“变量之间的关系”知识要点梳理自变量变量的概念因变量变量之间的关系表格法关系式法变量的表达方法速度时间图象图象法路程时间图象一、变量、自变量、因变量1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。

2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。

3、自变量与因变量的确定：（1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。

（2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。

（3）利用具体情境来体会两者的依存关系。

二、表格1、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。

（1）首先要明确表格中所列的是哪两个量；（2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；（3）结合实际情境理解它们之间的关系。

2、绘制表格表示两个变量之间关系（1）列表时首先要确定各行、各列的栏目；（2）一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量；（3）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；（4）在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。

（5）一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间的关系。

三、关系式1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（也用字母表示），这样的数学式子（等式）叫做关系式。

2、关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。

3、求两个变量之间关系式的途径：（1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式。

（2）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；（3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式；（4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。

4、关系式的应用：（1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值；（2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；（3）根据关系式求值的实质就是解一元一次方程（求自变量的值）或求代数式的值（求因变量的值）。

四、图象1、图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象。

2、图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。

3、用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（又称横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（又称纵轴）上的点表示因变量。

4、图象上的点：（1）对于某个具体图象上的点，过该点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变量的取值；（2）过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。

（3）由自变量的值求对应的因变量的值时，可在横轴上找到表示自变量的值的点，过这个点作横轴的垂线与图象交于某点，再过交点作纵轴的垂线，纵轴上垂足所表示的数据即为因变量的相应值。

（4）把以上作垂线的过程过来可由因变量的值求得相应的自变量的值。

5、图象理解（1）理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量；（2）看该点所对应的横轴、纵轴的位置（数据）；（3）从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。

五、速度图象1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表速度增加；（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表匀速行驶或静止；（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表速度减小。

六、路程图象1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点（或已知定点）；（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表静止；（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点）。

七、三种变量之间关系的表达方法与特点：“变量之间的关系”单元测试题一、选一选，看完四个选项后再做决定呀！（每小题3分，共30分）1．李老师骑车外出办事，离校不久便接到学校到他返校的紧急电话，李老师急忙赶回学校．下面四个图象中，描述李老师与学校距离的图象是（ ）2．已知变量x ，y 满足下面的关系则x ，y 之间用关系式表示为( ) A.y =x3B.y =－3x C.y =－x3 D.y =3x3．某同学从学校走回家，在路上遇到两个同学，一块儿去文化宫玩了会儿，然后回家，下列象能刻画这位同学所剩路程与时间的变化关系的是（ ）4．地表以下的岩层温度y 随着所处深度x 的变化而变化，在某个地点y 与x 的关系可以由公式2035+=x y 来表示，则y 随x 的增大而（ ）A 、增大B 、减小C 、不变D 、以上答案都不对 5．某校办工厂今年前5个月生产某种产品总量（件）与时间（月）的关系如图1所示，则对于该厂生产这种产品的说法正确的是（ ）Ａ．1月至3月生产总量逐月增加，4，5两月生产总量逐月减少 Ｂ．1月至3月生产总量逐月增加，4，5两月均产总量与3月持平 Ｃ．1月至3月生产总量逐月增加，4，5两月均停止生产 Ｄ．1月至3月生产总量不变，4，5两月均停止生产Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．6．如图2是反映两个变量关系的图，下列的四个情境比较合适该图的是（ ） Ａ．一杯热水放在桌子上，它的水温与时间的关系 Ｂ．一辆汽车从起动到匀速行驶，速度与时间的关系 Ｃ．一架飞机从起飞到降落的速度与时晨的关系 Ｄ．踢出的足球的速度与时间的关系7．如图3，射线l 甲，l 乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的关系，则图中显示的他们行进的速度关系是（ ） Ａ．甲比乙快Ｂ．乙比甲快Ｃ．甲、乙同速 Ｄ．不一定8．在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（ ） A.太阳光强弱B.水的温度C.所晒时间D.热水器9．长方形的周长为24厘米，其中一边为x （其中0>x ），面积为y 平方厘米，则这样的长方形中y 与x 的关系可以写为（ ）A 、2x y = B 、()212x y -= C 、()x x y ⋅-=12 D 、()x y -=12210如果没盒圆珠笔有12支，售价18元，用y （元）表示圆珠笔的售价，x 表示圆珠笔的支数，那么y 与x 之间的关系应该是（ ） （A ）y =12x （B ）y =18x （C ）y =23x （D ）y =32x 二、填一填，要相信自己的能力！（每小题3分，共30分）1．某种储蓄的月利率是0.2%，存入100元本金后，则本息和y （元）与所存月数x 之间的关系式为____（不考虑利息税）．2．如果一个三角形的底边固定，高发生变化时，面积也随之发生改变．现已知底边长为10，则高从3变化到10时，三角形的面积变化范围是____．3．汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y （升）与行驶时间x （小时）的关系式为____，该汽车最多可行驶____小时．4．某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中 是自变量， 是因变量。

5．地面温度为15 ºC ，如果高度每升高1千米，气温下降6 ºC ，则高度h (千米)与气温t (ºC )之间的关系式为 。

6．汽车以60千米/时速度匀速行驶，随着时间t 化，则它们之间的关系式为 。

7．小明和小强进行百米赛跑，小明比小强跑得快，如果 两人同时起跑，小明肯定赢，如图4先跑 米，直线 表示小明的路程与时间的 关系，大约 秒时，小明追上了小强，小强在这次赛 跑中的速度是 。

8．小雨拿5元钱去邮局买面值为80分的邮票，小雨买邮票后所剩钱数y （元）与买邮票的枚数x （枚）之间的关系式为9．拖拉机工作时，油箱中的余油量Q （升）与工作时间t （时）的关系式为406Q t =-．当4t =时，Q =_________，从关系式可知道这台拖拉机最多可工作_________小时．10．随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少.下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势(1)上表中_____是自变量，_____是因变量.(2)你预计该地区从_____年起入学儿童的人数不超过1 000人. 三、做一做，要注意认真审题呀！（本大题共38分）1．（8分）某校办工厂现在年产值是15万元，计划以后每年增加2万元. （1）写出年产值y （万元）与年数x 之间的关系式.（2）用表格表示当x 从0变化到6（每次增加1）y 的对应值. （3）求5年后的年产值.图42．（10分）如图5，反映了小明从家到超市的时间与距离之间关系的一幅图.（1）图中反映了哪两个变量之间的关系？超市离家多远？（2）小明到达超市用了多少时间？小明往返花了多少时间？（3）小明离家出发后20分钟到30分钟内可以在做什么？（4）小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少？3．（10分）如图6，它表示甲乙两人从同一个地点出发后的情况。

到十点时，甲大约走了13千米。

根据图象回答：（1）甲是几点钟出发？（2）乙是几点钟出发，到十点时，他大约走了多少千米？（3）到十点为止，哪个人的速度快？（4）两人最终在几点钟相遇？（5）你能将图象中得到信息，编个故事吗？4．（10分）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定．在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y 与所挂物体质量x 的一组对应值．（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当所挂物体重量为3千克时，弹簧多长？不挂重物时呢？（3）若所挂重物为7千克时（在允许范围内），你能说出此时的弹簧长度吗？四、拓广探索！（本大题共22分）1．（１０分）小明在暑期社会实距活动中，以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克瓜到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图7所示．请你根据图象提供的信息完成以下问题：（1）求降价前销售金额y （元）与售出西瓜x （千克）之间的关系式； （2）小明从批发市场共购进多少千克西瓜？ （3）小明这次卖瓜赚子多少钱？图7２．（12分某移动通信公司开设了两种通信业务，“全球通”：使用时首先缴50元月租费，然后每通话1分钟，自付话费0.4元；“动感地带”：不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元（本题的通话均指市内通话），若一个月通话x 分钟，两种方式的费用分别为1y 元和2y 元．（1）写出1y 、2y 与x 之间的关系式；（2）一个月内通话多少分钟，两种移动通讯费用相同？（3）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种移动通信合算些？）参考答案一、1~10 ＣＣＢＡＣ ＢＡＣD C ．二、1、1000.2y x =+；2、三角形的面积由15变为50；3、405y x =-，8； 4、销售量，销售收入；5、h =15-6t ；6、s =60t ；7、10，l 1，20；8、y =500-80x 9、16；20310、 (1)年份，入学儿童人数；(2)2008； 三、1、（1）y =15+2x ；（2）略；（3）25； 2、（1）时间与距离之间的关系；900米； （2）20分钟；35分钟； （3）休息；（4）45米/分钟；60米/分钟；3、（1）8点；（2）9点；13米；（3）乙；（4）10点；（5）答案不惟一，略；4、（1）弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量；（2）２４厘米；18厘米； （3）32厘米．四、1．（1） 1.6y x =；（2）50千克；（3）36元． 2．（1）12500.4,0.6y x y x =+=；（2）由1y =2y ，即500.40.6x x +=，解得x =250，当每个月通话250分钟时，两种移动通讯费用相同．（3）当x =300时，1y =170，2y =180，1y ＜2y ，所以使用“全球通”合算．。