6.3 几何概型1．几何概型设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型． 2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝M N作为所求概率的近似值．考向一 长度【例1】某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________． 【答案】12【解析】如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，得所求概率P ＝10＋1040＝12.【举一反三】1．在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________． 【答案】 23【解析】 方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2－4(3p －2)≥0，－2p <0，3p －2>0，解得p ≥2或23<p ≤1，又p ∈[0,5]，则所求概率为P ＝3＋135＝1035＝23.2．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤121log ()2x +≤1”发生的概率为_______．【答案】 34【解析】 由－1≤121log ()2x +≤1，得12≤x ＋12≤2，得0≤x ≤32.由几何概型的概率计算公式，得所求概率P ＝32－02－0＝34.考向二 面积【例2】（1）一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的△ABC 区域内随机爬行，则其恰在到顶点A 或顶点B 或顶点C 的距离小于1的地方的概率为________．(2)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －4≤0所表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．【答案】（1）π48 （2）3π64【解析】（1）蚂蚁活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为6,8,10，是直角三角形，∴面积为12×6×8＝24，而“恰在离三个顶点距离都小于1”正好是一个半径为1的半圆，面积为12π×12＝π2，∴根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离小于1的地方的概率为π224＝π48. (2)画出两不等式组表示的平面区域，则图中阴影部分为两不等式组的公共部分，易知A (4,4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－43，OA ⊥OB ，平面区域M 的面积S △AOB ＝12×423×42＝163，阴影部分的面积S ＝14×π×12＝π4.由几何概型的概率计算公式，得P ＝S S △AOB ＝π4163＝3π64【举一反三】1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是________． 【答案】 12【解析】 以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2PA →＝0，所以PB →＋PC →＝－2PA →，得PD →＝－2PA →，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝12S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC＝12. 2．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________． 【答案】 12【解析】 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为P ＝12.考向三 体积【例3】（1）在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．（2）如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是________．【答案】（1）1－π12 （2）1－π4【解析】（1）记“点P 到点O 的距离大于1”为A ，P (A )＝23－12×43π×1323＝1－π12.（2）鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4.【举一反三】1．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A —A 1BD 内的概率为______．【答案】 16【解析】 因为1A A BD V -＝1A ABD V -＝13AA 1×S △ABD ＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝16V 长方体，故所求概率为1A A BD V V-长方体＝16.考向四 角度【例4】如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．【答案 13【解析】 因为在∠DAB 内任作射线AP ，所以它的所有等可能事件所在的区域H 是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，则区域H 为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB∠DAB ＝30°90°＝13. 【举一反三】1．在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于点M ，则AM >AC 的概率为________． 【答案】 16【解析】 设事件D 为“作射线CM ，使AM >AC ”．在AB 上取点C ′使AC ′＝AC ， 因为△ACC ′是等腰三角形，所以∠ACC ′＝180°－30°2＝75°，事件D 发生的区域μD ＝90°－75°＝15°，构成事件总的区域μΩ＝90°，所以P (D )＝μD μΩ＝15°90°＝16.1．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A B ．32π-C ．34π-D ．3π【答案】C【解析】如下图所示：设长方形的长为4，宽为2，则120AOB ∠=∴阴影部分的面积2118221323S ππ⎛⎫=⨯⨯-⨯=- ⎪⎝⎭∴所求概率为：83423p ππ-==⨯本题正确选项：C2．最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（ ）A ．140B ．1121C ．1364D ．11093【答案】C 【解析】由题意，可设1,2,3,4,5,6 扇形区域的面积分别为,3,9,27,81,243x x x x x x ，则由几何概型得，消费88 元以上者抽中一等奖的概率1392781243364x P x x x x x x ==+++++ ，故选C.3．已知在椭圆方程22221x y a b+=中，参数,a b 都通过随机程序在区间()0,t 上随机选取，其中0t >，则椭圆的离心率在⎫⎪⎪⎝⎭之内的概率为（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．23【答案】A【解析】当a b > 时2223142a b a b a -<<⇒< ，当a b< 时,同理可得2b a <,则由下图可得所求的概率21121222t tP t ⨯⨯== ，故选A.4．在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1x ≤的概率为（ ）A ．25 B ．35 C ．15 D ．23【答案】A【解析】因为()5,112D d ==--=，所以由几何概型的计算公式可得25d P D ==，应选答案A 。

5．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾⨯股(+股-勾2)4=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2．设勾股形中勾股比为若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A ．866B ．500C ．300D ．134 【答案】D【解析】由题意，大正方形的边长为21-，则所求黄色图形内的图钉数大约为21000134⨯≈⎝⎭，故选D.6．1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设∠BEC =15°，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角ΔCDE 中（阴影部分）的概率是（）A ．√32B ．34C ．23D ．√22【答案】C【解析】在直角ΔBCE 中，a =ccos15°，b =csin15°， 则P =S ΔCDES梯形ABCD=12c 212(a+b )2=c 2c 2(cos 15°+sin 15°)2=11+sin30°=23，故选C.7．函数()()22846f x x x x =-++-≤≤，在其定义域内任取一点0x ，使()00f x ≥的概率是（ ）A ．310B ．23C ．35D ．45【答案】C【解析】由题意，知()00f x ≥，即200280x x -++≥，解得{}0024x x -≤≤，所以由长度的几何概型可得概率为4(2)36(4)5P --==--，故选C.8．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马P ABCD -中，PC 为阳马P ABCD -中最长的棱，1,2,3AB AD PC ===，若在阳马P ABCD -的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（ ）A ．127πB ．427πC ．827πD ．49π【答案】C【解析】根据题意，PC 的长等于其外接球的直径，因为PC =，∴3=∴2PA =，又PA ⊥平面ABCD ，所以314431223332P ABCDV V π-⎛⎫=⨯⨯⨯==⨯ ⎪⎝⎭球，， ∴3483274332P ππ==⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭. 9．在区间[0,2]π上随机取一个数x ，则事件“1sin 2x ≤”发生的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．．34【答案】C【解析】当[0,2]x π时，由1sin 2x ≤得06x π≤≤或526x ππ≤≤， 因此所求概率为5266123P πππ-=-=.故选C 10．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ）A ．23B ．34C ．25D ．13【答案】C【解析】设线段AC 的长为xcm ，则线段CB 长为(10)cm x -，那么矩形面积为(10)16x x -<，2x <或8x >，又010x <<，所以该矩形面积小于216cm 的概率为42105=.故选：C 11．若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（ ） A ．0.18 B ．0.32C ．0.36D ．0.64【答案】C【解析】设305路车和202路车的进站时间分别为x 、y ，设所有基本事件为: 010010x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩,“进站时间的间隔不超过2分钟”为事件A ，则{(,)|010,010,||2}A x y x y x y =≤≤≤≤-≤,画出不等式表示的区域如图中阴影区域，则10108836S =⨯-⨯=，则36()0.36100A S P A S Ω===.选C .12．如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．1πB ．12πC ．1142π-D ．112π- 【答案】D【解析】设圆O 的半径为2，阴影部分为8个全等的弓形组成，设每个小弓形的面积为S ,则2112111424S ππ-=⋅-⨯⨯=，圆O 的面积为224ππ⋅=，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是P ，则82411442S P ππππ-===-,故本题选D. 13．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）.A ．215πB ．320π C ．2115π-D ．3120π-【答案】C【解析】13=， 设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r.所以内切圆的面积为24r ππ=，所以豆子落在内切圆外部的概率42P 111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C 。