第三讲 推理与证明（推荐时间：50分钟）一、选择题1．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n －2nD ．a n ＝3n －1＋2n －32．已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为 ( )A.n n －4＋8－n 8－n －4＝2 B.n ＋1n ＋1－4＋n ＋1＋5n ＋1－4＝2 C.n n －4＋n ＋4n ＋1－4＝2 D.n ＋1n ＋1－4＋n ＋5n ＋5－4＝2 3． “因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝⎛⎭⎫13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b ”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．45．已知定义在R 上的函数f (x )，g (x )满足f x g x ＝a x ，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f 1g 1＋f －1g －1＝52，若有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f n g n (n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n 等于( )A．4 B．5 C．6 D．76．对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k<k＋1，则当n＝k＋1时，k＋12＋k＋1＝k2＋3k＋2<k2＋3k＋2＋k＋2＝k＋22＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立．则上述证法( ) A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确7．已知a>b>0，且ab＝1，若0<c<1，p＝log a2＋b22，q＝log c(1a＋b)2，则p，q的大小关系是( ) A．p>q B．p<qC．p＝q D．p≥q8．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任意m，n∈N*都有：①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；②f(m＋1,1)＝2f(m，1)．给出以下三个结论：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26.其中正确结论的个数为( ) A．3 B．2 C．1 D．0二、填空题9．已知数列{a n}，a i∈{－1,0,1} (i＝1,2,3，…，2 011)，若a1＋a2＋…＋a2 011＝11，且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a2 011＋1)2＝2 088，则a1，a2，…，a2 011中是1的个数为________．10．给出下列不等式：1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋1 31>52，…，则按此规律可猜想第n个不等式为____________________________________．11．用数学归纳法证明－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)＝(－1)n n，当n＝1时，左边应为________．12．在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比AEEB＝ACBC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A—BCD中(如图所示)，面DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是____________．三、解答题13．若数列{a n }的前n 项和S n 是(1＋x )n 二项展开式中各项系数的和(n ＝1,2,3，…)．(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)，且c n ＝a n ·b nn{c n }的通项及其前n 项和T n ；(3)求证：T n ·T n ＋2<T n ＋12.14．(2012·大纲全国)函数f (x )＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)、Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n <x n ＋1<3； (2)求数列{x n }的通项公式．答案1．A 2．A 3．A 4．B 5．B 6．D 7．B 8．A 9．3310．1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋1211.－1 12.AE EB ＝S △ACD S △BCD13．(1)解 由题意S n ＝2n，S n －1＝2n －1(n ≥2)，两式相减得a n ＝2n －2n －1＝2n －1(n ≥2)． 当n ＝1时，21－1＝1≠S 1＝a 1＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝12n －1n ≥2.(2)解 ∵b n ＋1＝b n ＋(2n －1)，∴b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝3，b 4－b 3＝5，…，b n －b n －1＝2n －3.以上各式相加得b n －b 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3) ＝n －11＋2n －32＝(n －1)2.∵b 1＝－1，∴b n ＝n 2－2n .c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， n ＝1n －2×2n －1， n ≥2.∴T n ＝－2＋0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n －2)×2n －1，① ∴2T n ＝－4＋0×22＋1×23＋2×24＋…＋(n －2)×2n .② ①－②得，－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －1－(n －2)×2n . ＝21－2n －11－2－(n －2)×2n ＝2n －2－(n －2)×2n＝－2－(n －3)×2n. ∴T n ＝2＋(n －3)×2n .(3)证明 T n ·T n ＋2－T n ＋12＝[2＋(n －3)×2n ]·[2＋(n －1)×2n ＋2]－[2＋(n －2)×2n ＋1]2 ＝4＋2·(n －1)·2n ＋2＋2×(n －3)×2n ＋(n －3)·(n －1)×22n ＋2－[4＋4×(n －2)×2n ＋1＋(n －2)2×22n ＋2]＝2n ＋3＋(n －3)×2n ＋1－22n ＋2 ＝2n ＋1·[(n ＋1)－2n ＋1]．∵2n ＋1>0，∴需证明n ＋1<2n ＋1，用数学归纳法证明如下： ①当n ＝1时，1＋1<21＋1成立． ②假设n ＝k 时，命题成立即k ＋1<2k ＋1，那么，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)＋1<2k ＋1＋1<2k ＋1＋2k ＋1＝2·2k ＋1＝2(k ＋1)＋1成立．由①、②可得，对于n ∈N *都有n ＋1<2n ＋1成立． ∴2n ＋1·[(n ＋1)－2n ＋1]<0.∴T n ·T n ＋2<T n ＋12. 14．(1)证明 用数学归纳法证明：2≤x n <x n ＋1<3.①当n ＝1时，x 1＝2，直线PQ 1的方程为y －5＝f 2－52－4(x －4)，令y ＝0，解得x 2＝114，所以2≤x 1<x 2<3.②假设当n ＝k (k ∈N *时，结论成立，即2≤x k <x k ＋1<3.直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f x k ＋1－5x k ＋1－4(x －4)，令y ＝0，解得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1.由归纳假设知x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1<4－52＋3＝3；x k ＋2－x k ＋1＝3－x k ＋11＋x k ＋12＋x k ＋1>0，即x k ＋1<x k ＋2.所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3，即当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②知对任意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3.(2)解 由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n2＋x n.设b n ＝x n －3，则1b n ＋1＝5b n ＋1，1b n ＋1＋14＝5⎝⎛⎭⎫1b n ＋14， 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋14是首项为－34，公比为5的等比数列．因此1b n ＋14＝－34·5n －1，即b n ＝－43·5n －1＋1，所以数列{x n }的通项公式为x n ＝3－43·5n －1＋1.。