高考专题训练十四 推理与证明班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1.依次写出数列a 1＝1，a 2，a 3，…，a n (n ∈N *)的法则如下：如果a n －2为自然数且未写过，则写a n ＋1＝a n －2，否则就写a n ＋1＝a n ＋3，则a 6＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：根据题中法则，依次逐个代入，得a 2＝4，a 3＝2，a 4＝0，a 5＝3，a 6＝6.答案：C2．(2011·郑州市高中毕业班第一次质量预测)已知a ，b ，c ∈R ＋，若c a ＋b <a b ＋c <b c ＋a，则( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <cD ．c <b <a解析：由已知得c (b ＋c )<a (a ＋b )，a (c ＋a )<b (b ＋c )，即(c －a )(a ＋b ＋c )<0，(a －b )(a ＋b ＋c )<0.又a ＋b ＋c >0，因此有c －a <0，a －b <0，故c <a <b ，选A.答案：A3．(2011·四川省绵阳市高三第二次诊断性测试)记a ＝Sin (cos2010°)，b ＝sin(sin2010°)，c ＝cos(sin2010°)，d ＝cos(cos2010°)，则a 、b 、c 、d 中最大的是( )A ．aB ．bC ．cD ．d解析：注意到2010°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin2010°＝－sin30°＝－12，cos2010°＝－cos30°＝－32，－π2<－32<0，－π2<－12<0,0<12<32<π2，cos 12>cos 32>0，a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－sin 32<0，b ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－sin 12<0，c ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝cos 12>d ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝cos 32>0， 因此选C. 答案：C4．(2011·江西师大附中、临川一中高三联考)若实数a ，b ，c 成公差不为0的等差数列，则下列不等式不成立的是( )A ．|b －a ＋1c －b |≥2B ．a 3b ＋b 3c ＋c 3a ≥a 4＋b 4＋c 4C ．b 2>acD ．|b |－|a |≤|c |－|b |解析：设等差数列a ，b ，c 的公差为d (d ≠0)，则|b －a ＋1c －b |＝|d ＋1d |＝|d |＋|1d|≥2|d |×1|d |＝2，因此A 成立；b 2－ac ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22－ac ＝(a －c )24>0，因此C 成立；由2b ＝a ＋c 得|2b |＝|a ＋c |≤|c |＋|a |，即|b |－|a |≤|c |－|b |，因此D 成立；对于B ，当a ＝－1，b ＝－2，c ＝－3时，a 3b ＋b 3c ＋c 3a ＝53，a 4＋b 4＋c 4＝98，此时B 不成立．综上所述，选B.答案：B5．(2011·西安市五校第一次模拟考试)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)解析：依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n ＋1，且每组共有n 个整数对，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个整数对，注意到10(10＋1)2<60<11(11＋1)2，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各对数依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个整数对是(5,7)，选B.答案：B6．(2011·江苏镇江模拟)用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60度B ．假设三内角都大于60度C ．假设三内角至多有一个大于60度D ．假设三内角至多有两个大于60度解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即“三内角都大于60度”．故选B.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．(2011·南昌一模)观察下列等式： 12＝112－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *， 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________.解析：注意到第n 个等式的左边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2＝n 2＋n 2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n 2＋n 2. 答案：(－1)n ＋1n 2＋n 28．(2011·东北三省四市教研联合体等值模拟诊断)设S 、V 分别表示面积和体积，如△ABC 面积用S △ABC 表示，三棱锥O －ABC 的体积用V O －ABC 表示．对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O 是三棱锥A －BCD 内一点，则有___________________________ _________．解析：由类比思想可得结论．答案：V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 9．(2011·山东威海模拟)用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取________．解析：1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12>12764，整理得2n >128，解得n >7，故原不等式的初始值至少应为8.答案：810．(2011·辽宁沈阳模拟)用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n (3n ＋1)2(n ∈N *)的第二步中，当n ＝k ＋1时等式左边与n＝k 时的等式左边的差等于________．解析：当n ＝k 时，等式左边为(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，等式左边为(k ＋2)＋(k ＋3)＋…＋(k ＋1＋k ＋1)，所以其差为3k ＋2.答案：3k ＋2三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a n －2S n ＝1，数列{b n }满足b n ＝2log 12a n ，n ∈N *.(1)求函数{a n }的通项公式a n 与{b n }的前n 项和T n ； (2)设数列{b na n }的前n 项和为U n ，求证：0<U n ≤4.解：(1)易得a 1＝12.当n ≥2时，4a n －2S n ＝1， ① 4a n －1－2S n －1＝1， ②①－②得2a n －4a n －1＝0⇒a n ＝2a n －1， ∴a n a n －1＝2(n ≥2)， ∴数列{a n }是以a 1＝12为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －2，a 1＝12也适合此式，故a n ＝2n －2.从而b n ＝4－2n ，其前n 项和T n ＝－n 2＋3n .(2)证明：∵{a n }为等比数列、{b n }为等差数列，b n a n ＝4－2n2n －2.∴U n ＝212＋01＋－22＋…＋6－2n 2n －3＋4－2n 2n －2， ③12U n ＝21＋02＋－222＋…＋6－2n 2n －2＋4－2n 2n －1， ④ ③－④得12U n ＝4－21－22－222－…－22n －2－4－2n 2n －1，∴U n ＝4n2n －1.易知U 1＝U 2＝4，当n ≥3时，U n －U n －1＝2－n2n －3<0，∴当n ≥3时，数列{U n }是递减数列， ∴0<U n ≤U 3＝3. 综上，0<U n ≤4.12．(13分)在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论．解：由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2，n ∈N *. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由已知a 1＝2，b 1＝4可得结论成立． ②假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时，结论成立，即 a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2， 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)， b k ＋1＝a 2k ＋1b k ＝(k ＋1)2(k ＋2)2(k ＋1)2(k ＋2)2. 所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切n ∈N *都成立．。