全概率公式、贝叶斯公式推导过程
(1)条件概率公式
设A,B是两个事件，且P(B)>0则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率(conditional probability) 为：
P(A|B)=P(AB)/P(B)
(2 )乘法公式
1. 由条件概率公式得：
P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
上式即为乘法公式；
2•乘法公式的推广：对于任何正整数n》全概率公式、贝叶斯公式推导过程
(1)条件概率公式
设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率
(con diti onal probability) 为：
P(A|B)=P(AB)/P(B)
(2 )乘法公式
1. 由条件概率公式得：
P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
上式即为乘法公式；
2. 乘法公式的推广：对于任何正整数n》2,当P(A1A2...A n-1) > 0时，有：
P(A 1A2...A n-1A n)=P(A 1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)
(3)全概率公式
1. 如果事件组B1 , B2,....满足
1. B1, B
2....两两互斥，即B i Q B = ? , i i,j=1 , 2 ,....,且P(B i)>0,i=1,2,....;
2. B1U B2U ....= 傢则称事件组B1,B2,...是样本空间Q的一个划分
设B1,B2,...是样本空间Q的一个划分，A为任一事件，则：
A
=y 忖》F(W)
P(A)
上式即为全概率公式(formula of total probability)
2. 全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难，而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计
算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，
通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不
是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Q的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事件AB i,AB2,...AB n分解成了n部分，即A=AB i+AB 2+...+AB n,每一B i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B i),由加法公式得
P(A)=P(AB i)+P(AB 2)+....+P(AB n)
=P(A|B i)P(B i)+P(A|B 2)P(B2)+...+P(A|B n)P(PB n)
3. 实例：某车间用
甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一
个产品是次品的概率。
解：设••…P(A)=25%*5%+4%*35%+2%*40%=0.0345
(4)贝叶斯公式
1•与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因(即大事件A已经发生的条件下，分割中的小事件Bi的概率)，设B i,B2,…是样本空间Q的一个划分，则对任一事件 A ( P(A)>0),有
她亦普沪伽)
»(训咖)
y-i
上式即为贝叶斯公式(Bayes formula) , B i常被视为导致试验结果A发生的源因，
“ P(B i)(i=1,2,…)表示各种原因发生的可能性大小，故称先验概率；P(B i|A)(i=1,2…)则反映当试验产生了结果A之后，再对各种原因概率的新认识，故称后验概率
2，当P(A1A2...An-1) > 0 时，有：
P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(A n|A1A2…A n-1)
(3)全概率公式
1.如果事件组B1 , B2,.…满足
1. B1,B
2.…两两互斥，即Bi n Bj = ? ,i z j , i,j=1,2,.…,且P(Bi)>0,i=1,2,.…;
2. B1U B2U ....= Q，则称事件组B1,B2,...是样本空间Q的一个划分
设B1,B2,...是样本空间Q的一个划分，A为任一事件，则：
上式即为全概率公式(formula of total probability)
2•全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难，而P(Bi),P(A|Bi) (i=1,2,..J的计
算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件 A 的概率，而将事件 A 进行分割的时候，不是直接对A 进行分割，而是先找到样本空间Q的一个个划分B1,B2,…Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,…ABn分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+ABn,每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi) ，由加法公式得
P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(AB n)
=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|B n)P(PB n)
3. 实例：某
车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%, 4%, 2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个
产品是次品的概率。
解：设. P(A)=25%*5%+4%*35%+2%*40%=0.0345
( 4)贝叶斯公式
1.与全概率公式解决的问题相反, 贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发
生的原因(即大事件A已经发生的条件下，分割中的小事件Bi的概率)，设B1,B2,…是样本
空间Q的一个划分，则对任一事件 A ( P(A)>0),有。