模拟IC设计知识分享(1)最近刚好要考AAIC了，于是就想着怎么把考试的知识点总结起来分成章节。
本来想画成思维导图，但一是很多公式很多图，二是知识点间相互都有联系，也着实不太好具象化。
模拟电路就是折中的艺术，硬要画成放射状也是有点难为我了。
不如就写成文章，不仅能帮助我learning by teaching，说不定也能造福点后人。
MOS管作为模拟IC的基础组成部分，掌握MOS的各项特性是重中之重。
但由于MOS管其实是一个特性非常复杂，且无法用一个简单模型做出概括的非线性器件，我们也有必要对其进行一定的简化。
我们首先介绍MOS的基本结构和简化模型。
一、MOS管三维结构MOS管符号[1]典型的NMOS拥有四个端口，分别是栅极(gate)，源极(source)，漏极(drain)和衬底(body/bulk)。
MOS管是一种将电压转化为电流的器件，可以简单理解为一个压控电流源，以栅极和源极间的电压控制流过漏极和源极的电流。
根据各个端口间电压的不同，MOS管还可以分为三个工作区域，分别为截止区(cut-off region)，线性区/三极管区(triode region)和饱和区(saturation region)。
我们可能已经了解MOS管可以用作开关，也可以对信号进行放大。
当MOS管用作开关时，它就工作在线性区；而当用作放大器时，它需要工作在饱和区。
在进一步分析每个工作区域的特性和条件之前，我们首先把这个抽象模型和实际世界的MOS管这一半导体器件对应起来。
NMOS管三维结构[2]上图所示是一个NMOS的结构图。
器件制作在p型衬底(substrate)上，两个n离子掺杂区形成源极和漏极，并通过金属引出。
早期MOS管的栅极由金属层制成(如图，这也是MOSFET名字中第一个M-Metal的由来)，但现今大部分的MOS 管采用多晶硅(poly)来制作栅极，而名字却没有随之修改。
当然多晶硅和金属制作栅极各有利弊，还请详见半导体物理一书。
栅极下面的阴影区域是一层二氧化硅，用来将栅极和沟道隔离开防止发生短路。
一般来说在设计时，Z向的尺寸是受工艺限制，我们无法改变的，比如衬底的厚度，栅极的厚度等。
因此MOS管的参数中对我们最重要的两个就是它的尺寸：沿DS方向（即沿沟道）的栅极尺寸叫做栅长L，另一个方向的栅极尺寸被叫做栅宽W。
注意这里并不是长的一个叫做长，短的一个叫做宽，而是有严格的方向规定。
像是大家耳熟能详的英特尔14nm工艺，指的就是栅长L。
当然由于传统工艺趋近极限，新工艺如FinFET 也层出不穷，7nm等等数字和MOS管的实际尺寸关系已经越来越小了，这是后话。
二、MOS管工作方式首先我们考虑这样一种情况：S和D都接地，G接到一个从0开始不断升高的电压源。
这样的话由于栅极和衬底都是导电材料，我们可以看做其形成了一个电容器，当栅极电压不断升高，栅极板上电荷越来越多，因此在SiO2氧化层下方的衬底中也开始有负离子聚集，这就迫使p型衬底的载流子——空穴离开衬底，在衬底中形成了一个耗尽层(depletion layer)。
此时没有载流子，耗尽层自然无法导电。
耗尽层和沟道的形成{3}由于栅氧和耗尽层都存在等效电容，相当于栅极电压通过他们的串联到地，则可以看作这两个电容对栅极电压进行分压。
因此当V_{GS} 继续增加，栅氧与衬底的分界面电势也越来越高，导致电荷通过这一分界面由S流向D，最终形成导电沟道。
使沟道形成（即使MOS管导通）的 V_{GS} 叫做阈值电压V_{TH} 。
当 V_{GS}\le V_{TH} 时，MOS管处于截止区。
线性区特性我们从数学角度分析一下沟道电流 I_D 与 V_{GS} 的关系：因为栅极和沟道间存在电容，我们用单位电容模型来等效。
由电流的定义可知：I_D = \frac{dQ}{dt} =\frac{dQ}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}\\其中 \frac{dx}{dt} 就是沟道方向电子的速度：\frac{dx}{dt} = v = \mu E = \mu \frac{dV(x)}{dx} ,电子速度等于电场强度乘以载流子迁移率(carrier mobility)，而沟道中每一点的电场强度又等于该点电位对长度的微分。
沟道等效电容[4]由电容定义可得: \frac{dQ}{dx} = \frac{(V_{GS}-V(x))\cdot dC}{dx} = (V_{GS}-V(x))\cdot\frac{C_G}{L} ,每一点的电荷量微分等于栅源电压与该点处电位的差值乘以电容（平行板电容器模型）。
而因为我们假设在沟道的任意点电荷都是均匀的，可以直接把微分扩写成栅极总电容 C_G 和栅长的比。
因此我们就获得了：\begin{align*} I_D =& \frac{dx}{dt}\cdot\frac{dQ}{dx} \\ =& v\cdot\frac{C_G}{L}\cdot(V_{GS}-V(x)) \\ =& \mu \cdot \frac{dV(x)}{dx}\cdot\frac{C_G}{L}(V_{GS}-V(x))\\ \end{align*}两侧对x积分，并带入栅极电容的计算公式： C_G =\frac{\epsilon_{ox}WL}{t_{ox}} ,最终我们可以得到著名的线性区电流公式：I_D =\mu\cdot\frac{\epsilon_{ox}}{t_{ox}}\cdot\frac{W}{L}\c dot\left[ (V_{GS}-V_{TH})\cdot V_{DS}-\frac{1}{2}V_{DS}^2\right]注意这里考虑到了只有大于阈值电压后才导通，因此加入了V_{TH} 项。
并且实际中我们将\mu\cdot\frac{\epsilon_{ox}}{t_{ox}} 写作 \beta ,这是一个工艺参数。
当 V_{DS}\ll 2(V_{GS}-V_{TH}) 时，公式中的二次方项远小于前一项，因此可忽略。
此时的MOS管特性接近纯线性， I_D 跟随 V_{DS} 线性变化，因此可视为一个电阻。
这个区域叫做深三极管区(deep triode region)。
当我们把MOS当作开关使用时，一般想让其工作在这一区域，因此需要使漏源电压尽可能小。
我们可以通过改变过驱动电压 V^*=V_{GS}-V_{TH} 来改变等效电阻的阻值。
饱和区特性由线性区的电流公式可以看出， I_D 和 V_{DS} 成一个开口向下的抛物线关系。
那这是不是表明，如果我们的 V_{DS} 足够大，最终电流会减小到0呢？其实并不是这样，在 V_{DS} 增大到超过抛物线顶点后，MOS管会进入另一个工作区域——饱和区。
饱和区特性[3]回想刚刚推导沟道电荷时的公式，如果沟道电位 V(x) 接近V^* 时，沟道电荷 dQ 将下降至零。
那么如果沟道电位超过了这一值呢？事实证明，沟道电荷会在还没有到达漏极的时候变成零，沟道会出现夹断现象。
在沟道其中的一段长度，电位过低从而无法支持反形层(inversion layer)继续存在了。
我们重新对电荷公式进行积分，这次只选取0到夹断点的积分长度，而不选择整条沟道作为长度：I_D = \frac{1}{2}\beta \frac{W}{L'}(V_{GS}-V_{TH})^2\\这就是饱和区电流公式。
我们可以发现，如果 L'\approx L 的话，当MOS管处在饱和区时，沟道电流与 V_{DS} 实际上就没有太大关系了，沟道电流将会保持相对恒定，这个特性对放大器来说是非常重要的。
可是为什么沟道夹断了还能导电呢？这是因为沟道夹断之后，从夹断点到漏极的一段区域并不是原来的P衬底，而由于漏极的高电位变成了强电场空间。
电子到达夹断点后很容易被强电场捕获至漏极，因此不仅能导电，还是电流相对较大的一段区域。
三、MOS管传导特性MOS管输出I-V曲线[4]可以看到这就是经典的MOS管输出特性曲线图。
随着 V_{DS} 增加，MOS管由线性区进入饱和区，并在饱和区保持相对稳定的输出电流。
同时如果增大 V_{GS} ，可以提高饱和电流的值，但仍需注意保持饱和条件，即 V_{DS}\ge V_{GS}-V_{TH} 。
如果在上图中选取固定的 V_{DS} 值，读出不同 V_{GS} 对应的电流值，我们可以画出另一张MOS管的输入特性曲线图。
在输出I-V图像上选取电流值{4}图上绿色的A是在线性区选取不同的值，橙色的B是在饱和区取值，画出其各自图像。
MOS管输入I-V图像[4]可见线性区是图如其名， I_D 与 V_{GS} 成线性关系。
而在饱和区，他们实际上成平方关系。
MOS管的这种简化模型也被称作“平方律模型”(square-law model)。
四、二阶效应当然真实的MOS管并不像我们描述的这样完美，存在很多二阶效应影响其性能。
我们简略提两个比较有代表性的。
沟道长度调制效应(channel length modulation)在我们分析饱和区夹断效应的时候，曾经作过这样一个假设：L'\approx L 。
但我们知道随着 V_{DS} 的不断增大，实际的沟道长度是减小的。
设实际沟道长度 L'=L-\Delta L ，替换至饱和区电流公式中，得到：\begin{align*} I_D &= \frac{1}{2}\beta \frac{W}{L-\Delta L}(V_{GS}-V_{TH})^2\\ &=\frac{1}{2}\beta\frac{W}{L(1-\frac{\Delta L}{L})}(V_{GS}-V_{TH})^2\\ \end{align*}如果其他参数都不变的话，电流是和实际沟道长度成反比的。
但由于实际沟道长度的计算非常困难，我们采用一个经验模型“Early Voltage”。
令 1-\frac{\DeltaL}{L}=\frac{1}{1+\lambda |V_{DS}|} ，则真实的电流就等于平方律下的饱和电流加上一个与 V_{DS} 有关的项：I_D=I_{D,sat}\cdot(1+\lambda |V_{DS}|)\\式中的 \lambda 称为沟道长度调制系数。
引入此效应之后，饱和区的I-V曲线斜率明显增大了，当 V_{DS} 增加时， I_D 也随之增加。
沟道长度调制效应[4]由公式也可以看出，不管 I_{D,sat} 是多少，有一个相同的V_{DS} 取值使 I_D 为0。
即反向延长饱和区的曲线，最终与X轴交于同一点。
这一点的值是 -\frac{1}{\lambda} ，量纲是V，所以也叫Early Voltage -V_A 。