江苏省如皋中学2020届高三创新班高考冲刺数学模拟试卷四一、填空题1．已知集合{} 0,9A =，{}1,2,9B =，则集合 A B ⋃中的元素个数为__________． 2．复数(420)(1)z i =-+（i 为虚数单位）的实部为__________．3．某中学为了了解高三年级女生的体重（单位：千克）情况，从中随机抽测了100名女生的体重，所得数据均在区间[48，58]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100名女生中，体重在区间[50，56]的女生数为__________．4．已知抛物线24y x =的准线是双曲线2221(0)2x y a a -=>的左准线，则a =__________．5cos()4παα=+则tan()4πα-的值是__________．6．已知{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．若31412a a -=，4217S S =，则2a 的值为__________． 7，设曲线'1:y 1(0)x mC em +=->上的一点11(,)A x y ，曲线2:ln C y x =上一点()22,B x y ，当12y y =时，对于任意的1x ，2x 都有AB e ≥恒成立，则m 的最小值为__________．8．三角形ABC 外接圆直径为AD ，已知2BC =．32AB BC ⋅=-，则AD BC ⋅=__________． 9．在三角形ABC 中，若23()2||CA AB CB AB AB ⋅+⋅=，则（min 1()tan tanA B+=__________．10．已知D 是ABC △边AC 上一点，且3CD AD =，BD =，1cos 4ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为__________．11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与椭圆交于AB 两点，若12AB F F =，1112F A F B =，则椭圆C 的离心率为__________．12．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为__________．13．已知直线AC 过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>右焦点F 且与双曲线交于A 、C 两点，12AF CF=过点F 作BF AC ⊥交双曲线左支于点B 、若A 、B 关于原点对称，则该双曲线的离心率是__________． 14，已知函数()f x lnx =，()g x kx =，若()f x 与()g x 的图像有两个交点12(),A x y ，22()B x y ，，则当213x x ≥时，实数k 的取值范围为__________． 二、解答题15．如图，在ABC △中，AC =，D 为AB 边上一点，2CD AD ==，且cos BCD ∠=（1）求 sin B 的值； （2）求ABC △的面积。

16．如图，四面体ABCD 被一平面所截，平面与四条棱AB ，AC ，CD ，BD 分别相交于E ，F ，G ，H 四点，且截面EFGH 是一个平行四边形，AD ⊥平面BCD ，.BC CD ⊥求证：（1）// EF BC ； （2）EF ⊥平面ACD ．17．某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B ．现规划修建一条新路（由线段MP ，PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，PQ 对的圆心角为6π，记2PCA θ∠=（道路宽度均忽略不计） （1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，以C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切．（1）求C 的方程：（2）直线y x m =+交C 于()11,M x y ，22(),N x y 两点，且12x x >已知l 上存在点P ，使得PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，若P 在直线MN 的右下方，求m 的值．19．已知函数()ln2ex f x ax =-，4()x a g x x-=， （1）求函数()f x 的极值点：（2）当0a >时，当函数()()()h x f x g x =-恰有三个不同的零点求实数a 的取值范围． 20．对于数列{}n a ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{}n a 为P 数列．（1）若{}n a 的前n 项和32nn S =+，试判断{}n a 是否是P 数列，并说明理由：（2）设数列1a ，2a ，3a ，…10a 是首项为–1，公差为d 的等差数列，若该数列是P 数列，求d 的取值范围；（3）设无穷数列{}n a 是首项为a ﹑公比为q 的等比数列，有穷数列{}n b ，{}n c 是从{}n a 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为1T ，2T ，求{}n a 是P 数列时a 与q 所满足的条件，并证明命题“若0a >且12T T =，则{}n a 不是P 数列” 附加题21．已知矩阵122M x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量． 22．已知直线l的参数方为122x t y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点()1,2P 在直线l 上（1）求m 的值；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线:4C ρ=与直线l 交于两点A ，B 两点，求PA PB ⋅的值23．如图，在三棱锥A BCD -中，已知ABD △，BCD △都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BFBAλ=．（1）当23λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值： （2）当二面角A CD F --时，求λ的值． 24．（1）证11(,,)m m m n n nC C C m n N m n -+=+∈≤且； （2）证明：对一切正整数n 和-切实数0,1(),x x n ≠-⋯-，有0!(1)(1)(2)()nm mn m x n Cx m x x x n =-=++++∑成立.江苏省如皋中学2020届高三创新班高考冲刺数学模拟试卷四答案一、填空题 1．42．63．7545．12-6．4± 7．1 8．19．101112．112π1314．0,ln 36⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭二、解答题15．【解析】（1）在ADC △中，由余弦定理得2221cos 24AD CD AC ADC AD CD +-∠===⋅，所sin ADC ∠===．因cos BCD ∠=BCD ∠是三角形BCD 的内角，所以4sin BCD ∠===， 所以()sin B sin ADC BCD ∠=∠-∠sin ADCcos BCD cos ADCsin BCD =∠∠-∠∠14444=⨯-⨯8=． （2）在BCD △中，由正弦定理得sin sin sin BD CD BCBCD BC BDC==∠∠∠，2sin 4sin CD BCDBD B∠===∠．2sin sin CD BDCBC B∠===∠所11sin62282ABCS AB BC B=⋅⋅∠=⨯⨯=△．16．【解析】（1）因为四边形EFGH为平行四边形，所以//EF HG，又EF⊄平面BCD，HG⊂平面BCD，所以//EF平面BCD又EF⊂平面ABC，平面ABC⋂平面BCD BC=，所以//EF BC．（2）因为AD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，所以AD BC⊥，由（1）知//EF BC，所以EF AD⊥．因为BC CD⊥，所以EF CD⊥．又AD CD D⋂=，AD、CD⊂平面ACD，所以EF⊥平面ACD．17．【解析】1）连接CB，CN，CM，OM ON⊥，OM，ON，PM，QN均与圆C相切∴CB ON⊥，CA OM⊥，CP MP⊥，CQ NQ⊥，∴CB CA⊥∵526PCAπθ∠==，6PCQπ∠=，∴526622QCBπππππ∠=---=，此时四边形BCQN是正方形，∴1QN CQ==，答：QN的长度为1千米；（2）∵2PCAθ∠=，可得MCPθ∠=，23NCQπθ∠=-，则MP tanθ=，6PQπ=，2tan tan23tan()231tan tan3NQπθπθπθ-+=-==+，设新路长为()fθ，其中(,)62ππθ∈即tan3θ≥∴.()tan tan63366 fπππθθθ=++=-+++≥，当tanθ==”，答：新路总长度的最小值为6π．18．【解析】（1）依题意，1b ==，因为离心率3c e aa ===所以3a =，解得a = 所以C 的标准方程为2213x y += （2）因为直线y x m =+的倾斜角为45∘， 且PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，P 在直线MN 的右下方，所以//NP x 轴，过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点， 所以12(),y Q x ，故122(2)P x x y -， 所122()32450x x y -+-=以， 即()122()32450x x x m -++-=， 整理得126450x x m ++-=①由2233x y y x m+==+⎧⎨⎩得2246330x mx m ++-=． 所以223648480m m ∆=-+>，解得22m -<<， 所以1232x x m +=-，② 2123(1)4x x m =-③ 由①–②得，112m x =-④ 将④代入②得21x m =--，⑤212(1)43x x m =-③ 由①–②得，飞112m x =-④ 将④代入②得21x m =--，⑤将④⑤代入③得3(1)(1)(1)(1)24m m m m -+=-+， 解得1m =-．综上，m 的值为-1．19．【解析】（1）因为()ln 2exf x ax =-， 所以()ln12xf x ax =-+， 所以2111()(0)2axf x a a x x x x-'=⨯-=-=>，当0a ≤时，()0f x '>所以函数()f x 无极值点； 当0a >时，令()'0f x =，解得1x a=． 由()00f x x '>⎧⎨>⎩，解得10x a <<；由()00f x x '<⎧⎨>⎩解得1x a >．故函数()f x 有极大值点1a，无极小值点． 综上，当0a ≤时，函数()f x 无极值点；当0a >时，函数()f x 有极大值1a点，无极小值点． （2）当0a >时，4()()()ln (0)2x ah x f x g x ax x x=-=-+>，所以222144()(0)a ax x ah x a x x x x-+-'=--=>， 设()24k x ax x a =-+-，则2116a ∆=-，①当00a ∆≤⎧⎨>⎩即14a ≥时，()0h x '≤，所以()h x 在()0,+∞单调递减， 所以()h x 不可能有三个不同的零点；②当00a ∆>⎧⎨>⎩即104a <<，()k x有两个零点1x =，2x =，所以10x >，20x >．又因为()24k x ax x a =-+-开口向下，当10x x <<时，()0k x <∴()0h x '<，所以()h x 在()10,x 上单调递减； 当12x x x <<，()0k x >∴()0h x '>，所以()h x 在()12,x x 上单调递增； 当2x x >，时，()0k x <∴()0h x '<，所以()h x 在2(),x +∞上单调递减， 因为4(2)ln1202ah a =-+=，又124x x =，所以122x x <<， ∴()()1220()h x h h x <=<∵3222211141()ln ln 22ln 412a h a a a a a a a a =-⋅+=---+， 令31()ln 22ln 4m a a a a=---+，则4222221122112()120a a a m a a a a a a-+-'=-++=>> 所以()m a 在[1(0,)4单调递增，所以31111()()ln 22ln()44()3ln 24044416m a m <=---+=-+<，即21()0h a<． 由零点存在性定理知，()h x 在区间221(,)x a 上有唯一的一个零点0x ， ∵00000000441444()()ln ln()0422x a a h x h ax a x x x x x +=-++⋅-⋅+=． 又0()0h x =，所以04()0h x =． 所以1040x x <<所以()h x 在区间1(0,)x 上有唯一的一个零点04x ， 故当104a <<时，()h x 存在三个不同的零点04x ，2，0x故实数a 的取值范围是（1(0,)4.20．解：（1）由32n n S =+，可知1123nn n n a S S ++=-=⨯，故1320n n n a S +-=->对一切正整数n 都成立，故{}n a 是P 数列． （2）由题意知，该数列的前n 项和为(1)2n n n S n d -=-+，11n a nd +=-+， 由数列1a ﹐2a ，3a ，…10a 是P 数列，可知211a S a >=，故公差0d >．213(1)1022n n d S a n d n +-=-++<对满足19n ≤≤中的每一个正整数n 都成立， 即23(1)1022d n d n -++<对于19n ≤≤都成立． 由2231(1)1022399(1)1022d d d d ⎧⋅-++<⎪⎪⎨⎪⋅-++<⎪⎩可得8027d <<，故d 的取值范围是8(0,)27， （3）若{}n a 是P 数列，则12a S a aq =<=，若0a >，则1q >，又由1n n a S +>，对一切正整数n 都成立，可知11n nq aq a q ->-，即n12()q q-<对一切正整数n 都成立，由1()0nq>，1()(0,1)nq∈，故20q -≤，可得2q ≥． 若0a <，则1q <，又1n n a S +>，对一切正整数n 都成立，可知11n nq aq a q->-，即()21nq q -<对一切正整数n 都成立，又当(],1q ∈-∞-时，()21n q q -<当2n =时不成立，故有(0,1)(2)1q q q ∈⎧⎨-<⎩或2(1,0)(2)1q q q ∈-⎧⎨-<⎩解得(0,1)q ∈⋃ 所以{}n a 是P 数列时，a 与q 所满足的条件为分02a q >⎧⎨≥⎩，或0(0,1)a q <⎧⎪⎨∈⋃⎪⎩下面用反证法证明命题“若0a >且12T T =，则{}n a 不是P 数列”假设{}n a 是P 数列，由0a >，可知2q ≥且{}n a 中每一项均为正数， 若{}n b 中的每一项都在{}n c 中，则由这两数列是不同数列，可知12T T <，若{}n c 中的每一项都在{}n b 中，同理可得T 1>T 2·若{}n b 中至少有一项不在{}n c 中且{}n c 中至少有一项不在{}n b 中，设{}n b '，{}n c '是将{}n b ，{}n c 中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为1T '，2T '不妨设{}nb '，{}nc '中的最大项在{}n b '中，设为m a ，则2m ≥， 则21211m m T a a a a T -''≤++⋯+<≤，故21T T ''<，所以21T T <，故总有12T T ≠，与12T T =矛盾．故{}n a 不是P 数列．21．解：矩阵M 的特征多项式()()12()142f x x λλλλλ--==-----因为13λ=方程()0f λ=的一根，所以1x =由()(140)1λλ---=，得21λ=-设21λ=-对应的一个特征向量为α= x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则220220x y x y --=⎧⎨--=⎩，得x y =-令1x =，则1y =-，所以矩阵M 的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为11α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．22．解：（1）因为()1,2P ．在直线l 上，所以11222t m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得2m =+（2）曲线C 的直角坐标方程为2216x y +=．将直线l 的参数方程代入C的方程得2(1110t t ++-=． 设A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，则1211t t =， 故1211PA PB t t ==⋅﹒23．【解】连接CE ，以EB ，EC ，EA 分别为x ，y ，z 轴， 建立如图空间直角坐标系，则A ()1,0,0B，C ，()1,0,0D -，因为F 为线段AB 上一动点，且BF BAλ=，则((BF BA λλλ==-=-，所以(1)F λ-（1）当23λ=时，1(,0,33F，4(,0,33DF =，(1,CB =，243,cox DF CB ==． 所以异面直线DF 与BC 所成角的余弦值是7． （2）设平面ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =由n DA ⊥，n DC ⊥得(,,)0(,,)0x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩化简得00x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，取(3,1,1)n =-- 设平面CDF 的一个法向量为(,,)m a b c =由m DF ⊥，m DC⊥得(,,)(2)0(,,)0a b c a b c λ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩化简得(2)00a c a λ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，取(3,,2)m λλλ=--设二面角A CD F --的平面角为β，3cos |cos ,|n m λβ==， 化简得：282290λλ-+=，解得12λ=或94λ=（舍去），所以12λ=． 24．【解】（1）右边=1!!!(1)(1)!!()!(1)!(1)!!(1)!!(1)!n m n n n n m m n C m n m m n m m n m m n m +-++++===---+-+-+=左边 （2）①当1n =时，左边=1111x x x -=++=右边． ②假设n k =时，对一切实数0,1(),x x k ≠-⋯-，都有0!(1)(1)(2)()k m m k m x k C x m x x x k =-=++++∑成立，那么当()1*n k k N =+∈时，对一切实数()0,1,,1()x x k ≠-⋯-+有 ()111101(1)1(1)11m k k m m m m m k k k k m x x x C C C x m x m x m ++-+==⎡⎤-=+-++-⎣⎦++++∑∑ 1101001(1)(1)(1)(111)kk k k m mm m m t m t k k k k m m m m x x x C C C C x m x m x x x x m x t +-====+=-+-=--⎛⎫-⋅ ⎪++⎝⎭++++∑∑∑∑ !!(1)(2)()(2)(3)(1)1k k x x x x k x x x k x =-⋅++++++++[]!(1)(1)!(1)(2)(1)(1)(2)(1)k x k x k x x x k x x x k ++-+==++++++++ 所以，当时，等式成立．故对一切正整数n 和一切实数?(0,1,,)x x n ≠--，有0!(1)(1)(2)()n m m nm x n C x m x x x n =-=++++∑．。