新青蓝教育高考数学压轴100题1二次函数
2复合函数
3创新性函数
4抽象函数
5导函数（极值，单调区间）--不等式
6函数在实际中的应用
7函数与数列综合
8数列的概念和性质
9 Sn与an的关系
10创新型数列
11数列与不等式
12数列与解析几何
13椭圆
14双曲线
15抛物线
16解析几何中的参数范围问题
17解析几何中的最值问题
18解析几何中的定值问题
19解析几何与向量
20探究性问题
y
x
l O F
P 3
P 2
P 1
A
Q
y
x
l
O F
P 3
P 2
P 1 18 解析几何中的定值问题
1如右图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ，右准线l 的方程为：12=x . （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点321、P 、P P ，使133221FP P FP P FP P
∠=∠=∠，证明： ||1
||1||132
1FP FP FP ++为定值，并求此定值.
分析：本题主要考查椭圆的定义、方程及几何性质、余弦三角函数等基础知识、基本方法和分析问题、灵活解决问题的能力。

数形结合思想方法
解：（Ⅰ）设椭圆方程为122
2
2=+b y a x .
因焦点为)0,3(F ，故半焦距3=c .又右
准线l 的方程为
c a x 2
=
，从而由已知 36,1222
==a c a ，
因此
3327,62
2==-==c a b a .
故所求椭圆方程为1
27362
2=+y x .
（Ⅱ）记椭圆的右顶点为A ，并设)3,2,1(==∠i AFP
i i α，不失一般性，假设
3201πα<
≤，且34,321312π
ααπαα+
=+=.
又设i P 在l 上的射影为i Q ，因椭圆的离心率
21
=
=
a c e ，
从而有
)
3,2,1()cos ||9(21
)cos ||(||||2=-=--=⋅=i FP e FP c c a e Q P FP i i i i i i i αα.
解得)
3,2,1()cos 21
1(92||1=+=i FP i i α. 因此
))]34cos()32cos((cos 213[92|
|1||1||1111321π
απαα+++++=++FP FP FP 0cos 23
cos 21cos 23cos 21cos )34cos()32cos(cos 11111111=+---=+++
+αααααπαπαα，
故32||1||1||1321=
++FP FP FP
为定值. 2. 已知椭圆14222=+y x 两焦点分别为F1、F2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足121=⋅PF PF ，
过P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点. （Ⅰ）求P 点坐标；
（Ⅱ）求证直线AB 的斜率为定值； （Ⅲ）求△PAB 面积的最大值.
分析：本题主要考查直线、椭圆的方程及几何性质、平面向量的数量积等基础知识、基本方法和分析问题、解决问题的能力 函数与方程思想方法
解：（Ⅰ）由题可得)2,0(1F ，)20(2-F ，设)0,0(),(00000>>y x y x P 则)2,(001y x PF --=，)2,(001y x PF ---=，
∴1)2(2
02021=--=⋅y x PF PF ，∵点),(00y x P 在曲线上，则1422020=+y x ，∴
242
02
0y x -=，从而y O x
B
A P
F 1
F 2
1)2(242
02
0=---y y ，得20=y .则点P 的坐标为)2,1(.
（Ⅱ）由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为)0(>k k ，
则BP
的直线方程为：)1(2--x k y .由⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=-142)
1(22
2y x x k y 得
x k k x k )2(2)2(22-++ 04)2(2=--+k ，设),(B B y x B ，则2
22222
2212)2(2,2)2(21k k k k k k x k k k x B B +--=
-+-=+-=+， 同理可得222)222k k k x A +-+=，则
2224k k x x B A +=-，228)1()1(k k x k x k y y B
A B A +=----=-. 所以：AB 的斜率
2
=--=
B
A B
A A
B x x y y k 为定值.
（Ⅲ）设AB 的直线方程：m x y +=2.
由⎪⎩⎪
⎨⎧=++=14222
2y x m x y ，得042242
2=-++m mx x ，
由
0)4(16)22(2
2>--=∆m m ，得2222<<-m P 到AB 的距离为
3|
|m d =
，
则
3||3)21
4(21||212m m d AB S PAB ⋅⋅-=⋅=
∆
2
)28(81)8(812222
2=+-≤+-=m m m m 。

当且仅当()22,222-∈±=m 取等号 ∴三角形PAB 面积的最大值为2。