【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第一节函数及其表示近三年广东高考中对本章考点考查的情况本章内容主要包括：函数的概念与表示，函数的基本性质，基本初等函数，函数的应用，导数的概念、运算及其应用．第二章函数、导数及其应用1．函数的概念、表示和函数的基本性质(单调性与最值、奇偶性、周期性)：(1)判断两函数是否为同一函数，确定定义域与对应关系即可．(2)用换元法求函数的解析式时，注意换元前后的等价性．(3)单调性与最值是函数的局部性质，凸显用导数研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围．(4)奇偶性是函数的整体性质，奇偶性、周期性的综合运用灵活多变．2．基本初等函数：以具体的二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等函数的概念、性质和图象为主要考查对象，适当考查分段函数、抽象函数．3．函数的应用主要包含：函数与方程、函数模型及应用两部分内容．(1)对函数是否存在零点(方程是否存在实根)进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的取值范围，是高考中常见的题目类型．(2)函数的实际应用问题，多以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活，综合性较强．4．导数的概念、运算及应用．(1)导数的概念是推导基本初等函数导数公式和四则运算法则的基础．(2)利用导数求曲线的切线方程时，一定要分清已知点是否在曲线上．另外，曲线的切线和平面几何中圆的切线概念易混淆，曲线在点P(x0，f(x0))处的切线是曲线另一点Q无限接近点P时的极限位置，它与曲线可能还有其他公共点．(3)利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，还要注意公式不要用混．(4)导数的应用包括函数的单调性、极值、最值等方面，单调性是关键，一个函数的递增区间或递减区间有多个时，不能盲目地将它们取并集，特别是函数的定义域不能忽略．在选择题和填空题中，主要以导数的运算、导数的几何意义、导数的应用为主(研究函数的单调性、极值和最值等)；在解答题中，有时作为压轴题，主要考查导数的综合应用，往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起，考查学生的分类讨论、转化与化归等思想．预测高考对本部分内容的考查，仍会以小题和大题的形式出现，小题主要考查基本初等函数的图象、性质，几种常见函数模型在实际问题中的应用以及函数零点，函数与方程的关系等，大题主要以函数为背景，以导数为工具，考查应用导数研究函数的单调性、极值或最值问题，在函数、不等式、解析几何等知识网络交汇点命题．复习本章要重点解决好五个问题：1．准确、深刻地理解函数的有关概念．概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学数学的始终．数、式、方程、不等式、导数、数列等都是以函数为中心的代数知识．近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线．2．揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系．函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容．3．把握数形结合的特征和方法．函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，图象有效地揭示了各类函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性．因此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换、伸缩变换．4．认识函数思想的实质，强化应用意识．函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，使问题得以解决．纵观近几年高考题，考查函数思想方法，尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想的实质，强化应用意识．5．运用好导数这一锐利武器．应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线．复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导，应立足基础知识和基本方法的复习，以熟练技能、强化应用为目标．学会优先考虑利用导数求函数的极大(小)值、最大(小)值或解决应用问题，这些问题是函数内容的继续与延伸，这种方法使复杂问题简单化．导数与解析几何或函数图象的综合问题，尤其是抛物线与三次函数的切线问题，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意．第一节函数及其表示知识梳理一、函数与映射的概念1．函数的表示方法．表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种．(1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系． (3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系． 2．函数解析式的常用求法．(1)配凑法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)赋值法． 三、函数定义域的确定1．定义域是函数的灵魂，因此在研究函数时一定要遵循“定义域优先”的原则． 确定函数的定义域的原则是：(1)当函数y ＝f (x )是用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x 的集合；(2)当函数y ＝f (x )是用图象给出时，函数的定义域是指图象在x 轴上投影所覆盖的实数x 的集合；(3)当函数y ＝f (x )是用解析式给出时，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x 的集合；(4)当y ＝f (x )是由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定． 2．由解析式表示的函数的定义域的求法．(1)若f (x )是整式，则函数的定义域是实数集R ；(2)若f (x )是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．(3)若f (x )是二次(偶次)根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；(4)若f (x )是对数式，则函数的定义域是使真数的式子大于0且底数大于0并不等于1的实数集合；(5)若f (x )是指数式，则零指数幂的底数不等于零；(6)若f (x )是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(7)含参问题的定义域要分类讨论． 四、分段函数1．分段函数的定义：在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，叫做分段函数．它是一类较特殊的函数．2．分段函数是一个函数，而不是几个函数．若函数为分段函数，则分别求出每一段上的解析式，再合在一起．3．因分段函数在其定义域内的不同子集上，其对应法则不同而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在的子集，而代入相应的解析式去求函数值，不要代错解析式．4．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．基础自测1．下列图形中不能作为函数图象的是( )解析：根据函数定义，定义域内任何一个x 取值，都有且只有唯一的y ＝f (x )与之对应，故选D.答案：D2．设A ＝{x |0≤x ≤6}，B ＝{y |0≤y ≤2}，则f ：A →B 不是函数的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝14xD ．f ：x →y ＝16x解析：因为x ∈A ，y ＝12x ∈B .由函数定义可知，对于6∈A ，在集合B 中找不到对应元素3，故f ：x →y ＝12x 不是函数．故选A.答案：A3．(2012·江西卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤1，3x，x ＞1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝___________________________.解析：f ⎝⎛⎭⎫12＝14＋2＝94，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝394＝43. 答案：434. (2013·东莞城南中学月考)若函数f (x )＝1－log 2x ，则f (x )的定义域是__________．解析：1－log 2x ≥0，所以log 2x ≤1，得0＜x ≤2，即定义域为(0,2]． 答案：(0,2]1．(2013·江西卷)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ≥0得，函数定义域为[0,1)．故选B.答案：B2．(2013·新课标全国卷I)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析：∵|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0.∴由|f (x )|≥ax 得，⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ≥ax .且⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，ln (x ＋1)≥ax ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ≥ax ，可得a ≥x －2，则a ≥－2，排除A 、B ，当a ＝1时，易证ln(x ＋1)<x 对x ＞0恒成立， 故a ＝1不适合，排除C ，故选D. 答案：D1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg （－x ），x <0，e x －1 ，x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1或－10B ．－1或10C ．2或－10D ．－2或10解析：因为f (1)＝e 1－1＝1，所以f (a )＝1， 当a ≥0时，显然a ＝1满足；当a <0时，令lg(－a )＝1，得－a ＝10，即a ＝－10满足．故选A. 答案：A2．已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f [f (x )]的定义域是________．解析：由x ＋1≠0且1x ＋1＋1≠0，得x ≠－1，且x ≠－2.∴定义域为{x |x ≠－1，且x ≠－2}．答案：{x |x ≠－1，且x ≠－2}。