0 1 0 ui ui v e vi 0 0 0 i u k u 0 1 0 j j vj 0 0 0 vj

单元轴力：
N
AE 1 0 l
ui ui v v i 1 0 S i u u j j v j v j
1杆和3杆位移：
N1l1 14 34 E1 A1
N 2l2 24 E2 A2
P
第二章 平面桁架有限元分析及程序设计
超静定桁架
1杆轴力竖向分量：
E1 A1 E1 A1 cos2 N1 y N1 cos 14 cos v4 k1v4 l1 l1
2杆轴力：
第二章 平面桁架有限元分析及程序设计
超静定桁架
代入平衡方程：
2N1y N2 y P
(2k1 k2 )v4 P
P v4 2k1 k2
结构的整体刚度系数
1
l2
2
l1 l1
3
4 P
k1v4 k1P N1 cos cos (2k1 k2 ) cos
k2 P N 2 k2v4 2k1 k2
因此：
e

0 0
0 0

e
0 U i V 0 i U j V j
cos
sin
F T F
0 0
其中，[T]为转换矩阵：
转换矩阵的性质
T 0 0 0 0
式中：
S AE
l



cos
sin
§2.2 平面桁架的单元分析
§2.2.3 单元坐标转换矩阵
取任意杆件,建立如图所示的局部坐标系：
杆端位移：
杆端力：
ui Ui
vi u j Vi U j
vj Vj
x
Vj
y
Ui
F
e
vj uj
Uj
U i V i U j V j 1 AE 0 l 1 0 0 1 0 ui v 0 0 0 i 0 1 0 u j v 0 0 0 j
ui ui AE 1 1 S N l u j u j

式中 S 为单元应力(广义)矩阵；



AE 1 1 S l
式中 k
为单元刚度矩阵(局部坐标系)
e
§2.2 平面桁架的单元分析
杆端位移：
杆端力：
ui
vi v j 0
有限单元法及程序设计
第二章 平面桁架有限元分析及程序设计
§2.1 平面桁架单元的离散 §2.2 平面桁架单元分析 §2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成 §2.4 边界条件的处理 §2.5 单元内力与支座反力的计算 §2.6 平面桁架有限元程序设计
第二章 平面桁架有限元分析及程序设计
回顾
静定桁架 B a A
式中 k 是整体坐标系下的单元刚度矩阵；
§2.2 平面桁架的单元分析
写成分块矩阵形式：
U i 2 V i AE 2 U l j V j
F e
2 2
2
i
e
j
Uj
符号：与坐标系的方向一致为正，反之为负。
§2.2 平面桁架的单元分析
杆的受力分为两种情况：
右结点固定 结点位移： 单元应变： 单元应力： 左结点固定
ui ui
ui l
uj 0
ui 0
uj uj
uj l

E ui l
E
U i A
E

§2.2 平面桁架的单元分析
§2.2.2 整体坐标系下的单元刚度矩阵
若局部坐标系与整体坐标系重合，则整体坐标系下的单元刚度矩 阵与局部坐标下的单元刚度矩阵相同。 若局部坐标系与整体坐标系不重合，如下图所示：
Vj
y
vj
N
杆端位移和杆端力 i 结点：
杆端位移： 杆端力：
uj U j
Ui ui
N

vi Vi
Eu j l
AE uj l
单元左端杆端力：
单元右端杆端力：
AE ui l AE ui l
U i A U j A
U j A
AE uj l
§2.2 平面桁架的单元分析
任意情况（左右结点均有变形）即为以上两种状态的叠加： 杆端力为：
AE AE U u uj i i l l AE AE U j ui uj l l
u j j v j
U i 式中： Fi Vi
U j F j V j
kii AE l
2
2
k
jj
AE 2 l 2
§2.2 平面桁架的单元分析
Ⅰ 1
D
FP
a
Ⅰa
a
C FP
解题方法
方法1：节点法 方法2：截面法
第二章 平面桁架有限元分析及程序设计
超静定桁架
解题方法：力法和位移法
1
l2
2
l1 l1
3
如图所示桁架，求各杆轴力。
力的平衡条件：
2 N1 cos N 2 P
位移的协调方程：
4 P
N1 N 2 2杆位移： N1
24 14 cos
dl ( x j xi ) l l (dxj dxi ) (dyj dyi ) (dx j dxi ) ( y j yi ) (dy j dyi )
cos sin
由于杆件的变形产生位移：
ui dxi
dl (ui u j ) (vi v j ) 因此，杆件应变为： l l l AE N EA [ (ui u j ) (vi v j )] 杆件轴力为： l
i
e
j
uj
Ui
Vi V j 0
i
e
j
Uj
单元杆端力方程：
U i V 0 i U j V j 0
AE AE ui uj l l AE AE ui uj l l
U i V i U j V j
1 AE 0 l 1 0
k k
ij ji
AE 2 l
2
单元刚度矩阵的性质
（1）单元刚度系数kij的意义 j自由度(结点)产生的单位杆端位移引起的i自由度(结点)的杆端力
（2）单元刚度矩阵是对称矩阵 （3）单元刚度矩阵一般是不可逆的
反力互等定理
杆件单元的应力矩阵为：
N2 y N2
E2 A2 E A 24 2 2 v4 k2v4 l2 l2
V4为第4节点竖向位移
k1 和 k2 为杆件的刚度系数； 式中：
E1 A1 cos2 k1 l1 E2 A2 k2 l2
物理意义： 4点产生单位位移，杆端产生的竖向杆端力； 由杆件的物理性质和几何性质决定；
9个单元，6个结点
16个单元，8个结点
§2.2 平面桁架的单元分析
§2.2.1 局部坐标系下的单元刚度矩阵 局部坐标系的建立
j
x
y
i
y
E，A，l e i
e
杆端位移：
j
x
ui
■ 原点：以第一个结点为坐标原点；
■ x 轴：沿单元的杆轴方向； ■ y 轴：从 x 轴逆时针旋转90°。
i
e
j
uj
杆端力：
Ui
0 0
T T T I T T T 1
转换矩阵是正交矩阵；
§2.2 平面桁架的单元分析
同理，位移也存在转换关系：
代入局部坐标系下 的刚度方程：
e
e
T F T F k k T
位移法求解超静定结构。
N1 y
§2.1 平面桁架单元的离散
结构的离散化：尽量将结构离散成数量最少的等截面直 杆单元 离散原则：每个结点离散后还是一个结点，每个杆件离 散后变成一个单元 4 ③
⑤ ⑥
5 ④
⑦ ⑧ ②
6
⑨
5 ④
⑨ ⑦ ⑧
6
⑩
11
⑤
12
7 ⑥
13 14 15
8
16
1①
2
3
1 ①
2
②
3
③
4
2
ui 2 v i u j 2 v j
F
e
Fi kii Fj k ji
kij i k jj j ui i vi
V j N sin N
因此，杆件结点力向量为：
U i 2 V i AE 2 U l j V j
e

F e
2 2
2
2
ui 2 vi e e k u j 2 v j
ui Ui
vi
x
j 结点：
杆端位移：
杆端力：
Vi
uj Uj
vj Vj
符号：与坐标系的方向一致为正，反之为负。