平面几何讲义——真题选讲主讲人：孙福祥1、设PQRS是圆O的内接四边形，PS为直径，QR//PS.PR与QS交于点A.B为平面上一点，使得四边形POAB为平行四边形.证明：BQ=BP.2、在四边形ABCD中，DP⊥AB于P，BS⊥CD于S，BR⊥AD于R，DQ ⊥BC于Q.若SPQ∠，证明：PR=SQ.=PSR∠3、已知PA,PC 与圆Γ相切于A,C 两点.过点P 作圆的割线交圆于Q,交弦AC 于B ，AQC ∠的平分线交弦AB 于R ，交圆于点S.证明：22RCAR BC AB =.4、在等腰△ABC 中，CA=CB ，I 为其内心.设P 是△AIB 的外接圆在△ABC 内部的圆弧上一点，过P 分别平行于CA 和CB 的直线分别交AB 于点D 和E ，过点P 平行于AB 的直线交AC 于F ，交BC 于G.证明：直线DF 与直线EG 的交点在△ABC 的外接圆上.5、在△ABC中，一个经过A，B两点的圆交边AC,BC于点D,E.BA和ED的延长线交于点F，BD的延长线交CF于点M.证明：MF=MC的充要条件是2MB=⋅.MDMC6、设ABCD是圆内接四边形，过点D向直线BC,CA,AB分别引垂线，垂足依次为P,Q,R.证明：PQ=QR的充要条件是ABC∠∠的平分线，ADC 的平分线和AC三线共点.7、圆1O 和圆2O 相交于A,B 两点.过点A 所作的两圆的切线分别与1BO 和2BO 相交于点K,L 两点.证明：21//O O KL .8、内接于圆的四边形ABCD 的两条对角线相交于点O.设△ABO 和△CDO 的外接圆分别为1S 和2S ，两圆交于点O 和K.过点O 分别作AB 和CD 的平行线，它们分别与圆1S 和圆2S 交于点L 和M ，在线段OL 和OM 上取点P 和Q ，使得QO MQ PL OP :: .证明：O,K,P,Q 四点共圆.9、已知△ABC为锐角三角形，AB≠AC，以BC为直径的圆分别交边AB 和AC于点M和N,记BC得中点为O，BAC∠的平分∠的平分线和MON线交于点R.证明：△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在BC 上.10、在凸四边形ABCD中，对角线BD不平分对角中的任意一个.点P 在四边形ABCD内部，并且满足DBA=∠.若PBC∠PDC∠∠和BDA=A,B,C,D四点共圆，证明：AP=CP.11、已知半圆O的直径为AB，C为OB上一点，过点C且垂直于AB的直线交半圆O于点D.圆P与半圆O内切于点F，与CD切于点E，与BC切于点G.证明：△ADG为等腰三角形.12、给定直角△ABC，ACB∠为直角，点D是边AC上任意一点，两个圆与直线AB分别相切于A,B两点,两圆相交于D,E两点.证明：∠.=BAC∠DEC13、M,N,P 是△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点，111P N M ，，在△ABC 的三边上，并且111PP NN MM ，，分别平分△ABC 的周长.证明：111PP NN MM ，，交于一点K ；K 是△MNP 的内心.14、已知锐角△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，M 是边AB 的中点.过M 的直线分别交设弦CA,CB 于点K,L ，并且CK=CL.若△CKL 的外心为S ，证明：SD=SM.15、已知△ABC 中，由点A 分别向C B ∠∠,的平分线引垂线，垂足分别为21A A ，.同理定义21B B ，和21C C ，. 证明：()CA BC AB C C B B A A ++=++2121212.16、已知等腰△ABC 中，AB=BC ，平行于BC 的中位线交△ABC 的内切圆于点F ，其中F 不在底边AC 上.证明：过点F 的切线与C ∠的平分线的交点在边AB 上.17、设I 是△ABC 的内心，I 关于三边的对称点分别是C B A ''',,，并且△C B A '''的外接圆过点B.证明： 60=∠ABC .18、设I 是△ABC 的内心，射线AI,BI,CI 与△ABC 的外接圆分别交于点D,E,F.证明：AD ⊥EF.19、已知△ABC的外接圆为S，且满足AB<AC.过点A的高线交圆S于点P，X为线段AC上的点，并且BX交圆S于点Q.证明：BX=CX的充要条件是PQ为圆S的直径.20、已知D为△ABC的边AB上一点，使得4AD=AB,过D的射线l满足与AD的夹角ACBθ，且射线l与点C在直线AB的同侧.若l与△ABC=∠的外接圆交于点P，证明：PB=2PD.21、两圆21O O ，外切于点M ，并且圆2O 的半径大于圆1O 的半径，点A是圆2O 上一点，并且A,21O O ，三点不共线.AB,AC 是圆1O 过点A 的两条切线，切点分别是B,C.直线MB,MC 于圆2O 的另外一个交点分别是E,F ，点D 是线段EF 与圆2O 以A 为切点的切线的交点.证明：当点A在圆2O 上移动且保证A,21O O ，三点不共线时，点D 沿一条固定的直线移动.22、P 是△ABC 内的一点，直线AC 与BP 相交于点Q ，直线AB 与CP 相交于点R.已知AR=RB=CP,CQ=PQ.求BRC 的度数.23、已知圆内接正△ABC，在劣弧BC上有一点P，若AP与BC交于点D，且PB=21，PC=28.求PD的长度.24、设圆O和直线l不相交，AB是圆O的一条直径，并且垂直于直线l，点B比点A更靠近直线l.在圆O上任取一点C(异于A,B两点)，直线AC交直线l与D，直线DE与圆O切于点E，并且B,E在AC的同侧.设BE交直线l于点F，AF交圆O于点G（异于点A）.证明：点G 关于直线AB的对称点在直线CF上.25、已知非等边三角形ABC 中，角A 的平分线交对边BC 于A ',A A '的中垂线对边BC 于A ''.同样的定义C B '',和C B '''',.证明：C B A '''''',,三点共线.26、设AD 是圆21O O ，的公共弦，过点D 的直线交圆1O 于B ，交圆2O 于C.E 是线段AD 上异于A,D 的点，连接CE 交圆1O 于P,Q 两点.连接BE交圆2O 于M,N 两点.证明：（1）PMQN 四点共圆，圆心记作3O ；（2）BC DO ⊥3.27、已知△ABC中，C>∠,AB∠∠的平分线和过顶点A的高线，中线，分别与BC边交于点L,H,D.证明：DAL=∠的充要条件是HAL∠=∠BAC.9028、设L是正方形ABCD的外接圆的劣弧CD上的任意一点（异于点C,D),AL与CD交于点K，CL与AD交于点M，MK与BC交于点N.证明：BMLN四点共圆.29、设四边形ABCD 内接于圆.若CD AD BC AB ⋅=⋅2，证明：2298AC BD ≤.30、已知圆O 的半径为r ，A 为圆外一点，过点A 作直线l （异于AO ），交圆O 于点B ，C ，且B 在A,C 之间，作直线l 关于AO 的对称直线，交圆O 于D,E 两点，且E 在A,D 之间.证明：四边形BCDE 两条对角线的交点为定点，即该点不依赖于直线l 的位置.31、设点O是锐角△ABC的外心.分别以△ABC三边的中点为圆心作过点O的圆，这三个圆两两的异于O的交点分别是K,L,M.证明：点O 是△KLM的内心.32、△ABC的内心为I，三角形内一点P满足=∠∠+∠.证明：AIPBA∠+PBCPCBPCAAP≥，并且等号当且仅当P与I重合时成立.33、设△ABC的外接圆为O，过B,C作BC的垂线h和g，AB的中垂线与h交于点F，AC的中垂线与g交于点G.证明：CGBF 为定值.34、在凸四边形ABCD中，BE//AD，交AC的延长线于点E，AF//BC交BD的延长线于点F，连接EF，证明：EF//CD.35、已知两个圆相内切，切点为A，一条直线依次与这两个圆交于点M,N,P,Q.证明：NAQ∠.MAP∠=36、在△ABC中，∠BAC.设三内角平分线分别交其对边于点D,E,F.=120证明：以EF为直径的圆过点D.37、已知圆心分别为A,B的两圆交于C,D两点.过点A,B,C的圆与圆A，圆B分别交于点E,F，且不包含点C的弧EF在圆A和圆B的外部.证明：CD平分弧EF.38、设点D是△ABC的边AC上一点，且BD=CD.点E是BC边上任意一点（异于B,C两点），过E作BD的平行线交AB于点F.如果AE交BD 于点G，证明：BCF∠.=BCG∠39、设H是锐角△ABC的高线CP上任意一点，AH和BH分别交BC和AC于点M和N.证明：MPC=∠.NPC∠40、已知点O是锐角△ABC的外心，直线AO与BC交于点K，点L,M 分别是边AB和AC上的点，并且KL=KB，KM=KC.证明：LM//BC.41、设点C 是以O 为圆心的半圆的直径AB 上一点（异于A,B,O ）.过点C 作两条直线与直线AB 成等角，它们与半圆分别交于点D,E （异于A,B ）；过点D 作直线CD 的垂线交半圆于点K.如果K 异于点E ，证明：KE//AB.42、在锐角△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥BC 于E.F 为DE 上一点（异于D,E ），且满足DB AD FD EF .证明：CF ⊥AE.43、在三角形ABC 中，D 是BC 的中点，点M 在边BC 上，并且满足CAD BAM ∠=∠.记△CAM 的外接圆与AB 边的另一个交点为K ，△BAM 的外接圆与AC 边的另一个交点为L.证明：KL//BC.44、在三角形ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 上一点，连接BE 交AD 于F ，若1+=ABBC FE BF ，证明：BE 平分ABC ∠.45、圆O的两条弦AC和BD相交于K，设M,N分别是△AKB和△CKD 的外心.证明：四边形OMKN是平行四边形.46、过圆O外一点P作圆O的一条切线PC和一条割线PAB，已知这两条线均在PO的同一侧，CQ⊥PO于Q.证明：QC平分AQB.47、已知圆内接四边形ABCD 满足AB=2AD ，BC=2CD.若α=∠BAD ，AC=d ，求△ABC 的面积.48、设点D 事△ABC 内一点，满足 30=∠=∠DCA DAC ， 60=∠DBA ，E 是边BC 的中点，F 是边AC 的三等分点，满足AF=2FC.证明：DE ⊥EF.49、在△ABC中，D,E分别在边AB,AC上，并且满足DB=BC=CE，设直线CD与BE交于点F.证明：△ABC的内心I，△DEF的垂心H，△ABC 的外接圆的弧BAC的中点M三点共线.50、圆P内切圆O于点T，M,N分别是圆P上两点，AM的延长线交圆O于B，CN的延长线交圆O于点A，AD与BC交于点K，且M,N,K三点共线.证明：NTK∠.=MTK∠51、设点P 为△ABC 所在平面内一点，γ为一条过P 的直线.设点C B A ''',,分别为直线PA,PB,PC 关于γ的对称直线与直线BC,CA,AB 的交点.证明：C B A ''',,三点共线.52、已知A,B,C 三点在以O 为圆心的圆Ω上，并且 90>∠ABC .令D 是直线AB 与过点C 且垂直于AC 的直线的交点，l 是过点D 且垂直于AO 的直线，E 是l 与AC 的交点，F 是圆Ω与l 的交点（F 在D,E 之间）.证明：△BEF 和△CFD 的外接圆相切于点F.53、锐角三角形ABC内接于圆O，并且AB<AC<BC，角平分线AD交圆O于K，圆O的圆心在线段OA上，并且圆1O经过A,D两点，圆1O与1AB,AC的另一个交点分别是E和Z，若M,N分别是线段CZ和BE的中点.证明：EZ,DM,KC三线共点于T，EZ,DN,KB三线共点于S，且OK为ST的中垂线.54、圆Γ和圆2Γ外切于点R，直线1l过圆1Γ的圆心1O且切圆2Γ于点P，1直线l过圆2Γ的圆心2O且切圆1Γ于点Q.设直线1l与2l不平行，并记它2们的交点为K.证明：若KP=KQ，则△PQR为等边三角形.55、两个圆S和T外切于点X.两圆的一条公切线切圆S于A，切圆T 于B，A和B不同.已知AP是圆S的直径，证明：B,X,P三点共线.56、已知△ABC，圆S过点B且与CA相切于点A，圆T过点C且与AB 相切于点A.圆S和圆T交于点A,D.直线AD和△ABC的外接圆O相交于E.证明：D是线段AE的中点.57、△ABC 内一点P 满足PCA ABP ∠=∠，点Q 使得PBQC 为平行四边形.证明：CAP QAB ∠=∠.58、已知ABCD 是圆Ω的内接四边形，P 是AC 延长线上一点，使得PB,PD 是圆Ω的切线.过点C 作圆Ω的切线与直线PD,AD 分别交于点Q,R.若E 是AQ 与圆Ω的另一个交点.证明：B,E,R 三点共线.59、如图，AD⊥BC于D，K是AD上一点，以K为圆心，AK为半径的圆交AB,AC于点P,Q，并且CQAP⋅⋅，O是△ABC的外心.证明：=AQBP圆K与△BCO的外接圆外切.60、AB是圆O的一条弦，中点为M，过点M做一条非直径的弦CD，过点C和D作圆O的两条切线，分别与直线AB交于点P,Q.证明：PA=PB.61、AB是圆O的直径，非直径的弦CD⊥AB，E为OC的中点，连接AE 并延长交圆O于点P，连接DP交BC于点F.证明：F是BC的中点.62、非锐角△ABC中，BD,CE分别是边AC,AB上的高.以AB为直径作圆交CE于点M，在BD上取点N，使得AN=AM.证明：AN⊥CN.63、圆O 是梯形ABCD 的内切圆，切点分别是E,F,G,H,，AB//CD.作BP//AD 交DC 的延长线于点P ，AO 的延长线交CP 于点Q.若AE=BE,证明：PBQ CBQ ∠=∠.64、已知平行四边形ABCD ，过点A,B,C 三点的圆1O 分别交AD,BD 于点E,F ，过C,D,F 三点的圆2O 交AD 于点G ，设圆1O ，2O 的半径分别为21,R R .证明：2122R R AD EG =.65、在锐角△ABC中，AB>AC，cosB+cosC=1,E,F分别是AB,AC延长线上的点，且满足∠ACE=ABF.（1）证明：BE+CF=EF；（2）设EBC90=∠∠的平分线与EF交于点P，证明：CP平分BCF∠.66、已知PA,PB是圆O的切线，切点分别是A,B.PCD是圆O的一条割线，过点C作PA的平行线，分别与弦AB,AD交于点E,F.证明：CE=CF.67、△ABC的内切圆分别切BC,CA,AB于点D,E,F，P是内切圆内任意一点，线段PA,PB,PC分别与内切圆交于点X,Y,Z.证明：XD,YE,ZF三线共点.68、过点P引圆O的切线PA和割线PBC，AD⊥PO与D.证明：AC是△ABD的外接圆的切线.69、在△ABC 中， 90=∠C ,I 是内心，直线BI 与AC 交于点D ，过D 作DE//AI 与BC 交于点E ，直线EI 与AB 交于点F.证明：DF ⊥AI.70、如图，在五边形ABCDE 中，BC=DE,CD//BE,AB>AE.若DAE BAC ∠=∠,且EDAEBD AB =，证明：AC 平分线段BE.71、已知A,B是圆O上的两个定点，C是优弧AB的中点，D是劣弧AB上任意一点，过点D作圆O的切线，与圆O在点A,B处的切线分别交于点E,F，CE、CF与弦AB分别交于点G,H.证明：线段GH的长度为定值.72、如图，已知M是△ABC的边BC的中点，圆O过点A,C且与AM相切，BA的延长线与圆O交于点D,直线CD与MA交于点P.证明：PO⊥BC.73、如图，在△ABC中，C∠,为锐角，AD⊥BC，DE⊥AC，M为DEB∠的中点.若AM⊥BE于F，证明：△ABC为等腰三角形.74、在平行四边形ABCD中，已知I是△BCD的内心，H是△IBD的垂心.证明：HAD∠.=HAB∠。