1 0 x2 a2
p2
p x2
dx
p2
p a2
0 ( x2
1 a2
p2
1
x2 )dx
p2
p a2
[ 1 arctg a
x a
1 arctg p
x ]
p
p2
p 1
a2
[ a
2
1 p
]
2
0
p pa 1 p2 a2 2 ap 2a p a
再反演回去： I (t) eat 2a
p
0t
这样，实际把对 f (t) 的积分变换成对 f (t) 的拉普拉斯变换的积分，当然，反过来亦可，就 t
看哪个好算.
此为初稿，疏漏之处，敬请指正
数学物理方法
拉普拉斯变换的反演
丁成祥
例： sin tdt 1 dp arctgp
0t
0 p2 1
02
5. 普遍反演公式 普遍反演公式就是：
_ [sin t ]
t
dq arctg q arctg p
p q2 2
p 2
上述性质也可用于计算定积分：
因为：
f (q)dq
f (t)e pt dt
（因为
f (q)dq 的拉普拉斯逆变换为 f (t) ）.
p
0t
p
t
取 p 0 的情况，即得：
f (q)dq
f (t)dt
t 0
sin
cos 0
(t
)d
2
f0 02
[cos
0t
cos
t
]
3. 像函数导数的反演
已知： _ 1[ f ( p)] f (t) ，则_ 1[ f (n) ( p)] (t)n f (t)
例如：已知_ 1[ 1 ] 1 ，则由此可得， p t
_
1[
3
p2
]
_
1[2
d
(
1
)] 2 (t)
数学物理方法
拉普拉斯变换的反演
丁成祥
§6.2 拉普拉斯变换的反演
1. 有理分式的反演
若 f ( p) 为有理分式，则可以将其部分分式后再做反演.
例 1：求_
-1[ ( p2
1 2) p]
解：
f
( p)
( p2
1 2)p
Ap B p2 2
C p
则等式右边 Ap2 Bp Cp2 C2 ，和左边比较可得 ( p2 2) p
1决定，即
2
2 ，即
，有无穷多个奇点.
(2) 当 Re p s0 ，当 p 时， f ( p) 0 ，这其实是拉普拉斯变换的性质.
(3) 对于任意 Re p s0 ，沿直线 Re p 的积分：
i i
f ( p) dp，(
s0 )
则 f ( p) 反演存在.
例题 1：求
f
( p)
A
B
C 0
0
A

B
1 2 0
C2 1
C
1 2
f ( p)
1 2
p
p2 2
1 2
p
1 [ p 2 p2 2
1] p
1 2
[
1 p
p p2 2 ]
_
1[ f
( p)]
1 2
[1
cos
t
]
2. 查表法 很多函数的拉普拉斯变换已被制成了表格. 我们可以查表求拉普拉斯变换和反演. 有些
函数，表中没有，但往往在作一些简单的变形后就可以从表中得出；或利用前面的拉普拉斯 变换性质而得到.
f (t) 1 i f ( p)e ptdp
2 i i
但要注意，不是任意一个 f ( p) 都可能是某个函数的拉氏变换，必须满足一定的条件：
（1） Re p s0 时 f ( p) 解析，即在实部大于 s0 的右半平面解析， s0 是收敛横标，若在右
半平面奇点是无穷多的，比如
，是不可能反演的，其奇点由
ck p2 2
f (t) Re sf ( p) 全平面
奇点有两个， p1,2 i ，皆为一阶奇点，所以
Re sf
(i)
lim( p i)
z i
e pt p2 2
eit 2i
此为初稿，疏漏之处，敬请指正
数学物理方法
拉普拉斯变换的反演
同理
Re sf (i) eit
2i
f (t) eit eit 1 sin t
t 0
f1( )
f2 (t
)d
例如上节课所讲的受迫振动，
此为初稿，疏漏之处，敬请指正
数学物理方法
拉普拉斯变换的反演
丁成祥
x(t) _
1[ ( p2
f0 p 2 )( p2
02 ) ]
f0
_
1[
p2
2
p2
p 02 ]
已知
_
1[
p
2
2
]
sin
t
，
_
1[
p2
p 02
]
cos 0t
所以， x(t) f0
例
1：像前面的
f ( p)
( p2
1 2)p
，表中没有其反演结果，但化成分次分式后，
1， p
(
p2
p 2
)
p
却可从表中查得.
例 2：两个像函数 f1( p) 与 f2 ( p) 之和的反演为 f1(t) f2 (t)
例 3：两个函数 f1( p) f2 ( p) 的反演，可用卷积，即：
_
1[ f1( p) f2 ( p)]
p2
1 2
的原函数.
解： f (t) 1
2 i
i e pt dp i p2 2 ，考虑如图的回路积分
iR
f ( p)e ptdp f ( p)e ptdp f ( p)e ptdp
C iR
CR
f ( p) 在 p 时显然一致地趋于零，
故
e ptdp 0 （推广的约当引理），从而
丁成祥
此为初稿，疏漏之处，敬请指正
2i 2i
例 2.
求
f
(
p)
(
p2
1 2)2
( 0) 的原函数.
解：方法与上一个例题类似
f (t) Re sf ( p) 全平面
两个奇点， p1 i ， p2 i ，但皆为二阶孤立奇点，
同理 由此得：
Re sf (i) 1 d [( p i)2 f ( p)]
(2 1)! dp
p i
1
2
t
dp p
t
4. 像函数积分的反演
如果
f (q)dq 存在，且当 t 时
f (t) 有界，则
f (q)dq( lim
R
f (q)dq) 的反演为：
p
t
p
R p
_
1[
f (q)dq]
f (t)
p
t
例 1：求 sin t 的拉普拉斯变换. t
解，已知 _
[sin t]
p2 2
，则根据上面的公式有
d[ dp ( p
e pt i)2
]
p i
[
t 4
2
1 4i
3
]eit
Re
sf
(i )
[
t 4
2
1 4i 3
]eit
f
(t )
Re sf
(i)
f
(i )
sin t
t cost 2 3
6. 应用之二
求积分： I (t)
cos xtdx 0 x2 a2
解： I (t) 的拉氏变换为：
I ( p)