复变函数积分方法总结The final revision was on November 23, 2020复变函数积分方法总结经营教育乐享[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数：z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z=θθ称为主值 -π＜θ≤π，Arg=argz+2kπ。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。
z=re iθ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点k 并作和式S n =∑f(k )n k−1(z k -z k-1)= ∑f(k )nk−1z k 记z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max1≤k≤n {S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即k 的取法如何，S n有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为：∫f(z)dz c=lim δ 0∑f(k )nk−1z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c−.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f(z)dz c(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c=0. ∵f(z)=1 S n =∑f(k)nk−1(z k -z k-1)=b-a∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a.(2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c存在，设k =z k-1,则∑1= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1) 有可设k =z k ，则∑2= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
所以S n = (∑1+∑2)= ∑k−1n z k (z k2−z k−12)=b 2-a 2∴ ∫2zdz c=b 2-a 2定义衍生1：参数法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy 带入∫f(z)dz c得：∫f(z)dz c = ∫udx c - vdy + i ∫vdx c + udy 再设z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t ≤β)∫f(z)dz c =∫f(z(t))z(t)́dt βα参数方程书写：z=z 0+(z 1-z 0)t （0≤t ≤1）；z=z 0+re i θ，(0≤θ≤2π) 例题1： ∫z 2dz 3+i 0积分路线是原点到3+i 的直线段解：参数方程 z=（3+i ）t ∫z 2dz 3+i 0=∫[(3+i)t]2[(3+i)t]′dt 1=(3+i)3∫t 2dt 10=6+263i例题2： 沿曲线y=x 2计算∫（x 2+iy ）dz 1+i解： 参数方程 {x =ty =t 2 或z=t+it 2 (0≤t ≤1) ∫(x2+iy )dz 1+i 0=∫（t 2+it 2）(1+2it)dt 1=(1+i)[∫(t 2dt )dt 10 + 2i ∫t 3dt 1] =-16+56i定义衍生2 重要积分结果： z=z 0+ re i θ ，(0≤θ≤2π) 由参数法可得：∮dz(z−z 0)n+1c =∫ire iθe r 2π0d θ=i rn ∫e −inθ1+i 0d θ∮dz (z−z 0)n+1c={2πi n =00 n ≠0例题1：∮dz z−2|z |=1 例题2：∮dzz−1|z |=1解： =0 解 =2πi2.柯西积分定理法：柯西-古萨特定理：若f(z)dz 在单连通区域B 内解析，则对B 内的任意一条封闭曲线有：∮f(z)dz c=0 定理2：当f 为单连通B 内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z 0与终点z 1来确定。
闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D 内解析，C 与C 1是D 内两条正向简单闭曲线，C 1在C 的内部，且以复合闭路Γ=C+C 1所围成的多连通区域G 全含于D 则有：∮f(z)dz Γ=∮f(z)dz c +∮f(z)dz c1=0 即∮f(z)dz c =∮f(z)dz c1推论： ∮f(z)dz c =∑∮f(z)dz cknk=1 例题：∮2z−1z −zdz cC 为包含0和1的正向简单曲线。
解： 被积函数奇点z=0和z=1.在C 内互不相交，互不包含的正向曲线c 1和c 2。
∮2z−1z −zdz c=∮2z−1z (1−z)dz c1+∮2z−1z (1−z)dz c2=∮1z−1+1zdz c1+∮1z−1+1zdz c2=∮1z−1dz c1+∮1zdz c1+∮1z−1dz c2+∮1zdz c2=0+2πi+2πi+0=4πi原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：定理可知，解析函数在单连通域B 内沿简单曲线C 的积分只与起点z 0与终点z 1有关，即∫f()c d = ∫f()z1zd 这里的z 1和z 0积分的上下限。
当下限z 0固定，让上限z 1在B 内变动，则积分∫f()z1zd 在B 内确定了一个单值函数F(z),即F(z)= ∫f()z1zd 所以有 若f(z)在单连通区域B 内解析，则函数F(z)必为B 内的解析函数，且F(z) ́=f(z).根据定理和可得∫f(z)z 1zdz = F(z 1) - F(z 0). 例题：求∫zcosz 1dz 解： 函数zcosz 在全平面内解析∴∫zcosz 10dz =zsinz |0i -∫sinz 1dz = isin i+cosz |0i =isin i+cos i-1 =ie −1−12i+e −1+12i-1=e -1-1此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注意复变适合此方法的条件。
柯西积分公式法：设B 为以单连通区域，z 0位B 中一点，如f(z)在B 内解析，则函数f(z)z−z 0在z 0不解析，所以在B 内沿围绕z 0的闭曲线C 的积分∫f(z)z−z 0dz c一般不为零。
取z0位中心，以δ>0为半径的正向圆周|z−z0|=δ位积分曲线cδ，由于f(z)的连续性，所以∫f(z)z−z0dzc =∫f(z)z−z0dzcδ=2πif(z0)：若f(z)在区域D内解析，C为D内任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内的任一点，有：f(z0)=12πi ∮f(z)z−z0dz例题：1）∮|z|）∮z(9−z2)(z+i)dz|z|=2解：=2π isin z|z=0=0 解： =∮z9−z2z−(−i)dz|z|=2=2πi z9−z2|z=-i=π5解析函数的高阶导数：解析函数的导数仍是解析函数，它的n阶导数为f(n)(z0)=n!2πi ∮f(z)(z−z0)n+1dz(n=1,2…)其中C为f(z)的解析区域D内围绕z0的任一条正向简单闭曲线，而它的内部全含于D.例题：∮e zz5dzcC:|Z|=1解：由高阶导数的柯西积分公式：原式=2πi14!(e z)(4)|z=π2=πi123.解析函数与调和函数：定义：（1）调和函数：如果二元实函数φ(x,y)在区域D内具有二阶连续函数，且满足拉普拉斯方程：2φx 2+2φy 2=0，则称φ(x,y)为区域D 内的调和函数。
若f(z)=u+iv 为解析函数，则u 和v 都是调和函数，反之不一定正确（2）共轭调和函数:u(x ，y)为区域内给定的调和函数，我们把是 u+iv 在D 内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数。
若v 是u 的共轭调和函数，则-u 是v 的共轭调和函数关系：任何在区域D 内解析的函数，它的实部和虚部都是D 内的调和函数；且虚部为实部的共轭调和函数。
求解方法：（1）偏积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R 方程先求得v 的偏导数u x=v y，两边对y 积分得v=∫u x dy +g(x).再由u y=−v x 又得x ∫vxdy +g(x)́=-u y从而g(x)=∫[−u y−x ∫ux dy]dx + Cv=∫ux dy + ∫[−uy −x ∫uxdy]dx + C 同理可由v(x,y)求u(x,y).不定积分法：因为f(z)́=U x +i V x = U x -iU y = V y +iV X 所以f(z)=∫U (z )dz +c f(z)=∫V (z )dz +c线积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R 方程可得的dv=vx dx+vy dy=-uy dx+∫ux dy 故虚部为 v=∫−uy dx +（x ，y ）（x0，y 0，）u xdy +C该积分与路径无关，可自选路径，同理已知v(x,y)也可求u(x,y). 例题：设u=x 2-y 2+xy 为调和函数，试求其共轭函数v(x,y)级解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解：利用C-R 条件u x=2x+y uy=-2y+x2ux 2=22uy 2=-2所以满足拉普拉斯方程，有v x=−u y=2y-xvy=ux=2x+y所以v=∫(2y −x)dx +φ(y)=2xy- x 22+φ(y)v y=2x+φ(y)́=2x+y φ(y)́=y φ(y)=y 22+c v(x,y)=2xy- x 22+y 22+cf(z)=u(x,y)+iv(x,y)=12(2-i)z 2+iC4.留数求积分：留数定义：设z 0为函数f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域、 0<|z −z 0|<δ ,我们把f(z)在z 0处的洛朗展开式中负一次幂项系数c -1称为f(z)在z 0处的留数，记为Res[f(z),z 0]即Res[f(z),z 0]=c -1 或者Res[f(z),z 0]=12πi∮f (z )dz c C 为0<|z −z 0|<δ 留数定理：设函数f(z)在区域D 内除有限个孤立奇点z 1z 2…z n,其中z k 表示函数f (z )的孤立奇点孤立奇点：定义：如果函数f (z )在z 0不解析，但在z 0某个去心邻域0<|z −z 0|<δ内解析，则称z 0为f (z )的孤立奇点。