概率分布以及期望和方差上课时间 :上课教师：上课重点 : 掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差上课规划：解题技巧和方法一两点分布知识内容⑴两点分布如果随机变量X 的分布列为X10P p q其中 0 p 1 ， q 1 p ，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为 1，不合格记为 0 ，已知产品的合格率为 80% ，随机变量 X 为任意抽取一件产品得到的结果，则 X 的分布列满足二点分布．X 10P 0.80.2两点分布又称 0 1分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．（2）典型分布的期望与方差：二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在 n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．典例分析，针尖向上；1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令X1，如果针尖向上的，针尖向下 .概率为 p ，试写出随机变量 X 的概率分布．2、从装有 6 只白球和 4 只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的，当取到白球时，白球个数”，即X，当取到红球时， ，求随机变量 X 的概率分布．3、若随机变量 X 的概率分布如下：X1P23 8C9C C试求出 C ，并写出 X 的分布列．3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量0,(当第一次向上一面的点 数不等于第二次向上一面的点数 )1, (当第一次向上一面的点数等于第二次向上一面的点数 )试写出随机变量 的分布列．4、篮球运动员比赛投篮，命中得1 分，不中得 0 分，已知运动员甲投篮命中率的概率为 P ．⑴ 记投篮 1次得分 X ，求方差 D ( X ) 的最大值；⑵ 当⑴中 D ( X ) 取最大值时，甲投 3 次篮，求所得总分 Y 的分布列及 Y 的期望与方差．二超几何分布知识内容将离散型随机量X 所有可能的取x i与取的概率p i (i 1, 2, L , n)列表表示：X x1x2 P p1p2⋯⋯x ip i⋯⋯x np n一般地，有数 N 件的两物品，其中一有 M 件，从所有物品中任取 n 件 ( n ≤N ) ， n 件中所含物品件数X是一个离散型随机量，它取 m 的概率P( X m)C M m C n N m M(0≤ m≤ l ，l n 和M中小的一个 ) ．C n N我称离散型随机量X 的种形式的概率分布超几何分布，也称X 服从参数 N ， M ，n的超几何分布．在超几何分布中，只要知道 N ， M 和n，就可以根据公式求出 X 取不同的概率P( X m)，从而列出 X 的分布列．超几何分布的期望和方差：若离散型随机量 X 服从参数N，M，n的超几何分布，()nM， D ( X )n(N n)( N M )M ．E X N N2 (N 1)典例分析例：一盒子内装有 10 个球，其中 3 个旧的，7 个新的，从中任意取 4 个，取到新球的个数的期望是．1. 某人参加一次英口考，已知在的10道中，能答其中的 6 题，规定每次考试都从备选题中随机抽出 5 题进行测试，每题分数为20分，求他得分的期望值．练习 2. 以随机方式自 5 男 3 女的小群体中选出 5 人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与方差．练习 3. 在12个同类型的零件中有 2 个次品，抽取 3 次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以和分别表示取出次品和正品的个数．求，的期望值及方差．三二项分布知识内容若将事件 A 生的次数X ，事件 A 不生的概率q 1 p ，那么在 n 次独立重复中，事件 A 恰好生k 次的概率是P( X k )C k n p k q n k，其中k 0, 1, 2, L , n ．于是得到X 的分布列X01⋯k⋯nP C0n p 0q n C1n p1q n 1⋯C k n p k q n k⋯C n n p n q0由于表中的第二行恰好是二展开式(q p)n C0n p0 q n C1n p1q n 1 L C k n p k q n k L C n n p n q0各的，所以称的散型随机量X 服从参数n，p 的二分布，作 X ~ B(n , p) ．二分布的均与方差：若离散型随机量X 服从参数n和 p 的二分布，E ( X ) np ， D (x) npq (q 1 p) ．二分布：若离散型随机量X 服从参数n和 p 的二分布，E( X ) np ，D ( x) npq (q 1 p) ．典例分析二分布的概率算例：已知随机量服从二分布，12) 等于．~ B(4 ， ) ， P(31. 甲乙两人行棋比，比采取五局三制，无哪一方先三局比束，假定甲每局比的概率均2，甲以 3:1 的比分的3概率（）A．8B．64C．4D．8 2781992. 某球运在三分投球的命中率是1，他投球 10次，恰好投23 个球的概率．（用数表示）3. 某人参加一次考，4道中解3道及格，已知他的解正确率 0.4 ，他能及格的概率_________（保留到小数点后两位小数）接种某疫苗后，出反的概率0.80，有 5 人接种了疫苗，至少有 3 人出反的概率．（精确到 0.01）例题 : 从一批由 9 件正品， 3 件次品组成的产品中，有放回地抽取 5 次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留 2 位有效数字）．练习 1. 一台X型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000 ，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有 2 台机床需要工人照看的概率是（）A．0.1536B．0.1808C．0.5632D．0.9728练习 2. 设在 4 次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若已知事件A至少发生一次的概率等于65 ，求事件A在一次试验中发生的概率．81例题：某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是1．若某人获得两个“支持”，则给予 10万元的创业资助；若只获2得一个“支持”，则给予 5 万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：⑴ 该公司的资助总额为零的概率；⑵该公司的资助总额超过15万元的概率．练习 1. 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6 ，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200 元；若顾客采用分期付款，商场获得利润 250 元．⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；⑵求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．练习 2. 某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为 1 ，若中奖，则家具城返还顾客5现金 200 元．某顾客消费了3400 元，得到3张奖券．⑴求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率；⑵求家具城至少返还该顾客现金 200元的概率．例题：设飞机 A 有两个发动机，飞机 B 有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率p 是t的函数p 1 e t，其中t为发动机启动后所经历的时间，为正的常数，试讨论飞机 A 与飞机 B 哪一个安全？（这里不考虑其它故障）．练习 1. 假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P ，且各发动机互不影响．如果至少 50% 的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的 P 而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？练习 2. 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有 6 个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 1 ．3⑴设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列；⑵设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．二项分布的期望与方差精选文库例题 : 已知X ~ B(10，0.8)，求E( X )与D ( X )．练习 1. 已知X ~ B(n，p )，E( X )8 ， D ( X ) 1.6 ，则 n 与p的值分别为（）A．10和0.8 B ．20和0.4C． 10 和 0.2D． 100和 0.8练习 2. 已知随机变量X服从参数为 6 ，0.4的二项分布，则它的期望E ( X )，方差 D( X )．练习 3. 已知随机变量X服从二项分布，且E() 2.4 ， D ( ) 1.44 ，则二项分布的参数 n ，p的值分别为，．练习 4. 一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，每次取一球，取后放回，取 4 次，则取到新球的个数的期望值是．1 ，2，1．例题：甲、乙、丙 3 人投篮，投进的概率分别是352⑴现 3 人各投篮 1 次，求 3 人都没有投进的概率；⑵用表示乙投篮 3 次的进球数，求随机变量的概率分布及数学期望．练习 1. 抛掷两个骰子，当至少有一个 2 点或 3点出现时，就说这次试验成功．⑴ 求一次试验中成功的概率；⑵求在4次试验中成功次数X 的分布列及 X 的数学期望与方差．练习 2. 某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4% ．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？四正态分布知识内容概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量 X ，则这条曲线称为 X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是 1，而随机变量 X 落在指定的两个数 a，b 之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．正态变量概率密度曲线的函数表达式为1( x)2f (x) e 22， x R ，其中，是参数，且0 ，2πyx= μO x．式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为、标准差为的正态分布通常记作 N ( , 2 ) ．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为 0 ，标准差为 1的正态分布叫做标准正态分布．①正态变量在区间(,) ， ( 2 , 2 ) ， ( 3 ,3) 内，取值的概率分别是 68.3% ， 95.4% ， 99.7% ．②正态变量在 ( ，) 内的取值的概率为 1 ，在区间( 3， 3 ) 之外的取值的概率是 0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x三倍标准差之内，这就是正态分布的 3 原则．若 ~ N (，2 ) ， f ( x) 为其概率密度函数，则称 F (x)P( ≤ x)x f (t )dt 为概率，2x1t2分布函数，特别的，( x) e 2 dt为标准正态分布函数．~ N (0 1 ) ，称π2P(x) ( x) ．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．典例分析（一）正态曲线（正态随机变量的概率密度曲线）1. 下列函数是正态分布密度函数的是（）21( x r )A． f ( x ) e 2π2C．f ( x )1( x 1) 2πe4222 πe x2 B． f ( x )22 πD． f ( x )1x 2e 2π22. 若正态分布密度函数 f ( x)1( x 1) 2(x R) ，下列判断正确的是（）π e22A．有最大值，也有最小值B．有最大值，但没最小值C．有最大值，但没最大值D．无最大值和最小值x23. 对于标准正态分布N 0，1的概率密度函数 f x1 e 2，下列说法不正确2π的是（）A．f x 为偶函数B．f x 最大值为12 πC．f x 在x 0时是单调减函数，在 x ≤ 0 时是单调增函数D．f x 关于x1对称4. 设的概率密度函数为 f ( x)1( x1) 22，则下列结论错误的是（）πe2A．P(1)P(1)B．P( 1≤≤ 1) P(11)C．f ( x)的渐近线是x 0D． 1 ~ N(0 ，1)（二 ) 求,的取值以及概率例题：设 X ~ N ( ，2 ) ，且总体密度曲线的函数表达式为：1x2 2 x 1f (x) e 4，2πx R ．⑴求，；⑵求 P(| x 1|2) 及 P(1 2 x 1 2 2) 的值．练习 1. 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为 f ( x)1( x 80)2200，则下列命题中不正确的是（）e102A．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在 120 分以上的人数与分数在60 分以下的人数相同C．分数在 110 分以上的人数与分数在50 分以下的人数相同D．该市这次考试的数学标准差为10（三）正态分布的性质及概率计算精选文库例题 : 设随机变量服从正态分布 N (0 ，1) ，a 0，则下列结论正确的个数是____ ．⑴ P(| | a )P(| |a)P(|| a)⑵ P(| | a )2P(a)1⑶ P(| | a ) 1 2P(a)⑷ P(| | a ) 1 P(| | a)练习 1.已知随机变量 X 服从正态分布N (3，a2)，则P( X 3)（）A．1B．1C．1D．15432练习 2.在某项测量中，测量结果 X 服从正态分布 N 1，20，若 X 在0，1内取值的概率为0.4，则 X 在0，2内取值的概率为．练习 3.已知随机变量 X 服从正态分布N (2，2)，P( X≤4)0.84 ，则 P( X ≤ 0) A．0.16B． 0.32 C ．0.68D．0.84练习 4.已知 X ~N(1，2 ) ，若 P( 3≤ X ≤ - 1)0.4 ，则 P( 3≤ X ≤ 1)（）A．0.4B．0.8C．0.6D．无法计算加强训练：1 设随机变量服从正态分布N (2，9)，若P (c2) P( c 2) ，则c_______．2 设~ N (0 ，1) ，且 P(| | b ) a(0 a 1 ，b 0) ，则 P(≥ b)的值是_______（用a表示）．3 正态变量X ~ N(1，2)，c为常数，c0 ，若P(c X 2c) P(2 c X 3c)0.4 ，求P( X ≤ 0.5) 的值．4 某种零件的尺寸服从正态分布N (0 ，4) ，则不属于区间( 4 ，4) 这个尺寸范围的零件约占总数的．（四）正态分布的数学期望及方差例题 : 如果随机变量~ N (，2)，E D1，求 P( 11) 的值．( 五）正态分布的3原则例题 : 灯泡厂生产的白炽灯寿命（单位：h），已知~ N (1000 ，302 ) ，要使灯泡的平均寿命为1000h 的概率为99.7% ，则灯泡的最低使用寿命应控制在_____ 小时以上．练习 1. 一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4 小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于 40小时的概率是多少？练习 2. 某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80 ，标准差为 10，理论上说在 80 分到 90 分的人数是 ______．杂题（拓展相关：概率密度，分布函数及其他）练习 3.以 F x 表示标准正态总体在区间, x 内取值的概率，若随机变量服从正态分布 N,2，则概率 P等于（）A．F F B． F 1 F11C．FD． 2F练习 4. 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10 道题中，甲能答对其中的 6 题，乙能答对其中的8 题．规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题才算合格．⑴求甲答对试题数X的分布列、数学期望与方差；⑵ 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．课后练习1、一个袋子里装有大小相同的3个红球和 2 个黄球，从中同时取出 2 个，则其中含红球个数的数学期望是_________．（用数字作答）2.、同时抛掷 4 枚均匀硬币 80 次，设 4 枚硬币正好出现 2 枚正面向上， 2 枚反面向上的次数为，则的数学期望是（）A．20B．25C．30D．403、某服务部门有n个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是 p ，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是（）A．np(1p)B．np C． n D． p (1 p)4、同时抛掷4枚均匀硬币 80次，设 4 枚硬币正好出现 2枚正面向上， 2 枚反面向上的次数为，则的数学期望是（）A、20B． 25C． 30D． 405、一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出 1个球，得到黑球的概率是 2 ；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白5球的概率是7．9⑴若袋中共有 10 个球，从袋中任意摸出 3 个球，求得到白球的个数的数学期望；⑵求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于7 ．并10指出袋中哪种颜色的球个数最少．5. 某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中的任意连续取出 2 件，求次品数的概率分布列及至少有一件次品的概率．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为 5 和4，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的 4 株65大树中：⑴至少有 1 株成活的概率；⑵两种大树各成活 1 株的概率．6.一个口袋中装有 n 个红球（n≥5且n N *）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．⑴试用 n 表示一次摸奖中奖的概率p ；⑵若 n 5 ，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；⑶记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为 P ．当n取多少时，P 最大？7. 袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是1，从 B 中摸出一个红球的概率为p ．3⑴从 A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有 3 次摸到红球即停止．①求恰好摸 5 次停止的概率；②记 5 次之内（含 5 次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布．⑵若 A ，B 两个袋子中的球数之比为1: 2，将 A ，B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是2，求 p 的值．58、一个质地不均匀的硬币抛掷 5 次，正面向上恰为 1次的可能性不为0 ，而且与正面向上恰为 2 次的概率相同．令既约分数i 为硬币在5次抛掷中有3j次正面向上的概率，求i j ．9、某气象站天气预报的准确率为80% ，计算（结果保留到小数点后面第2位）⑴5 次预报中恰有2次准确的概率；⑵ 5 次预报中至少有 2 次准确的概率；⑶5 次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；10、某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20 层可以停靠．若该电梯在底层载有 5 位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1，求至少有两位乘客在20 层下的概率．311、10 个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第n 次才取得 k(k ≤ n) 次红球的概率．12、已知甲投篮的命中率是0.9，乙投篮的命中率是0.8，两人每次投篮都不受影响，求投篮 3 次甲胜乙的概率．（保留两位有效数字）13 、若甲、乙投篮的命中率都是p 0.5，求投篮n次甲胜乙的概率．（ n N ，n ≥ 1 ）14、省工商局于某年3 月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x 饮料的合格率为80% ，现有甲，乙，丙 3 人聚会，选用 6 瓶x饮料，并限定每人喝 2 瓶，求：⑴甲喝 2 瓶合格的x饮料的概率；⑵甲，乙，丙 3 人中只有 1 人喝 2 瓶不合格的x饮料的概率（精确到0.01）．15、在一次考试中出了六道是非题，正确的记“√”号，不正确的记“×”号．若某考生随手记上六个符号，试求：⑴全部是正确的概率；⑵正确解答不少于 4 道的概率；⑶至少答对 2 道题的概率．17、某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6 ．现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：⑴双方各出 3人；⑵双方各出 5 人；⑶双方各出 7 人．三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利．问：对系队来说，哪一种方案最有利？18、某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60% ，参加过计算机培训的有75% ，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．⑴任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率；⑵任选 3 名下岗人员，记为 3 人中参加过培训的人数，求的分布和期望．19、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5 ，购买乙种商品的概率为 0.6 ，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．记表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布及期望．20、某班级有n人，设一年365天中，恰有班上的m（m≤n）个人过生日的天数为 X ，求 X 的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值．21、购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有 10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10000 元的概率为1 0.999104．⑴求一投保人在一年度内出险的概率 p ；⑵设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0 ，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．22、某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是 0.5 ，整改后安检合格的概率是0.8 ，计算（结果精确到0.01）．⑴恰好有两家煤矿必须整改的概率；⑵平均有多少家煤矿必须整改；⑶至少关闭一家煤矿的概率．23、设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2 ，机器发生故障时全天停止工作．若一周 5 个工作日里均无故障，可获利润10 万元；发生一次故障可获利润 5 万元，只发生两次故障可获利润0 万元，发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元．求一周内期望利润是多少？（精确到0.001）24、在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有 5 发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是 2 ．3⑴求油罐被引爆的概率；⑵如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为，求的分布列及E．25、一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6 的 6 个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号．若拿出球的标号是 3 的倍数，则得 1 分，否则得1分．⑴求拿 4 次至少得 2 分的概率；⑵求拿 4 次所得分数的分布列和数学期望．26、某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数 A a1a2 a3 a4 a5，其中 A 的各位数中，a1 1 ，a k (k 2 ，3 ，4，5) 出现0的概率为1，出现1的概率为2 ．记3123a 453a a a a ，当程序运行一次时，⑴ 求 3 的概率；⑵ 求的概率分布和期望．27、某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1，遇到红灯时停留的时间都是 2 min ．3⑴ 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；⑵ 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望．。