二项式定理1.二项式定理：)*()(011111100N n b a C b a C b a C b a C b a n n n n n n n nn n n ∈++⋅⋅⋅++=+---. 2.二项式定理的说明：（1）()n a b +的二项展开式是严格按照a 的降次幂（指数从n 逐项减到0）、b 的升次幂（数从0逐项减到n ）排列的，其顺序不能更改，且各项关于a 、b 的指数之和等于n 。

所以()n a b +与()n b a +的二项展开式是不同的。

（3）二项式项数共有(1)n +项，是关于a 与b 的齐次多项式。

（4）二项式系数：展开式中各项的系数为1-r n C ，1,...,3,2,1+=n r . （5）二项式通项：展开式中的第r 项记作r T ，）（1,...,3,2,1111+==--+-n r b a C T r r n r n r ，共有(1)n +项。

（6）正确区分二项式系数与项的系数：二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。

如：nn r r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ）（）（）（）（）（----n r 2221110+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=---的 第2项的二次项系数为1n C ，而第2项的系数为1n C -.（7）常见二项式：令1,,a b x ==)*()1(111100N n x C x C x C x C x nn n n n n nn n ∈++⋅⋅⋅++=+--； 令1,,a b x ==-)*()1()1(221100N n x C x C x C x C x n n n n n nn n ∈-+⋅⋅⋅++-=-. 3.二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等：即kn n k n n n n n n n C C C C C C --=⋅⋅⋅==,,,110 .（2）二项式系数和：令1a b ==，则二项式系数的和为：n n n n n n n C C C C 2110=++⋅⋅⋅++-，变形有：12321-=+⋅⋅⋅+++n n n n n n C C C C . （3）15314202-=⋅+⋅⋅+++=⋅+⋅⋅+++n n n nn n n C C C C C C ； （4）求奇数项的系数和与偶数项的系数和： 已知n n n x a x a x a x a a x a 22332102...)(2++++=+，则奇数项的系数和：n a a a a 2420...+++=_______________________________； 偶数项的系数和：12531...-+++n a a a a =_______________________________； （5）二项式系数的最大项：如果二项式的指数n 是偶数时，则中间项为第）（12+n项的二项式系数2nn C 取得最大值；如果二项式的指数n 是奇数时，则中间项有两项，分别为第21+n 项和第23+n 项，对应的二项式系数12n n C -，12n nC+同时取得最大值。

22212n n n nn b a C T =+，1-2121-221n n n nn baC T ++=，121-21223+++=n n nnn b a C T .（6）系数的最大、最小项的求法：求()n a bx +展开式中最大、最小项，一般采用待定系数法。

设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有：r r A A ≥+1且21++≥r r A A ；如果设第1r +项系数最小，应有211+++≤≤r r r r A A A A 且，从而解出r 的范围。

4.怎么求展开式中含的系数，其中且？解：把视为二项式，先找出含有的项，另一方面在中含有的项为，故在中含n c b a )(++r q p c b a ,,,N r q p ∈n r q p =++n n c b a c b a ])[()(++=++r C r r n rnC b a C -+)(r n b a -+)(q b q p q r n q q r n q r n b a C b a C ----=n c b a )(++的项为：，其系数为. r q p c b a r q p q r n r n c b a C C -rr q p n p n q r n r n C C C p q r n q r n q r n r n r n C C --==---⋅-=!!!!)!(!)!()!(!!5.近似计算的处理方法：当a 的绝对值很小（趋近于0）且n 不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分n n n n n n n n a C a C a C a C ++⋅⋅⋅++--113322很小，可以忽略不计。

类似地，有.但使用这两个公式时应注意a 的条件，以及对计算精确度的要求。

若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：. 二项式定理常考题型题型一：二项式定理的逆用 题型二：求二项展开式的特定项 （1）求单个二项式指定幂的系数（2）求多个二项式乘积的展开式指定幂的系数 （3）利用通项公式求常数项 （4）求有理项 （5）求中间项题型三：求二项式系数或展开式系数最大或最小项 （1）一般的系数最大或最小问题 （2）特殊的系数最大或最小问题 （3）系数绝对值最大的项 （4）二项式系数最大的项 题型四：赋值法求值 题型五：整除性na a n +≈+1)1(na a n -≈-1)1(22)1(1)1(x n n nx x n -++≈+题型六：证明不等式题型七：利用二项式定理求近似值例 1.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于_________例2.二项式（3x +32）n （n ∈N *）展开式中只有一项的系数为有理数，则n 可能取值为（ ）A.6 B.7 C.8 D.9例3.若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2n x +的展开式中系数最大的项。

例4.已知等式x 4=（x +1）4+b 1（x +1）3+b 2（x +1）2+b 3（x +1）+b 4，则b 1，b 2，b 3，b 4的值分别为______________例 5.若n 是正整数，则122117777---⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+n n n n n n n C C C 除以9的余数是________例6.证明：（1）()N n n n n ∈≥>,322 （2）当N n ∈且n >1，求证：3)11(2<+<n n例7.（2002全国）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十·五”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为（ ） A.115000亿元 B.120000亿元 C.127000亿元D.135000亿元 变式训练：1.设二项式1)n x的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为s ，若272p s +=，则n 等于______________2.在（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）2007的展开式中，x 3的系数等于_____________3.把1+(1+x )+(1+x )2+…+(1+x )n展开成关于x 的多项式，其各项系数和为a n ，则2312lim 2n +-+∞→n n a 等于______________ 4.（2016浦东新区一模）二项式n xx )21(+的展开式前三项系数成等差数列，则_____5.已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k≤11，k ∈Z )是一个单调递增数列，则k 的最大值是________6.若 5.在⎝⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋51x 3n 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数是______7.在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是________8.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n 等于________ 9.已知0>a ，若26(1)(1)x ax ++的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中2x 项的系 数为___________10.(2011上海十三校二模)在二项式(x ＋3x )n的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则n ＝________11.（2015闸北区二模）若二项式展开式中只有第四项的系数n =n ⎛⎝nx ⎛⎝最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是____________ 12.（2010辽宁）261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为_________ 13.（2000北京）求的展开式中有理项共有________项。

14.（2015全国）的展开式中，的系数为__________ 15.（2x -1）（x +y ）5的展开式中，x 3y 3的系数为_______________ 16.(1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为（ ） A.a ＝2，b ＝－1，n ＝5 B.a ＝－2，b ＝－1，n ＝6 C.a ＝－1，b ＝2，n ＝6 D.a ＝1，b ＝2，n ＝5 17.已知，则的值是__________18.多项式x 10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2·(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 8的值为_________19.若多项式1010221010)1(...)1()1()2(+++++++=+x a x a x a a x ，则820...a a a +++的值为（ ） A .509B.510C.511D.102220.设10992210101022101020)1()1()21(x x b x b x b b x a x a x a a x x ++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=++，则=9a ________21.已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求： （1）a 1＋a 2＋…＋a 7； （2）a 1＋a 3＋a 5＋a 7； （3）a 0＋a 2＋a 4＋a 6；103)1(x x -25()x x y ++52x y（4）|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.21.=++++⋅⋅⋅+++=0101102103107108109101098732C C C C C C C S _____________ 22.(2012湖北)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512012＋a 能被13整除，则a ＝_______23.数10101031032102110909090901C C C C ⋅+⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-除以88的余数是_________24.求6998.2的近似值（精确到小数后第三位）。