ)由⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=x x y t t y 8822得2128(8)0,,8,x x t t x t x t ---=∴==-∵0≤t ≤2,∴直线l 1与()f x 的图象的交点坐标为()8,2t t t +-由定积分的几何意义知:⎰⎰+--+-++--+-=102222]8()8[()]8()8[()(t dx t t x x dx x x t t t S 12223222088(8)()()(8)32032tx x x x t t x t t x ⎡⎤⎡⎤=-+--++-+--+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦34016103423+-+-=t t t (Ⅲ)令.ln 68)()()(2m x x x x f x g x ++-=-=ϕ因为x >0,要使函数()f x 与函数()g x 有且仅有2个不同的交点,则函数 m x x x x ++-=ln 68)(2ϕ的图象与x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点262862(1)(3)()28(0)x x x x x x x x x xϕ-+--'∴=-+==> 当x ∈(0,1)时,()0,()x x ϕϕ'>是增函数;当x ∈(1,3)时,()0,()x x ϕϕ'<是减函数当x ∈(3,+∞)时,()0,()x x ϕϕ'>是增函数当x=1或x=3时,()0x ϕ'=∴;7)1()(-=m x ϕϕ极大值为153ln 6)3()(-+=m x ϕϕ极小值为又因为当x →0时,-∞→)(x ϕ当+∞→+∞→)(x x ϕ时,所以要使0)(=x ϕ有且仅有两个不同的正根,必须且只须(1)0(3)0(3)0(1)0ϕϕϕϕ==⎧⎧⎨⎨'<>⎩⎩,或 即706ln 31506ln 315070m m m m -=+-=⎧⎧⎨⎨+-<->⎩⎩,或, ∴m=7或.3ln 615-=m∴当m=7或.3ln 615-=m 时,函数()f x 与函数()g x 的图象有且只有两个不同交点.【命题意图】对江苏来说,与以往不同的是,增加了正弦、余弦、指数、对数的导数,还有积的导数,商的导数.对理科另外还有求形如)(b ax f +的复合函数导数以及定积分.高校教师熟悉微积分,历来是命题的热点(江苏2003年21题就很难),加上新增加许多函数的导数,2008年大题考导数,定积分的可能性极大.。

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