第一章 1.2 正弦、余弦定理在三角变换中的应用
学习目标：熟练掌握正余弦定理在三角变换中的应用 复习回顾：正弦定理及其变形：
余弦定理及其变形：
在三角形的六个元素中，要知道三个(其中至少有一个为边)才能解该三角形． 解三角形问题可以分为几种类型？分别怎样求解的？ 小结：（1）已知三角形的任意两角及其一边；（ASA,AAS ） （若知A,B 角，先由三角形内角和求角C ，正弦定理求a 、b ） （2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角（SSA ）
（若知A 角，先由正弦定理求B ，由三角形内角和求C ，再由正、余弦定理求c 边） 注意解的个数。

（3）已知三角形的任意两边及它们的夹角；（SAS ）
（若知C 角，先由余弦定理求c 边，再由正弦或余弦定理求角A 、B ） （4）已知三角形的三条边。

（SSS ）
（由余弦定理先求两角 ，由三角形内角和求第三角 ） 问题探究：探究问题（一）正余弦定理的综合应用 例 1、 在△ABC 中，若b 2＋c 2＝a 2＋bc. (1)求角 A 的大小；
.,sin sin 3sin sin sin 1222B C A A C B ABC 求中，已知：在变式训练=--∆
探究问题（二）三角形中的化简求值
例2：△ABC 中，已知a=2，求bcosC ＋ccosB 的值。

推广：△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，证明：a=bcosC+ccosB(射影定理) (必修5 P18练习T3)在△ABC 中，求证
a ＝
b cos C ＋
c cos B ，b ＝c cos A ＋a cos C ，c ＝a cos B ＋b cos A .
【证明】 法一：(余弦定理思想)由余弦定理得
b cos C ＋
c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋b 2－c 2＋a 2＋c 2－b 2
2a ＝a .
所以a ＝b cos C ＋c cos B .同理可证b ＝c cos A ＋a cos C ，c ＝a cos B ＋b cos A . 法二：(正弦定理思想)由正弦定理得a ＝2R sin A .
b cos C ＋
c cos B ＝2R sin B cos C ＋2R sin C cos B ＝2R sin(B ＋C )＝2R sin(π－A )＝2R sin A .
所以a ＝b cos C ＋c cos B .同理可证b ＝c cos A ＋a cos C ，c ＝a cos B ＋b cos A . 法三： (图示说明法)因为BD ＝c cos B ，CD ＝b cos C .
所以a ＝BD ＋DC ＝c cos B ＋b cos C .
同理可证b ＝c cos A ＋a cos C ，c ＝a cos B ＋b cos A .
例3：△ABC 中，若B c a b
C B 求,2cos cos +-=
探究问题（三） 证明三角恒等式
例4：△ABC 中，求证：A c b A
b c C B cos cos cos cos --=
探究问题(四): 判断三角形的形状
例5：在△ABC 中，若 bcosC ＋ccosB ＝asinA ，判断△ABC 的形状？
分析：判断三角形的形状，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系，导出边或角的某种特殊关系，然后利用平面几何知识即可判定三角形的形状。

(2)若a ＝3，b ＝1，求角B 的大小．
变式训练2：根据所给条件，判断△ABC 的形状
（1）acosB=bcosA, (2) acosA=bcosB
（1）解：由余弦定理可将原等式化为：22222222b c a a c b b a bc ac +-+-⋅=⋅
22
22b a a b =∴=即，等腰三角形。

思考题：在△ABC 中，已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a
b
.
(1)求sin C sin A 的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．
思考题1：已知△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝( 3 ＋1)∶( 3 －1)∶10 ，求最大角. 解：∵a sinA ＝b sinB ＝c
sinC ＝k
∴sinA ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝( 3 +1)∶( 3 －1)∶10 设a ＝( 3 ＋1)k ，b ＝( 3 －1)k ，c ＝10 k (k ＞0) 则最大角为C.cosC ＝
a2＋b2－c22ab ＝( 3 ＋1)2＋( 3 －1)2－10 22×( 3 ＋1) ( 3 －1)
＝－1
2 ∴C ＝120°.
评析：在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ，这一转化技巧，应熟练掌握.在三角形中，大边对大角，所以角C 最大。

思考题2：在ABC △中，若2()a b b c =+，求证：2A B =．
证明：
2222cos 2222a c b bc c b c a
B ac ac a b +-++====
∵， 222222
22222cos22cos 1214222a a b b bc b c b
B B b b b b -+--∴=-=⨯-===
．
又
222222()cos 222b c a b c bc b c b
A bc bc b +-+-+-===
∵， cos cos2A B ∴=，而A
B ，是三角形内角，2A B ∴=． 一般的，能用正弦定理解的三角形问题，也可用余弦定理去解．在具体的解题过程中，
同学们可根据题意及自己对知识的掌握情况灵活选择运用公式．
思考题3：.在ABC ∆中，若2222
sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，试判断ABC ∆的形状.
解：方法一：
由正弦定理和已知条件得：
2222sin sin sin sin 2sin sin cos cos B C C B B C B C +=， ∵sin sin 0B C ≠，∴sin sin cos cos B C B C =，即cos()0B C +=，
∵B 、C 为ABC ∆的内角，∴90B C +=，90A =，故ABC ∆为直角三角形.
方法二：原等式变形为：
2222(1cos )(1cos )2cos cos b C c B bc B C -+-=， 即：222222
cos cos 2cos cos b c b C c B bc B C +--=，
由余弦定理得：
222222222222
2
2
2
222()()22222a b c a c b a c b a b c b c b c bc ab ac ac ab +-+-+-+-+--=⋅⋅
⇒2222222
2
2
2[()()]4a b c a c b b c a +-++-+=
⇒222b c a +=
故ABC ∆为直角三角形.。