关于线性代数课程教学的几点思考游宏2009年11月8日于杭州hyou@★课程的历史沿革与现状★现行的教学基本内容与要求★教学内容的组合与变革★课程建设中的成绩与问题★线性代数的主线与核心一、课程的历史沿某与现状二十世纪五、六十年代，我国工科数学基础课程统称为高等数学，以微积分教学为主，线性代数在高等数学的教学中仅占一小部分。
当时仅介绍行列式与线性方程组求解；解析几何内容则相对丰富，几何向量、空间直线与平面、极坐标、二次曲面等通常放在微积分前讲授。
当然，有少数大学根据某些专业的需要，讲授更多一些的线性代数（矩阵）的知识。
文革后，由于科学技术，特别是计算机与信息科学技术的发展，我国高等数学教学的理念也逐渐发生了变化。
从七十年代末、八十年代初开始，一些大学的工科数学的教学增添了线性代数、概率论与数理统计等教学内容。
但初期的做法，是把线性代数放在《工程数学》中讲授的。
大约在八十年代中后期，一些大学把线性代数独立出来，成为工科数学基础课的一门独立课程。
进入九十年代，在多数重点大学，线性代数成为工科数学教学的三门主要课程之一。
九十年代中后期，一些大学又将空间解析几何的内容从微积分教学中剥离出来，与线性代数融汇在一起，组成《线性代数与空间解析几何》。
过去的三十年里，线性代数课程的教学发生了三次较大的改革；一是线性代数成为一门独立的工科数学的教学课程，二是内容的扩充与重组，三是注重软件的使用与该课程的实验。
但是，该课程的教学在各大专院校中是不平衡的，重视程度差异较大。
以教学时数来看：少则16-24学时（不含解析几何），多则60-90学时（含解析几何），解析几何部分一般为14-20学时。
近年来，线性代数课程的教学改革在不断深入，已逐步涉及对一些传统的教学内容、数学概念（定义）、授课方式的改革，特别是注意到和实际应用的结合，使用软件计算、解决有关线性代数中的问题。
二、现行的教学基本内容与要求目前，大多数理工大学的线性代数教学内容基本相同，主要内容涉及：行列式、矩阵、n 维向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型等六大板块。
一些重点大学的教学内容会更多一些。
这既由线性代数本身的基本内容所决定，也与教学指导委员会对高等学校基础课程教学的基本要求和硕士研究生的考试内容有关。
二十世纪九十年代初，教育部高等教育司委托当时的教学指导委员会对高等学校基础课程教学的基本要求作了修订，修订文件于1995年下发（以下简称95年修订稿）。
95年修订稿中将线性代数作为高等学校工科数学教学的主要课程，明确了该课程的基本内涵，包括六个教学主要内容（对多数工科专业而言）。
2003年开始，教学指导委员会受教育部高教司委托又对1995年教学基本要求的修订稿再次修订，线性代数与空间解析几何在此次修订中是作为一门课程写入教学基本要求中的，但同时也列出线性代数单独作为一门课程的教学基本要求，在。
前言中声明并不要求所有学校都将线性代数和空间解析几何融汇为一门课程，各校可以有自己的独立性。
在新的基本要求中，线性代数与空间解析几何课程由八个部分组成：（1）行列式；（2）矩阵；（3）几何向量；（4）n维向量与向量空间；（5）线性方程组；（6）矩阵的特征值与特；（7）实二次型；（8）空间曲线与曲面。
其中，（1）（2）（4）（5）（6）（7）属于线性代数；（3）（8）属于空间解析几何。
有关细节可见《大学数学》2004年第一期。
从总体上看，新的修订稿对线性代数课程的要求有所提高。
今天来看，我个人认为几年前修订的课程“基本要求”对于一般大学（学院）而方有些过高，而且对实际应用，比如对计算机软件的使用有所忽略（至少可以鼓励与提倡）。
修课稿中空间解析几何部分与1995年相比，基本没有变动，仅增加了一条带“*”号的条目：了解二次曲面的分类。
带“*”号的条目是为有需要或有条件的学校或专业选用的。
线性代数部分变动较多一些，行列式、矩阵、线性方程组的有关要求变动不大，只是将过去对某些知识仅要求“了解”、“会”提升为“理解”与“掌握”。
n维向量与向量空间部分有四处变化：（a）将内积概念，施密特标准正交化方法从95年修订稿中的矩阵的特征值与特征向量部分移至向量空间部分；（b）增添了“了解线性变换的概念及其矩阵表示”的条目；（c）增添了带“*”号的条目“了解基变换公式和坐标变换公式，会求过渡矩阵”；（d）对会求向量组的极大线性无关组及秩提出了要求。
矩阵的特征值与特征向量部分的改动不大，只是一部分内容移至向量空间部分。
实二次型部分，增添的内容有两处：（a）了解合同变换与合同矩阵的概念；（b）了解惯性定理（对定理证明不作要求）和实二次型的规范形。
现实中，研究生入学考试的内容对学校的教学影响更大，上述的六大板块都是研究生入学考试命题的范围。
如果参加研究生考试，仅对上述的某些内容“了解”可能是不够的，因个别年份的试题（对后两部分内容而言）还是有一定难度的。
近两年，研究生入学考试的命题范围略有扩大，如，增添了分块矩阵的计算，出现了解析几何与线性代数内容综合的试题（尽管较为简单）。
试题中联系实际的问题虽然有，但比较少。
三、教学内容的组合与变革1．现行教材内容的安排从国内多数大学关于工科专业《线性代数》课程的教材来看，基本内容与教学基本要求大体一致，但各部分内容讲授多少有所不同，章节的安排也不尽相同，只有少数为特殊专业、特殊学生准备的教材，内容更多一些，更深一些。
如个别教材增加了矩阵相似的标准型、多项式、仿射变换、射影变换、基本代数结构等内容。
国内教材较多见的内容安排为：行列式→矩阵→n维向量及向量空间→线性方程组→特征值与特征向量（相似、对角化）→二次型（*）如把空间解析几何内容加入的话，则在矩阵后介绍几何向量（包括内积、叉积、混合积、直线、平面方程等）二次型后讲授空间曲面。
有的教材还含线性变换的内容，一般放在向量空间后或二次型后。
（*）的内容安排较为传统，与传统的《高等代数》内容安排比较一致。
有少数一些教材，采取如下的内容安排：线性方程组的消元法→矩阵→行列式（含矩阵的秩、逆阵等）→n维向量与方程组的解的结构→特征值与特征向量（相似、对角化）→二次型（**）（**）的内容安排有意将矩阵放在行列式前讲授，但因传统的矩阵秩的定义离不开行列式，故矩阵的秩、逆矩阵等仍在行列式后讲授。
矩阵是线性代数中最重要的概念，行列式的传统定义对初学者又较难接受，先讲矩阵再讲行列式是多数教师希望采取的授课方式。
但因上术寄托因有关矩阵、行列式等概念的内容按排几十年变化不大。
不过，近两年有个别教材在这些问题上有所改进。
2．某些改进（1）定义矩阵的秩不必借助行列式，而是用矩阵等价的标准型中1的个数来定义矩阵的秩。
当然，这需要证明一个矩阵的等价标准型的唯一性，应用反证法和一点分块矩阵的计算即可证明，难度不大。
这种改进使得线性代数课程中的矩阵内容（包括秩、逆矩阵）自成体系，可把行列式的内容真正移后，使得上述（**）的做法得以彻底。
这一做法可见高教社最新出版的由苏州科技学院主编的线性代数教材。
（2）行列式的定义采用归纳法，即先给出二阶行列式的定义，然后利用行列式的第一行（或列）展开归纳定义行列式。
当然，这里也有一个定义的合理性问题。
（3）不少教材在各章节中给出一些内容，如：矩阵、向量、二次型等的应用例子，涉及信号处理、情报检索、图像压缩、统计、机械震动、图论（电路）、管理等各个领域，有助于提高学生学习的积极性和联系实际。
（4）有的教材附有如何使用软件（Matlab）进行计算，如何从某些实际问题中建立简单数学模型的内容：有的教材还提供计算的实例等。
为比较中外教材，简单提一下见到的一些美国教材的内容安排：线性方程组与矩阵→实向量空间→n维向量与向量空间→线性变换（与矩阵）→特征值与特征向量→行列式→实二次型→一些应用（***）美国的大学对一、二年级学生不分专业（通才教育）。
总的讲，他们用于一、二年级大学生的线性代数教材比我们的要浅，很多结论不给出证明，某些知识不要求彻底，如：线性方程组的内容中不讲0A X 的解空间与基础解系，但比较注重工程实用与计算，都附有Matlab等软件的使用，有的还提供算法，计算程序等。
当然，一些名牌大学的《线性代数》课程讲的内容较多，有的甚至涉及实矩阵的正交与上三角阵的分解及其他一些分解，Hessenberg标准型等。
但是他们教材的一个共同特点是注重线性代数与其他学科的联系，注重应用与计算。
3．几点看法（1）线性代数课程应该注重与新的计算技术的结合。
增加计算机软件使用的实验课很有必要，特别是不完全按软件手册的方式介绍Matlab的各种用途，而是围绕线性代数课程的教学内容来介绍如何使用Matlab。
事实上，工具使用的介绍（如计算尺）在数学教学史上也是出现过的，在今天计算机广泛使用的时代理应增设这一内容。
而且，在实验中介绍软件使用所需进间并不太多，关键是重视它。
软件使用的介绍最好力求简单，不必讲得太多、太繁，主要是让学生在计算机上实践。
为使学生便于使用软件，在日常课堂教学中给出一些数学概念对应的英文是有用的。
（2）线性代数课程要面向应用，满足非数学专业的需要。
将一些实际问题或日常生活中的问题，甚至一些趣味问题作为实验的例子建立数学模型并结合计算机软件的使用让学生得出结果，做综合实验是很有益的。
数学实验目前在不少学校仍停留在数学建模的比赛上，让这一教学内容真正走进广大学生还很不够。
（3）传统教学内容的变化近几年较为集中在行列式与矩阵的秩的定义以及进授的顺序上。
我比较倾向上诉的（**）的教学顺序，即：先由线性方程组引入，然后讲矩阵，矩阵的初等变换，简单的矩阵分块计算，可逆矩阵等，用矩阵等价标准形的唯一性（直接证明它的唯一性）定义它的秩。
然后介绍向量组的线性相关性，向量组的秩等。
有条件的学校（学时多）可讲授向量空间。
接着，完成线性方程组的解的理论。
再介绍行列式。
（4）关于行列式的定义，传统的授课方式难点在前，但随后进行列式的性质则较为方便；用行列式展开归纳定义行列式，起始易于学生接受，但后面讲行列式的性质却较为困难，特别是从理论上讲还有一个定义的合理性问题。
比较两种方式，我觉得难易程度差不多，一个难点在前，一个难点在后。
如果行列式的性质只讲结论不予证明（国内外，特别是国外很多教材就是这样），当然后者为好。
（5）线性方程组解法的完备。
传统的教材只给出线性方程组有无解的判定准则和有解时的解的结构及解法，但对于无解的线性方程组则不做交代。
事实上，无解的线性方程组可以有最小二乘解（最优的近似解），这在实际问题中是会遇到的（由实验数据建立起来的方程组很可能无解）。
目前，国内绝大多数教材都不涉及这一问题，我觉得这是一个空缺，最好补上，况且也不需要增加多少内容。
这样，既完备了线性方程组各种情况的处理方法，也对实用有利。