习题1111-1．直角三角形ABC的A点上，有电荷C108.191-⨯=q，B点上有电荷C108.492-⨯-=q，试求C点的电场强度(设0.04mBC=，0.03mAC=)。

解：1q在C点产生的场强：1124ACqE irπε=，2q在C点产生的场强：2224BCqE jrπε=，∴C点的电场强度：44122.710 1.810E E E i j=+=⨯+⨯；C点的合场强：224123.2410VE E E m=+=⨯，方向如图：1.8arctan33.73342'2.7α===。

11-2．用细的塑料棒弯成半径为cm50的圆环，两端间空隙为cm2，电量为C1012.39-⨯的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。

解：∵棒长为2 3.12l r d mπ=-=，∴电荷线密度：911.010q C mlλ--==⨯⋅可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去md02.0=长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在O点产生的场强。

解法1：利用微元积分：21cos4O xRddERλθθπε=⋅，∴2000cos2sin2444OdE dR R Rααλλλθθααπεπεπε-==⋅≈⋅=⎰10.72V m-=⋅；解法2：直接利用点电荷场强公式：由于d r<<，该小段可看成点电荷：112.010q d Cλ-'==⨯，则圆心处场强：1191222.0109.0100.724(0.5)OqE V mRπε--'⨯==⨯⨯=⋅。

方向由圆心指向缝隙处。

11-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为λ，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆αji2cmORxαα心O 点的场强。

解：以O 为坐标原点建立xOy 坐标，如图所示。

①对于半无限长导线A ∞在O 点的场强：有：00(cos cos )42(sin sin )42Ax A y E R E R λπππελπππε=-=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②对于半无限长导线B ∞在O 点的场强： 有：00(sin sin )42(cos cos )42B x B y E R E R λπππελπππε=-=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩③对于AB 圆弧在O 点的场强：有：20002000cos (sin sin )442sin (cos cos )442AB x AB y E d R R E d R R ππλλπθθππεπελλπθθππεπε==-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪=--⎩⎰⎰∴总场强：04O x E R λπε=，04O y E R λπε=，得：0()4O E i j R λπε=+。

或写成场强：22024O x O y E E E R λπε=+=，方向45。

11-4．一个半径为R 的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为λ，求环心处O 点的场强E 。

解：电荷元dq 产生的场为：204d qd E R πε=； 根据对称性有：0yd E=⎰，则：200sin sin 4x R d E dE d E R πλθθθπε===⎰⎰⎰02R λπε=，方向沿x 轴正向。

即：02E i R λπε=。

11-5．带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度 为0sin λλϕ=，式中0λ为一常数，ϕ为半径R 与x 轴 所成的夹角，如图所示．试求环心O 处的电场强度。

解：如图，0200sin 44d dldE R R λϕϕλπεπε==， o RXYλθdθdqEdxyEcos sin x y dE dE dE dE ϕϕ==⎧⎪⎨⎪⎩考虑到对称性，有：0=x E ；∴200000000sin (1cos 2)sin 4428y d d E dE dE R R R ππλϕϕλλϕϕϕπεπεε-=====⎰⎰⎰⎰，方向沿y 轴负向。

11-6．一半径为R 的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心O 处的电场强度。

解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为d l Rd θ=，所带电荷：2dq r d l πσ=。

利用例11-3结论，有：332222220024()4()x dq r xdld E x r x r σππεπε⋅==++∴322202cos sin 4[(sin )(cos )]R R Rd dE R R σπθθθπεθθ⋅⋅⋅=+，化简计算得：2001sin 2224E d πσσθθεε==⎰，∴04E i σε=。

11-7．图示一厚度为d 的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为ρ。

求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x 变化的图线，即x E -图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox 轴垂直于平板)。

解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面1S 为高斯面，当2d x ≤时，由12S E dS E S ⋅=⋅∆⎰和2q x S ρ=∆∑， 有：0x E ρε=； 当2d x >时，由22S E dS E S ⋅=⋅∆⎰和2q d S ρ=∆∑， 有：02d E ρε=。

图像见右。

11-8．在点电荷q 的电场中，取一半径为R 的圆形平面(如图所示)，平面到q 的距离为d ，试计算通过该平面的E 的通量.解：通过圆平面的电通量与通过与A 为圆心、AB 为半径、圆的平面 为周界的球冠面的电通量相同。

θxOr2d ρε-xE2d ρε2d 2d-O【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r ，有22R d r +=，球冠面一条微元同心圆带面积为：2sin dS r rd πθθ=⋅ ∴球冠面的面积：200cos 2sin 2cos d rS r rd r θθπθθπθ==⋅=⎰22(1)dr r π=-】∵球面面积为：24S r π=球面，通过闭合球面的电通量为：0qεΦ=闭合球面，由：S S Φ=Φ球冠球面球面球冠，∴22001(1)(1)22d q q dr R d εεΦ=-⋅=-+球冠。

11-9．在半径为R 的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求圆柱体内、外的场强分布，并作E ~r 关系曲线。

解：由高斯定律1iSS E dS qε⋅=∑⎰⎰内，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为r ，长为l 的高斯面。

（1）当r R <时，202r l r l E ρππε⋅=，有02E rρε=； （2）当r R >时，202R l r l E ρππε⋅=，则：202R r E ρε=；即：020()2()2rr R E R r R r ρερε⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩；图见右。

11-10．半径为1R 和2R （21R R <）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量λ和λ-，试求：（1）1R r <；（2）21R r R <<；（3）2R r >处各点的场强。

解：利用高斯定律：1iSS E dS qε⋅=∑⎰⎰内。

（1）1r R <时，高斯面内不包括电荷，所以：10E =； （2）12R r R <<时，利用高斯定律及对称性，有：202lr l E λπε=，则：202E r λπε=；∙d θxOr sin r θE rR2R ρεo（3）2r R >时，利用高斯定律及对称性，有：320rlE π=，则：30E =；即：11202ˆ20E r R E r R r R r E r R E λπε⎧=<⎪⎪=<<⎨⎪⎪==>⎩。

11-11．一球体内均匀分布着电荷体密度为ρ的正电荷，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为r 的一个小球体，球心为O '，两球心间距离d O O ='，如图所示。

求：（1）在球形空腔内，球心O '处的电场强度0E ；（2）在球体内P 点处的电场强度E ，设O '、O 、P 三点在同一直径上，且d OP =。

解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为ρ的大球和带有电荷体密度为ρ-的小球的合成。

（1）以O 为圆心，过O '点作一个半径为d 的高斯面，根据高斯定理有：13043S E d S d ρπε⋅=⋅⎰⇒003d E ρε=，方向从O 指向O '； （2）过P 点以O 为圆心，作一个半径为d 的高斯面。

根据高斯定理有：13043S E d S d ρπε⋅=⋅⎰⇒103P d E ρε=，方向从O 指向P ， 过P 点以O '为圆心，作一个半径为d 2的高斯面。

根据高斯定理有：23043S E d S rρπε⋅=-⋅⎰⇒32203P r E d ρε=-， ∴12320()34P P r E E E d d ρε=+=-，方向从O 指向P 。

11-12．设真空中静电场E 的分布为E cxi =，式中c 为常量，求空间电荷的分布。

解：如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面， 有：0SE d S cx S⋅=⋅∆⎰⎰由高斯定理：1SS E d S qε⋅=∑⎰⎰内，yxz S∆ox设空间电荷的密度为()x ρ，有：()x x Sd x cx S ρε∆⋅∆=⎰∴0000()x x x d x cd xρε=⎰⎰，可见()x ρ为常数⇒0c ρε=。

11-13．如图所示，一锥顶角为θ的圆台，上下底面半径分别为1R 和2R ，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为σ，求顶点O 的电势．(以无穷远处为电势零点)解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为x 轴，在侧面上取环面元，如图示，易知，环面圆半径为：t a n2r x θ=，环面圆宽：cos2d x d l θ=22tan 2cos 2d xdS r d l x θππθ=⋅=⋅⋅，利用带电量为q 的圆环在垂直环轴线上0x 处电势的表达式：2214qU r x πε=⋅+环，有：22002tan 2cos 12tan 422(tan )2d xx dU d x x x θσπθσθπεεθ⋅⋅=⋅=⋅+，考虑到圆台上底的坐标为：11cot 2x R θ=，22cot2x R θ=， ∴U =210tan 22x x d x σθε⋅⎰21cot 2cot 02tan 22R R d x θθσθε=⋅⎰210()2R R σε-=。

11-14．电荷量Q 均匀分布在半径为R 的球体内，试求：离球心r 处（r R <）P 点的电势。

解：利用高斯定律：01SS E dS qε⋅=∑⎰⎰内可求电场的分布。

（1）r R <时，32304Q r r E R πε=⋅内；有：304Q rE R πε=内；（2）r R >时，204Q r E πε=外；有：204QE r πε=外； rx cos2dx dl θ=Pr RP∞o离球心r 处（r R <）的电势：R r r R U E dr E dr ∞=⋅+⋅⎰⎰外内，即：320044R r rR Q r Q U dr dr R r πεπε∞=⋅+⋅⎰⎰2300388Q Q r R R πεπε=-。