专题8 平面解析几何纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.预测2021年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查圆、椭圆、双曲线、抛物线问题，难度在中等或以下.主观题考查或直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，相关各种综合问题应有充分准备.一、单选题1．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知点()2,4M 在抛物线C :22y px =(0p >)上,点M 到抛物线C 的焦点的距离是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】由点()2,4M 在抛物线22y px =上，可得164p =，解得4p =，即抛物线2:8C y x =，焦点坐标(2,0)F ，准线方程为2x =-． 所以，点M 到抛物线C 焦点的距离为：()224--=． 故选：A ．2．（2020·山东高三模拟）已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ）AB ．2C ．4D ．【答案】C 【解析】圆22650x y y +-+=可化为22(3)4x y +-=.设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,l l 的斜率分别为1212,22x xk k ==， 所以12,l l 的方程为()21111:24x x l y x x =-+，即112x y x y =-，()22222:24x x l y x x =-+，即222x y x y =-，由于12,l l 都过点(,3)P t -，所以11223232x t y x t y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即()()1122,,,A x y B x y 都在直线32xt y -=-上， 所以直线AB 的方程为32xt y -=-，恒过定点(0,3)， 即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4. 故选:C.3．（2020届山东省济宁市高三3月月考）过点(的直线将圆()22325x y -+=分成两段圆弧，当两段圆弧中的劣弧所对圆心角最小时，该直线的斜率为( ) A． BC．-D【答案】D 【解析】点(为圆内定点，圆心到直线的距离越长，则劣弧所对的圆心角越大，∴只有当过点(的直线与过点(和圆心的直线垂直时，可以使两段圆弧中的劣弧所对的圆心角最小， 过点()2,3和圆心()3,0的直线斜率为303k -==- ∴过点()2,3的直线斜率为133k -=故选：D4．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）过点()1,2P 的直线与圆221x y +=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．43-C ．0或43D ．43【答案】C【解析】当0a =时，直线10ax y +-=，即直线1y =，此时过点()1,2P 且与直线1y =垂直的直线为1x =，而1x =是与圆相交，不满足题意，所以0a =不成立，当0a ≠时，过点()1,2P 且与直线10ax y +-=垂直的直线斜率为1a ，可设该直线方程为()121y x a-=-，即210x ay a -+-=，再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为1可得，22111a a -=+，解得43a =.故本题正确答案为C. 5．（2020届山东省高考模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C ．2D ．3【答案】D 【解析】根据题意可画出以上图像，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ，因为123MF MF ，M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MF MF a ，即2232MF MF a ，2MF a =，因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =， 因为OM b =，2MF a =，2OF c =，222+=a b c ， 所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，因为2MHOF ，所以22OF MH OM MF ，ab cMH，即M 点纵坐标为ab c ，将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22222a b c x b ，解得2b cx，2,b ab ccM， 将M 点坐标带入双曲线中可得422221b a a c c ，化简得4422b a a c ，222422c aa a c ，223c a =，3c ae，故选D 。

6．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F ，若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，则双曲线的离心率是（ ） A ．51- B ．352+ C ．512+ D ．31+【答案】C 【解析】由题意可得()1,0A a -，()2,0A a ，()10,Bb ，()20,B b -， ()1,0Fc -，()2,0F c ，且222a b c +=，菱形1122F B F B由以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为A ，B ，C ，D ．由面积相等，可得112222b c a ⋅⋅=⋅， 即为()22222b c abc =+，即有442230c a a c +-=， 由ce a=，可得42310e e -+=，解得232e ±=，可得e =e =(舍去) 故选：C ．7．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C的左顶点，点P 在过A且斜率为6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12 C ．13D ．14【答案】D 【解析】分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率. 详解：因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP222tan sin cos 6PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D.8．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交C ．外切D ．相离【答案】B 【解析】 化简圆到直线的距离，又 两圆相交. 选B9．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A 62-B 21C 62+ D 21【答案】D 【解析】直线F 2A 的直线方程为：y ＝kx 2p -，F 1（0，2p ），F 2（0，2p -）， 代入抛物线C ：x 2＝2py 方程，整理得：x 2﹣2pkx +p 2＝0， ∴△＝4k 2p 2﹣4p 2＝0，解得：k ＝±1， ∴A （p ，2p ），设双曲线方程为：2222y x a b-=1，丨AF 1丨＝p ，丨AF 2丨222p p =+=，2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（ 21）p ，2c ＝p ， ∴离心率e 221ca ===-1， 故选：D ．10．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为（ ）A ．7112+B ．9+C ．8312D ．9+【答案】D 【解析】抛物线方程中：令1y =可得14x =，即1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 结合抛物线的光学性质，AB 经过焦点F ，设执行AB 的方程为()1y k x =-， 与抛物线方程联立可得：()2222220k x k x k -++=， 据此可得：11,4A B B Ax x x x =∴==， 且：254A B AB x x p =++=， 将4x =代入24y x =可得4y =±，故()4,4B -，故MB ==故△ABM 的周长为1253944MA AB BM ⎛⎫++=-++=+ ⎪⎝⎭本题选择D 选项.11．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知双曲线C :22221x y a b -=,(0a >,0b >)的左､右焦点分别为1F ,2F , O 为坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,1222PF PF m ==,(0m >),212PF PF m ⋅=,则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y x =±D ．y =【答案】D【解析】因为122PF PF a -=，1222PF PF m ==可得2m a =，由212PF PF m⋅=可得 21242cos 4a a F PF a ⋅∠=，所以1260F PF ︒∠=，即有222214416242122c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，即22223c a b a =+=，所以ba=所以双曲线的渐近线方程为：y =． 故选：D ．12．（2020·山东高三下学期开学）已知抛物线2:12C y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且,,A F B 三点共线，则||AF =（ ） A ．12 B ．10C ．6D ．8【答案】A 【解析】因为,,A F B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥，//AD x 轴，F 为AB 中点，因为F 到准线的距离为6，所以||12AD = 由抛物线定义知||||12AD AF ==， 故选：A13．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【答案】A 【解析】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB =点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABPSAB d ==∈ 故答案选A.14．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知点()2,4M 在抛物线C :22y px =(0p >)上,点M 到抛物线C的焦点的距离是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】由点()2,4M 在抛物线22y px =上，可得164p =，解得4p =，即抛物线2:8C y x =，焦点坐标(2,0)F ，准线方程为2x =-． 所以，点M 到抛物线C 焦点的距离为：()224--=． 故选：A ．15．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）过点(的直线将圆()22325x y -+=分成两段圆弧，当两段圆弧中的劣弧所对圆心角最小时，该直线的斜率为( )A ．BC ．3-D ．3【答案】D 【解析】点(为圆内定点，圆心到直线的距离越长，则劣弧所对的圆心角越大，∴只有当过点(的直线与过点(和圆心的直线垂直时，可以使两段圆弧中的劣弧所对的圆心角最小，过点(和圆心()3,0的直线斜率为k ==∴过点(的直线斜率为13k -=故选：D16．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为( )A B ．2C ．D ．【答案】A 【解析】由2,,,a b c ====．,P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在2y x =上，1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 17．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知双曲线C :22221x y a b-=,(0a >,0b >)的左､右焦点分别为1F ,2F ,O 为坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,1222PF PF m ==,(0m >),212PF PF m ⋅=,则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y x =±D ．y =【答案】D 【解析】因为122PF PF a -=，1222PF PF m ==可得2m a =，由212PF PF m⋅=可得21242cos 4a a F PF a ⋅∠=，所以1260F PF ︒∠=，即有222214416242122c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，即22223c a b a =+=，所以ba=所以双曲线的渐近线方程为：y =． 故选：D ．18．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左､右顶点分别是12,A A ，过F 作x 轴的垂线与双曲线交于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的离心率为（ ）AB．CD【答案】A 【解析】设双曲线的半焦距为c ，令x c =，则2by a =±，不妨设22,,,b b C c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()12222200,A BA C b b b b a a kk a c a a c a c a a c +-==-==---+--， 因为12A B A C ⊥，故()()221b b a a c a a c ⎡⎤-⨯-=-⎢⎥+-⎣⎦，整理得到a b =，故离心率e ==故选：A. 二、多选题19．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 、E ，直线x m =(11)m -<<与椭圆相交于点A 、B ，则（ ） A ．当0m =时，FABB ．不存在m 使FAB 为直角三角形C ．存在m 使四边形FBEA 面积最大D ．存在m ，使FAB 的周长最大【答案】AC 【解析】 如图：对于A 选项，经计算显然正确；对于B 选项，0m =时，可以得出3AFE π∠=，当1m =时，4AFE π∠<，根据对称性，存在m 使FAB为直角三角形，故B 错误；对于C 选项，根据椭圆对称性可知，当0m =时，四边形FBEA 面积最大，故C 正确； 对于D 选项，由椭圆的定义得：FAB 的周长(2)(2)4AB AF BF AB a AE a BE a AB AE BE =++=+-+-=+--； ∵AE BE AB +≥；∴0AB AE BE --≤，当AB 过点E 时取等号； ∴44AB AF BF a AB AE BE a ++=+--≤； 即直线x m =过椭圆的右焦点E 时，FAB 的周长最大；此时直线1x m c ===；但11m -<<，所以不存在m ，使FAB 的周长最大.故D 错误.故选：AC20．（2020·山东高三模拟）设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点1F 且斜率为157的直线l 与C 在第一象限相交于一点P ，则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 倾斜角的余弦值为78B ．若112F P F F =，则C 的离心率43e = C ．若212PF F F =，则C 的离心率2e = D ．12PF F △不可能是等边三角形【答案】AD 【解析】设直线倾斜角为α，则tan α=，所以7cos 8α=.P 在第一象限内，若112F P F F =，则1122PF F F c ==，222PF c a =-，由余弦定理得222244(22)788c c c a c +--=， 整理得23840e e -+=，解得2e =或23e =（舍）. 若212PF F F =，则2122PF F F c ==，122PFc a =+， 由余弦定理得2224(22)478()8c c a c c c a ++-=+， 整理得2340e e --=， 解得43e =或1e =-（舍）. 由12PF PF >，知12PF F △不可能为等边三角形. 故选:AD.21．（2020届山东省高考模拟）设A ，B 是抛物线2y x 上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是（ ）A ．若OA OB ⊥，则2OA OB ≥ B ．若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0)C ．若OA OB ⊥，O 到直线AB 的距离不大于1D ．若直线AB 过抛物线的焦点F ，且13AF =，则||1BF = 【答案】ACD 【解析】B.设直线AB 方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 将直线AB 方程代入抛物线方程2y x ，得20x kx b --=，则12x x k +=，12x x b =-，OA OB ⊥，1OA OB k k b ∴=-=-，1b =．于是直线AB 方程为1y kx =+，该直线过定点(0,1)．故B 不正确； C.O 到直线AB 的距离211d k =+，即C 正确；A.22222424221122112212||||()()()()(1)(1)OA OB x y x y x x x x x x =++=++=++ 222222212121212124()x x x x x x x x =+++=++=++．||||2OA OB ∴正确； D.由题得11111,4312y y +=∴=,所以2113==12x x ∴±，，不妨取3x =. 所以1131243k -==-，所以直线AB 的方程为3134y x =-+，所以14b =.由题得212121211111||()2244222AB y y y y k x x b k b =+++=++=+++=++=1114++=3223.所以41||133BF =-=.所以D 正确.故选：ACD ．22．（2020届山东省济宁市高三3月月考）设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于,B D 两点，若90ABD ∠=，且ABF ∆的面积为93，则( ) A ．3BF =B ．ABF ∆是等边三角形C ．点 F 到准线的距离为3D ．抛物C 的方程为26y x =【答案】BCD 【解析】由题意，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于,B D 两点，且90ABD ∠=由抛物线定义，可得AB AF BF ==，所以ABF ∆是等边三角形， 所以30FBD ∠=，2ABF S ∆==6BF ∴=，又焦点F 到准线的距离为sin303p BF ==，则抛物线方程为26y x =则有BCD 正确，A 错误. 故选：BCD23．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ．若抛物线C 上存在一点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3．则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的方程是22x y = B ．抛物线的准线是1y =- C ．sin QMN ∠的最小值是12D ．线段AB 的最小值是6【答案】BC 【解析】抛物线()2:20C x py p =>的焦点为02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得抛物线的准线方程为2p y =-， 点()2E t ，到焦点F 的距离等于3，可得232p+=，解得2p =， 则抛物线C 的方程为24x y =，准线为1y =-，故A 错误，B 正确； 由题知直线l 的斜率存在，()0F ，1，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1y kx =+， 由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=， 所以124x x k +=，124x x =-，所以()21212242y y k x x k +=++=+，所以AB 的中点Q 的坐标为()2221k k +，，221242244AB y y p k k =++=++=+，故线段AB 的最小值是4，即D 错误；所以圆Q 的半径为222r k =+，在等腰QMN 中，22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∠===-≥-=++， 当且仅当0k =时取等号， 所以sin QMN ∠的最小值为12，即C 正确， 故选：BC.24．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于,B D 两点，若90ABD ∠=，且ABF ∆的面积为93，则( ) A ．3BF =B ．ABF ∆是等边三角形C ．点 F 到准线的距离为3D ．抛物C 的方程为26y x =【答案】BCD 【解析】由题意，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于,B D 两点，且90ABD ∠= 由抛物线定义，可得AB AF BF ==，所以ABF ∆是等边三角形， 所以30FBD ∠=，23934ABF S ∆==6BF ∴=，又焦点F 到准线的距离为sin303p BF ==，则抛物线方程为26y x =则有BCD 正确，A 错误. 故选：BCD25．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面n 千米，并且F A B 、、三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为222a b c 、、，则（ ）A ．a c m R -=+B ．a c n R +=+C ．2a m n =+D ．()()b m R n R ++【答案】ABD 【解析】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得m a c Rn a c R=--⎧⎨=+-⎩ ，（*）a c m R ∴-=+ ，故A 正确；a c n R +=+，故B 正确；（*）两式相加22m n a R +=-，可得22a m n R =++，故C 不正确； 由（*）可得m R a c n R a c+=-⎧⎨+=+⎩ ，两式相乘可得()()22m R n R a c ++=-222a c b -= ，()()()()2b m R n R b m R n R ∴=++⇒=++ ，故D 正确.故选：ABD26．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知点P 是双曲线E ：221169x y -=的右支上一点，1F ，2F 为双曲线E 的左、右焦点，12PF F ∆的面积为20，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 的横坐标为203B ．12PF F ∆的周长为803C ．12F PF ∠小于3πD ．12PF F ∆的内切圆半径为34【答案】ABC 【解析】设12F PF ∆的内心为I ，连接22IP IF IF 、、，双曲线E ：221169x y -=中的4a =，3b =，5c =， 不妨设()P m n ，，0m >，0n >， 由12PF F ∆的面积为20，可得1215202F F n cn n ===，即4n =， 由2161169m -=，可得203m =，故A 符合题意； 由2043P ⎛⎫⎪⎝⎭，，且()150F -，，()250F ，， 可得11235PF k =，2125PF k =， 则(121212360535tan 0312123191535F PF -==∈⨯+⨯，，则123F PF π<∠，故C 符合题意；由12371350333PF PF +==+=，则12PF F ∆的周长为50801033+=，故B 符合题意； 设12PF F ∆的内切圆半径为r ，可得()12121211422r PF PF F F F F ++=⋅⋅，可得80403r =，解得32r =，故D 不符合题意． 故选：ABC ．27．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）设椭圆的方程为22124x y +=，斜率k 为的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于,A B 两点，M 为线段AB 的中点.下列结论正确的是（ ）A ．直线AB 与OM 垂直；B ．若点M 坐标为()1,1，则直线方程为230x y +-=；C ．若直线方程为1y x =+，则点M 坐标为13,34⎛⎫⎪⎝⎭D ．若直线方程为2y x =+，则AB =【答案】BD 【解析】对于A 项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质4212AB OM k k ⋅=-=-≠-， 所以A 项不正确；对于B 项，根据2AB OM k k ⋅=-，所以2AB k =-， 所以直线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=， 所以B 项正确；对于C 项，若直线方程为1y x =+，点14(,)33M ，则1442AB OM k k ⋅=⋅=≠-， 所以C 项不正确；对于D 项，若直线方程为2y x =+，与椭圆方程22124x y +=联立， 得到222(2)40x x ++-=，整理得：2340x x +=，解得1240,3x x ==-，所以4033AB =-=， 所以D 正确； 故选：BD.28．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）已知点P 在双曲线22:1169x y C -=上，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，若12PF F ∆的面积为20，则下列说法正确的有（ ） A ．点P 到x 轴的距离为203B ．12503PF PF += C ．12PF F ∆为钝角三角形 D ．123F PF π∠=【答案】BC 【解析】因为双曲线22:1169x y C -=，所以5c ==.又因为12112102022PF F P P S c y y ∆=⋅=⋅⋅=，所以4P y =，所以选项A 错误； 将4P y =代入22:1169x y C -=得2241169x -=，即203P x =. 由对称性，不妨取P 的坐标为20,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，可知2133PF ==. 由双曲线定义可知1213372833PF PF a =+=+=， 所以12133750333PF PF +=+=，所以选项B 正确； 由对称性，对于上面点P ， 在12PF F ∆中，12371321033PF c PF =>=>=. 且2222121212125cos 0213PF F F PF PF F PF F F +-∠==-<⋅，则21PF F ∠为钝角，所以12PF F ∆为钝角三角形，选项C 正确；由余弦定理得222121212123191cos 22481PF PF F F F PF PF PF +-∠==≠⋅，123F PF π≠∠，所以选项D 错误.故选：BC. 三、填空题29．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点（O为坐标原点），且AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为________．【答案】【解析】AOB ∆为等腰直角三角形 OA OB ∴⊥，又OA OB r === 2AB ∴=又圆O的圆心到直线距离d ==2AB ∴===，解得：a =故答案为30．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．1 2 【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中22,m n 关系，即得双曲线N 的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c，再根据椭圆定义得2c a +=，解得椭圆M 的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M的离心率为1.c a ==双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，，222222234 2.m n m m e e m m++∴===∴=， 31．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）双曲线2213x y -=的渐近线与直线3x =围成的图形绕y轴旋转360︒，则所得旋转体的体积为___；表面积为_____ 【答案】4π 83π 【解析】双曲线2213x y -=的渐近线3y x =±，与直线3x =的交点为()3,1和()3,1-，该旋转体为底面半径是3，高为2的圆柱，挖掉两个底面半径为3，高为1，母线长为2的圆锥， 所以所得旋转体的体积为()()22123223143V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=圆柱圆锥，表面积为23223283S πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=， 故答案为：4π，83π.32．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．63-【解析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形, 设AF AB x '== ,则24x x x a +=,解得(422)x a =-,(222)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,所以2962,63e e =-=,故答案为63-.33．（2020届山东省泰安市肥城市一模）在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点（2，3）对称，则直线l 的方程是________________. 【答案】6x －8y ＋1＝0 【解析】由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，则直线l 1：y ＝k （x －3）＋5＋b ，平移后的直线方程为y ＝k （x －3－1）＋b ＋5－2即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34， ∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b取直线l 上的一点3,4P m m b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，则点P 关于点（2，3）的对称点为34,64m b m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭ ， ()331164444b m m b --=-++ ，解得b ＝18.∴直线l 的方程是3148y x =+ ，即6x －8y ＋1＝0.故答案为：6x －8y ＋1＝034．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知直线0x y a -+=与圆22:2o x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为__________；【答案】 【解析】由题,因为AOB ∆为等腰直角三角形,故2AB ==,故圆心O 到直线0x y a -+=的距离1d ==.1a =⇒=故答案为：35．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）以双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的右焦点(),0F c 为圆心，a 为半径的圆与C 的一条渐近线交于A ，B 两点，若23AB c =，则双曲线C 的离心率为__________． 【答案】5【解析】∵双曲线的一个焦点为F （c ，0），双曲线的一条渐近线为y ba=x ，即bx ﹣ay ＝0， ∴焦点到渐近线的距离d bcb c===， ∵|AF |＝|BF |＝a ，∴|AD|=则|AB |＝2|AD |＝23=c ， 平方得4（a 2﹣b 2）49=c 2， 即a 2﹣c 2+a 219=c 2， 则2a 2109=c 2， 则c 295=a 2，则c =a ，即离心率e 35=， 故答案为：35．36．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）对于中心在原点的双曲线，给出下列三个条件： ①离心率为2；②一条渐近线的倾斜角为30；③实轴长为4，且焦点在x 轴上. 写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程________.【答案】①②()2203x y λλ-=>或()2203x y λλ-=>；①③221412x y -=；②③223144x y -=【解析】若选①②：若双曲线的焦点在x 轴上，则设双曲线方程为22221x ya b-=，所以2tan 30ca b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=︒⎪⎩，所以23c a a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为()2203x y λλ-=>，若双曲线的焦点在y 轴上，则设双曲线方程为22221y xab-=，所以2tan 30c a a b⎧=⎪⎪⎨⎪=︒⎪⎩，所以23c a b a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为()2203x y λλ-=>；若选①③：因为224c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以42c a =⎧⎨=⎩，所以2b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩221412x y -=；若选②③：因为tan 302b a a ⎧=︒⎪⎨⎪=⎩，所以2b a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以双曲线方程为：223144x y -=. 故答案为：()2203x y λλ-=>(或()2203x y λλ-=>或221412x y -=或223144x y -=).37．（2020届山东省高考模拟）已知曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为____________. 【答案】2 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，=b =，即有双曲线的2c e a ===．故答案为：238．（2020·山东高三下学期开学）已知抛物线24y x =的准线与x 轴的交点为H ，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且PH k PF =，当k 最大时，点P 恰好在以H ，F 为焦点的双曲线上，则k 的最大值为_____，此时该双曲线的离心率为_____． 【答案】11【解析】根据题意画出抛物线，过P 作PN抛物线准线于N ，连接PH .由抛物线定义可知PF PN =，由PH k PF =，（0k >）， 设直线PH 的倾斜角为α，则cos cos PNHPN PHα=∠=， 可得1cos PFPN k PH PHα===， 当k 最大时，cos α取得最小值，且cos 0α>， 当cos α取得最小值时直线PH 与抛物线24y x =相切，设直线PH 的方程为y kx k =+， 则24y kx k y x=+⎧⎨=⎩，化简可得()2222220k x k x k +-+=， 因为直线PH 与抛物线相切，则()2244240k k ∆=--=，解得1k =±，由0k >可得1k =，同时可得切点横坐标为1x =， 将切点横坐标带入抛物线可得()1,2P ±， 因为点P 恰好在以H ，F 为焦点的双曲线上，由双曲线定义及两点间距离公式可得2222a PH PF =-=，22c HF ==，所以双曲线离心率为2121c e a ===-，故答案为：1；21+.39．（2020届山东省济宁市高三3月月考）设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为,P O 为原点，OP OF =，则双曲线C 的右焦点的坐标为__________；离心率为_________________. 【答案】()5,0 5 【解析】 如图所示：直线43200x y -+=过点F ，()5,0F ∴-，半焦距5c =，则右焦点为()25,0FA 为PF 中点，OP OF =，2//OA PF ∴由点到直线的距离公式可得2045OA ==，228PF OA =∴=，由勾股定理可得：22226FP FF PF =-=，再由双曲线定义可得：222PF PF a -==1a ，则离心率5ce a== 故答案为：()5,0，540．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）双曲线C ：222210x y a b a b-=（，＞）的左、右焦点为F 1，F 2，直线y 3=与C 的右支相交于点P ，若|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线C 的离心率为_____；若该双曲线的焦点到其渐5_____.【答案】32 22145x y -=.【解析】把y =代入C 的方程可得x ＝2a ，∴P （2a ），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 由双曲线的定义可知：|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，4a =2a =，整理可得8ac ＝12a 2，∴2c ＝3a ，所以双曲线的离心率为32c e a ==.b =32c a ==，解得a ＝2，所以双曲线的方程为：22145x y -=.故答案为：32；22145x y -=．41．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C 的离心率为________.【答案】22【解析】由题设双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -,()2,0F c , 因为左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形的三个顶点,当122F F PF =时,2c =,由222b c a =-可得222430c ac a +-=,等式两边同除2a 可得22430e e +-=,解得1e =<（舍）；当121F F PF =时,2c =,由222b c a =-可得222430c ac a --=,等式两边同除2a 可得22430e e --=,解得e =故答案为 42．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知m 是2与8的等比中项，则圆锥曲线221yx m-=的离心率是_____．【解析】由m 是2与8的等比中项有22816m ,故4m =±.当4m =时圆锥曲线方程2214y x -=,为焦点在x 轴的双曲线,其中1,a c ==此时离心率e =当4m =-时圆锥曲线方程2214y x +=,,为焦点在y 轴的椭圆,其中2,a c ==此时离心率2e =四、解答题43．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知直线1x y +=过椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，且交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点是21,33M ⎛⎫⎪⎝⎭， （1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线l 与线段AB 相交（不含端点）且交椭圆于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.【答案】（1）2212x y +=（2 【解析】（1）直线1x y +=与x 轴交于点(1,0),所以椭圆右焦点的坐标为(1,0),故1c =, 因为线段AB 的中点是21,33M ⎛⎫⎪⎝⎭, 设()()1122,,,A x y B x y ,则121242,33x x y y +=+=,且21211y y x x -=--,又2222112222221,1x y x y a b a b +=+=,作差可得22222121220x x y y a b--+=, 则()()()()21212121220x x x x y y y y ab-+-++=,得222a b =又222,1a b c c =+=, 所以222,1a b ==,因此椭圆的方程为2212x y +=.（2）由（1）联立22121x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得01x y =⎧⎨=⎩或4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 不妨令()410,1,,33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,易知直线l 的斜率存在,设直线:l y kx =,代入2212x y +=,得()22212k x +=,解得x =或设()()3344,,,C D x y y x ,则34x x =-=,则34C x D -=,因为()410,1,,33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线y kx =的距离分别是12d d =, 由于直线l 与线段AB （不含端点）相交,所以()4101033k k ⎛⎫⨯-+< ⎪⎝⎭,即14k >-,所以()124441k k d d +++, 四边形ACBD 的面积()1212111222S CD d CD d CD d d =⋅+⋅=+=, 令1k t +=,34t >,则2221243k t t +=-+,所以222242424212434124323tSt tt tt t=⋅=⋅=⋅-+-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,当123t=,即12k=时,min421432416312S=⨯=-因此四边形ACBD面积的最大值为43.44．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）如图，已知抛物线2x y=.点A1139-2424B⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P（x,y）13-x22⎛⎫⎪⎝⎭＜＜,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（I）求直线AP斜率的取值范围；（II）求PA?PQ的最大值【答案】（I）（-1，1）；（II）2716.【解析】（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，2114122xk xx-==-+，因为1322x-<<，所以直线AP斜率的取值范围是(1,1)-．（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程110,24930,42kx y kx ky k⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+．因为|P A 1)2x +1)k +，|PQ |=2)Q x x -=所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=．令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2'()(42)(1)f k k k =--+，所以 f (k )在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减， 因此当k =12时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716．45．（2020·山东高三模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为12e =，其右焦点为F .（1）求椭圆C 的方程； （2）过F 作夹角为4π的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,P Q 和,M N ，求||||PQ MN 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）49494848⎡-+⎢⎣⎦.【解析】（1）由2b =b =22222214c a b e a a -===得2234a b =， 则224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由（1）知()1,0F ， ①当直线12,l l 的斜率都存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为(1),1y k x k =-≠，由()222222(1)438412034120y k x k x k x k x y =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩， ()214410k ∆=+>，设()()1122,,,P x y Q x y ， 则221212228412,,4343k k x x x x k k -+==++， 则()22121||34k PQ k+==+， 由椭圆对称性可设直线2l 的斜率为11k k+-， 则()()2222112122411||7121341k k k MN k k k k +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭==+++⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭， ()()()()222222121712712||||3468241k k k k kPQ MN k k k +++++=⋅=+++ 22727787486882432k k k k ++=+=+++. 令2872432k t k+=+，则23282470tk k t -+-=， 当0t =时，78k =-，当0t ≠时，由64432(247)0t t '∆=-⨯-≥t≤≤278782432k k +≤+≤+，即49||4948||48PQ MN +≤≤，且||8||7PQ MN ≠. ②当直线12,l l 的斜率其中一条不存在时，根据对称性不妨设设直线1l 的方程为1y x =-，2l 斜率不存在，则24||7PQ =，22||3b MN a==，此时||8||7PQ MN =∈⎣⎦.若设2l 的方程为1y x =-，1l 斜率不存在，则||74949||84848PQ MN ⎡+=∈⎢⎣⎦，综上可知||||PQ MN的取值范围是⎣⎦.46．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点． 【答案】(Ⅰ) 24x y =-，1y =； (Ⅱ)见解析. 【解析】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =-，其准线方程为：1y =. (Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-， 直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -， 且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.47．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）如图，点()0,1P -是椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的一个顶点，1C 的长轴是圆222:4C x y +=的直径，1l 、2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于A 、B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点D .（1）求椭圆1C 的方程；（2）求ABD ∆面积的最大值及取得最大值时直线1l 的方程.【答案】（1）2214x y +=；当直线1l 的方程为101y x =-时，ABD ∆1613【解析】 （1）由题意得1{2b a ==， ∴椭圆1C 的方程为2214x y +=； （2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，由题意知直线1l 的斜率存在，不妨设其为k ，则直线1l 的方程为1y kx =-， 故点O 到直线1l 的距离为21d k =+，又圆222:4C x y +=，AB∴==又12l l⊥，∴直线2l的方程为0x ky k++=，由22{44x ky kx y++=+=，消去y，整理得()22480k x kx++=，故0284kxk=-+，代入2l的方程得2024.4kyk-=+PD∴==，设ABD∆的面积为S，则2124S AB PDk=⋅=+，3213S∴=≤=，=，即k=∴当k=ABD∆此时直线1l的方程为 1.y x=-48．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的离心率为3，且椭圆C过点32⎛⎝⎭．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A、B两点，且与圆：222x y+=交于E、F两点，求2AB EF⋅的取值范围．。