（但是，在准晶体中可以有5、8、10、12次轴）
（2）点群：晶体可能存在的对称类型。
通过宏观对称要素在一点上组合运用而得到。只能有32种
对称类型，称32种点群
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
晶系 第一位 可能对称元素 三斜 单斜 正交 四方 三方 六方 立方 1,`1 2,m,2/m 2，m 4,`4，4/m 3,`3 6,`6, 6/m 2,m,4, `4 方向 任意 Y X Z Z Z X 第二位 可能对称元素 无 无 2，m 无， 2，m 无， 2，m 无， 2，m 3,`3 Y X X X 体对 角线 方向 第三位 可能对称元素 无 无 2，m 无， 2，m 无 无， 2，m 无， 2，m 底对角 线 面对角 线 Z 底对角 线 方向 1，`1 2,m,2/m 222,mm2,mmm 4,`4，4/m，422， 4mm, `42m, 4/mmm 3,`3, 32,3m, `3m 6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm 23,m3,432, `43m, m`3m 点群 （共32个）
z
y
x
1 1 1 : : 3:3: 2 2 2 3
晶面符号 (332)
晶面在晶轴上的截距系数愈大其晶面符号中与该轴相应的米氏 指数愈小。当晶面平行于某坐标轴时，其晶面符号中的米氏指 数为0。
（001） z (010) y x
(010)
（001） 立方体各晶面的晶面符号
z （0001） u y x
由以上可见:格子构造使得所有晶体都是对称的，格子构造
也使得并不是所有对称都能在晶体中出现的。为什么？
晶体的宏观对称要素和对称操作
对称操作：使对称图形中相同部分重复的操作。
对称要素：在进行对称操作时所应用的辅助几何要素（点、线、面）。 晶体的宏观对称操作与对称要素 操作类型 对称操作 假想的辅助几何要素 对称要素
b a
（c）石墨
结构
点阵
晶格
(3)三维－空间点阵
简单立方晶格 (a) 简单立方晶格在三维空间延伸 (b)
实例
（a）Po
结构 点阵 晶格
实例
（ b ）CsCl 结构 点阵 晶格
实例
（ c ） Na
结构
点阵
晶格
实例
（ d ）Cu 结构 点阵 晶格
点阵与晶体关系图
把结构单元抽象为几何点 晶体（点阵结构） 把结构单元放回到几何点 并置 并置 点阵
直线旋转一定的角度后，能使图形相同的部分重复出现。 对应的对称操作：绕对称轴的旋转。
轴次（n）：旋转一周 重复的次数 基转角（）：重复时 所旋转的最小角度 n与之间的关系： 2 3
n 360 /
6
4
4 、旋转反伸对称（ n ）：通过晶体中心的一条假想的直线，绕
这 条直线旋转一定的角度后再反伸，能使图形相同的部分重复出
现。
对应的对称操作：绕对称轴的旋转加反伸。
1= i
2= m
3 （4个） 4（3个） 2 （6个）
6
立方体
六方柱
值得指出的是，除 4 外， 其余各种旋转反伸轴都可 以用其它简单的对称要素 或它们的组合来代替，其 间关系如下：
3= 3i
4
6= 3m
2.2.2 点阵结构的点对称性与点群
（ 1）点对称特点：由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种 质点格子状的分布特点决定了晶体的对称轴只有n = 1，2，3，4， 6这五种，不可能出现n = 5， n > 6的情况。为什么？ 1、直观形象的理解：垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不能 构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间 , 即不能成为晶体结构。
基元
结点
复式格子的特点
点阵类型：（1）直线点阵
以直线连接各个阵点形成的点阵称为直线点阵.
结构基元
点阵
点阵参数：相邻点阵点的距离
实例
(2)二维－平面点阵
最简单的情况是等径圆球密置层. 每个球抽取为一个点. 这些 点即构成平面点阵.
b a
实例
（ a ）NaCl 结构 点阵
（ b ）Cu 晶格
实例
补充 2、数学的证明方法为： t’ = mt
t’= 2tsin(-90)+ t = -2tcos + t t’ 所以，mt = -2tcos + t 2cos = 1- m cos = (1 - m)/2 t t -2 1 - m 2 m = -1,0,1,2,3 t 相应的 ＝ 0 或2 ， /3, /2， 2 /3, ，相应的轴次为1，6，4，3，2。
2.1.2 三维空间点阵中直线点阵与平面点阵的表达
结晶符号
定义：表示晶面、晶列（棱）等在晶体上方位的简单的数字符号。

坐标系体的构成； 原点和三个不共面的基矢a、b、和c。
（1）直线点阵或晶列的表达 晶向符号(晶棱符号)
定义：用简单数字符号来表达晶棱或者其他直线（如坐标轴）
在晶体上的方向的结晶学符号。也称Miller指数。
②如果晶体是由完全相同的一种原子组成，则这种原子所围成的网
格也就是布拉菲点阵或布拉菲格子，和结点组成的网格完全相同。
（4）复式点阵（格子）
若晶体的基元中包括两种或两种以上的原子，则基元中每种 原子可分别构成彼此完全相同的点阵，但它们之间存在相对位移
，形成复式点阵。
复式格子的特点 复式格子是由若干相同的布拉菲格子相互位移套构而成。
晶体的分类
晶族和晶系
在晶体的对称型中，根据有无高次轴和高次轴多少，把32个对称 型划分出三个晶族；又根据对称特点划分为7个晶系。
高级晶族（高次轴多于一个） 立方晶系
n﹥2
六方晶系 晶体 中级晶族（高次轴只有一个） 四方晶系 三方晶系 斜方晶系 低级晶族（无高次轴） 单斜晶系 三斜晶系
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
原子在晶胞中的位置
(0, 0, 1/2) (1/2,1/20,1/2)
Na+
(1/2, 0, 0)
( 0, 1/2， 0)
NaCl 三维周期排列的 结构及其点阵
（3）布拉菲点阵
若晶体有完全相同的一种原子组成，则结构基元就只有一个 原子，点阵点的位置即是这种原子的位置，由这种原子构成的点阵 即是布拉菲点阵。 布拉菲点阵的特点： ①每个结点周围的情况都是一样的。
反伸（倒反）
简单 反映 旋转 旋转+反伸 旋转+反映
点
面 线 线和线上的定点 线和垂直于线的平面
对称中心
对称面 对称轴 旋转反伸轴 旋转反映轴
复杂
1、对称中心i（inversion）：一个假想的几何点，在通过该
点的任意直线的两端可以找到与其等距离的点。
对应的对称操作：对此点的反伸（倒反）。
C
一个晶体中可以有对称中心，也可以没有对称中心；如果有对 称中心，那么只能有一个，且位于晶体的几何中心。
切分
切分
把结构单元抽象为几何点 晶胞 把结构单元放回到几何点 正当单位
空间点阵几何要素(点线面）
1 结点（node)：点阵中的点。 结点间距：相邻结点间的距离。
空间点阵几何要素(点线面）
2 行列(row) ：结点在直线上的排列。 特点：平行的行列间距相等。
3 面网（net）
面网：由结点在平面上分布构成的平面。 特点：任意两个相交行列便可以构成一个面网。
(hkl)，四轴定向通式为(hkil)。
确定晶面符号的步骤：
① 选定坐标系； ② 求出待标晶面在x、y、z轴上的截距pa、qb、rc,则截距系数分 别为p、q和r； ③ 取截距系数的倒数比，并化简。即：
1/p:1/q:1/r=h:k:l
（h:k:l应为简单整数比）
④ 去掉比例符号，以小括号括之， 写成（hkl）,即为待标定晶面的晶面指数。
第二章
晶体的结构与常见结构类型 Chapter 2 Structures and types of
crystal
§ 2.1 晶体的周期结构与点阵
晶体的定义
由原子、分子或离子等微粒在空间按一定规律、周 期性重复排列所构成的固体物质。
晶态结构示意图
非晶态结构示意图
2.1.1 周期结构与点阵
（1）结构周期：晶体内部质点在三维空间周期性重复排列构成周
对称不仅针对几何形态，还有更深和更广的含义，它包含了自然 科学、社会科学、文学艺术等各领域的对称性，如战争中的非对称 战略。
晶体对称的特点
1）由于晶体内部都具有格子构造，通过平移，可使相同质点重
复，因此所有的晶体结构都是对称的。
2 ）晶体的对称受格子构造规律的限制，它遵循“晶体对称定 律” 。 3）晶体的对称不仅体现在外形上，同时也体现在物理性质上。
用 R ua vb wc (u, v, w取整数) 表示所有的点阵点。
a
b
初基矢量
c a
b
（3）晶胞：晶体结构的基本重复单元称为晶胞.
原子在晶胞中的位置坐标
(1/2, 0, 1/2)
(0, 1/2, 1/2)
Cl(1/2, 1/2, 0)
(0, 0, 0)
c
a
b
NaCl 三维周期排列的 结构及其点阵
面网密度：面网上单位面积内的结点数目。 面网间距：两个相邻面网间的垂直距离，平行面网间距相等。
4 平行六面体（parallelepiped）
平行六面体：结点在三维空间的分布构成空间格子。 特点：任意三个相交且不在同一个平面的行列构成一个空间点阵。 根据基矢的不同选择可以得到不同的平行六面体。 计算由基矢构成的平行六面体点阵点数量时 必须考虑： （1）在平行六面体顶角上的点阵点时由8 个相邻平行六面体所共有的； （2）位于平行六面体棱上的点阵点是由4 个相邻平行六面体所共有的； （3）位于平行六面体面上的点阵点时2个 相邻平行六面体所共有的； （4）位于平行六面体内部的点阵点完全属 于该平行六面体。