二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()0f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求； 2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得112m -<<即为所求的范围。
例2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。
解：由()()12200mf∆>⎧⎪-+⎪->⎨⎪>⎪⎩⇒()21801m mmm⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩⇒322322m mm⎧<->+⎪⎨>⎪⎩或⇒0322m<<-或322m>+即为所求的范围。
例3、已知二次函数()()()222433y m x m x m=+-+++与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。
解：由()()210m f+<即()()2210m m++<⇒122m-<<即为所求的范围。
例4、已知二次方程()22340mx m x+-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。
解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f<⇒()4310m+<⇒13m<-即为所求范围。
（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在()0,1内，由0∆=计算检验，均不复合题意，计算量稍大）1．二次函数及图象设有一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，判别式Δ=b2-4ac，当Δ＞0时y=f(x)与x轴有二交点；当Δ=0时，y=f(x)与x轴仅有一交点；当Δ＜0时，y=f(x)与x轴无交点．当Δ＞0时，设y=f(x)图象与x轴两交点为x1＜x2．一元二次函数y=f(x)与x轴交点x1，x2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根．观察图象不难知道．图像为观察图象不难知道△=0，a＞0 , △=0，a＜0当△＜0时，y=f(x)图象与x轴无公共点，其图象为观察图象不难知道．a＞0时,绝对不等式f(x)＞0解为x∈R．a＜0时,绝对不等式f(x)＜0解为x∈R．2．讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结为不等式（组）的求解问题，其方法有3种：（1）应用求根公式；（2）应用根与系数关系；（3）应用二次函数图象．在进行转化时，应保证这种转化的等价性．就这三种方法而言，应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法．设f（x）=ax2＋bx＋c（a＞0），方程ax2＋bx＋x=0的个根为α，β（α≤β），m，n为常数，且n＜m，方程根的分布无外乎两种情况：②α，β同居一区间时，不但要考虑端点函数值的符号，还要考虑三、好题解给你(1)(1)预习题1. 设有一元二次函数y＝2x2-8x+1．试问，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值变大还是变小？由此y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值分别是什么？解：经配方有y＝2(x-2)2-7∵对称轴x＝2，区间[3，4]在对称轴右边，∴y＝f(x)在[3，4]上随x变大，y的值也变大，因此y max=f(4)＝1．y min＝f(3)＝-5．2.设有一元二次函数y＝2x2-4ax+2a2+3．试问，此函数对称轴是什么？当x∈[3，4]时，随x变大，y的值是变大还是变小？与a取值有何关系？由此，求y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值．解：经配方有y＝2(x-a)2+3．对称轴为x=a．当a≤3时，因为区间[3，4]在对称轴的右边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值也变大．当3＜a＜4时，对称轴x=a在区间[3，4]内，此时，若3≤x≤a，随x变大，y的值变小，但若a≤x≤4，随x变大，y的值变大．当4≤a时，因为区间[3，4]在对称轴的左边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值反而变小．根据上述分析，可知．当a≤3时，y max=f(4)=2a2-16a+35．y min=f(3)＝2a2-12a+21．当3＜a＜4时，y min＝f(a)＝3．其中，a≤3.5时，y max＝f(4)＝2a2-16a+35．a≥3.5时，y max＝f(3)＝2a2-12a+21．当a≥4时，y max＝f(3)＝2a2-12a+21．y min＝f(4)＝2a2-16a+35．(2)(2)基础题例1．设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)＝0．试问：(1)m为何值时，有一正根、一负根．(2)m为何值时，有一根大于1、另一根小于1．(3)m为何值时，有两正根．(4)m为何值时，有两负根．(5)m为何值时，仅有一根在[1，4]内？解：(1)设方程一正根x2，一负根x1，显然x1、x2＜0，依违达定理有m+2＜0．∴ m＜-2．反思回顾：x1、x2＜0条件下，ac＜0，因此能保证△＞0．(2)设x1＜1，x2＞1，则x1-1＜0，x2-1＞0只要求(x1-1)(x2-1)＜0，即x1x2-(x1+x2)+1＜0．依韦达定理有(m+2)+2(m-1)+1＜0．(3)若x1＞0，x2＞0，则x1+x2＞0且x1，x2＞0,故应满足条件依韦达定理有(5)由图象不难知道，方程f(x)＝0在[3，4]内仅有一实根条件为f(3)·f(4)＜0，即[9+6(m-1)+(m+2)]·[16+8(m-1)+(m+2)]＜0．∴(7m+1)(9m+10)＜0．例2. 当m为何值时，方程有两个负数根？解：负数根首先是实数根，∴，由根与系数关系：要使方程两实数根为负数，必须且只需两根之和为负，两根之积为正．由以上分析，有即∴当时，原方程有两个负数根．(3)(3)应用题例1. m取何实数值时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的两个实根都大于2？解：设f（x）=x2+（m-2）x+5-m，如图原方程两个实根都大于2所以当-5＜m≤-4时，方程的两个实根大于2．例2．已知关于x方程：x2-2ax＋a＝0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1，β＞2，求实根a的取值范围．解：设f（x）=x2-2ax＋a，则方程f（x）=0的两个根α，β就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标，如图0＜α＜1，β＞2的条件是：＜1，β＞2．例3．m为何实数时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的一个实根大于2，另一个实根小于2.解：设f（x）=x2＋（m-2）x＋5-m，如图，原方程一个实根大于2，另一个实根小于2的充要条件是f（2）＜0，即4＋2（m-2）＋5-m＜0．解得m＜-5．所以当m＜-5时，方程的一个实根大于2，另一个实根小于2．(4)(4)提高题例1．已知函数的图象都在x轴上方，求实数k的取值范围．解：（1）当，则所给函数为二次函数，图象满足：，即解得：（2）当时，若，则的图象不可能都在x轴上方，∴若，则y=3的图象都在x轴上方由（1）（2）得：反思回顾：此题没有说明所给函数是二次函数，所以要分情况讨论．例2．已知关于x的方程（m-1）x2-2mx＋m2+m-6=0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β，求实数m的取值范围．解：设f(x)=x2-2mx+m2＋m-6，则方程f（x）=0的两个根α，β，就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标．如图，0＜α＜1＜β的条件是解得例3．已知关于x的方程3x2-5x＋a=0的有两个实根α，β，满足条件α∈（-2，0），β∈（1，3），求实数a的取值范围．解：设f（x）=3x2-5x＋a，由图象特征可知方程f（x）=0的两根α，β，并且α∈（-2，0），β∈（1，3）的解得-12＜a＜0．四、课后演武场1.已知方程(m-1)x2+3x-1=0的两根都是正数，则m的取值范围是（ B ）A ．B ．C ．D ．2.方程 x 2+(m 2-1)x +(m -2)=0的一个根比1大，另一个根比-1小，则m 的取值范围是（ C ） A ．0＜m ＜2 B ．-3＜m ＜1 C ．-2＜m ＜0 D ．-1＜m ＜1 3.已知方程有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ C ）A ．B ．C ．D ．4．已知关于x 的方程3x 2+（m-5）x ＋7=0的一个根大于4，而另一个根小于4，求实数m 的取值范围．可知方程f （x ）=0的一根大于4，另一根小于4的充要条件是：f （4）＜0）5．已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋2m ＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m 的取值范围．征可知方程f （x ）=0的两根都在（0，2）内的充要条件是2、二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值问题探讨设()()002>=++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：ab n m 2-<< n a b m <-<2即[]n m ab ,2∈- n m ab<<-2 图象对于开口向下的情况，讨论类似。