2.3 带隙基准源的温度补偿方法由上一章可知，带隙基准电压源的一阶补偿技术主要是通过一个与热电压成比例的正温度系数电压VT 来抵消二极管基极-发射极电压VBE 的负温度系数。

但是VT 是温度T 的线性函数，VBE 是包含温度T 的高次项的复杂函数。

文献[6]中对VBE 的温度特性进行了深入的分析，总结出VBE 的温度表达式为其中G V 是硅的带隙电压，η是硅迁移率的温度常数，r T 是参考温度。

由于集电极电流I C 是与温度成正比的，因此一阶补偿的带隙基准电压V REF 可表示为：调整参数K 可使V REF 的温度系数达到最小。

而式中G V 的温度特性由文献[7]中的最精确模型给出：其中a,b,c为根据经验在不同温度条件下给出的不同参数。

由式（2-12）式（2-13）可知，V BE 是包含温度T 的高次项的复杂函数。

因此，即使在一阶补偿下，基准电压仍会存在温度漂移现象，这是一阶补偿的固有现象，故在一定温度范围内采用一阶补偿不能达到所要求的温度系数范围，要获得高性能的带隙基准电压源，就必须使用各种曲率校正的方法来抑制V REF 的变化。

近年来，为了在一阶补偿的基础上增加基准源的温度稳定性，产生了一些曲率校正的方法，例如文献[8]中提出了二阶温度补偿的方法、文献[9]中提出了V BE 线性化方法、文献[10]利用不同材料电阻的相异温度特性进行曲率校正、文献[11]中提出的指数温度补偿的方法等。

下面将分别介绍这几种曲率校正的方法。

2.3.1 二阶曲率补偿基准没有经过二阶曲率补偿是由于忽略了V BE的高阶项，实际上V BE跟温度的关系式如式（2-14）所示：其中，V G0是半导体材料在绝对零度时的带隙基准电压;q 是一个电子电荷;n 是工艺常数;k 是波尔兹曼常数;T 是绝对温度; I C 是集电极电流;V BE0是温度在T0 时基极-发射极电压。

由此看见V BE 的高阶项并不为零，因此一阶补偿的基准并不能真正使得基准的输出电压与温度T 无关，而是一条近似的抛物线，温度对输出的影响一般在20 ~ 30×10−6 /℃右，幅度大约为3~5mV。

这在对基准温度特性要求不高的应用中能够满足要求，但对于高精度要求的场合，就需要对该曲线进行二阶曲率补偿，以求得到更好的温度特性。

将式（2-14）对温度T 求偏导可得:其中：η(T)是需要补偿的部分，且η(T)随着温度的升高会增大，即V BE会随着温度的升高而减小，因此可通过对η(T)进行补偿来减小V BE的变化率。

如图2.4 所示为具有二阶曲率补偿的基准电路，图中P4、N1、R3 组成了补偿电路。

分析电路可得：图中N1 管被偏置在亚阈区。

随着温度升高，流过R3 的电流I R3 会随着温度的升高的而增大。

N1 的栅极电压将不断增大，即N1 的V GS 将不断增大，则流过N1 的电流I N1 也将逐渐增大。

最终N1 仍工作在亚阈区，并对流过R1 的电流进行分流，N1的电流I N1 逐渐变大，改变了V BE2(T)的值，从而减小了ΔV BE 变化率，使得基准输出曲线在高温时趋向平直，起到了二阶曲率补偿的作用。

2.3.2 V BE 线性化补偿随着工艺尺寸的不断下降和低功耗系统的需求，电路的参考电压不断下降。

作为数字和模拟系统核心模块的基准电压也应能够工作在低电压情况下。

目前，电路已普遍采用1.8V 或以下电压，但MOS 管的阈值电压并没有随着工艺尺寸的下降而下降，这就需要采用新型的电路设计方法克服工艺尺寸下降带来的问题。

传统的带隙基准电压源的输出电压一般为1.2V，当电源电压低于1.2V 时，这种电路结构将无法正常工作，因此对传统带隙基准电压源进行改进是实现低压高性能基准源的有效手段。

在不考虑其他的误差因素（诸如运放失调、晶体管的有限电流增益、晶体管基区电阻、BE 结电压电流指数关系的不精确性等）的情况下，晶体管BE 结电压可表达如下式[12]:式中，G0 V 是硅在0K 时的带隙电压值;n 是晶体管基区中迁移率随温度变化的指数;a 是偏置电流随温度变化的指数，E g 是与温度无关的量，其具有负温度系数。

又有其中K 为常数。

令∂V / ∂T = 0 REF ，联立式（2-20）式（2-21），那么，一个理想的带隙基准源的输出电压可描述如下：其中:T0 是指在此温度下，输出基准电压的温度系数为0。

这个关系充分说明了即使是理想的带隙电压基准源，在温度偏离T0 时，输出的基准电压总是会有所变化, 从而具有一定的曲率。

由式（2-20）可知V BE并非随温度呈线性变化，而由式（2-21）可知基准电压的正温度系数项KV T是与温度成正比的，因此如果能用某些方法直接将V BE线性化，那么就可以得到低温度系数的基准电压。

核心电路如图2.5所示。

由式（2-22）可知不同的集电极电流与温度的依赖关系（a 的不同）可以导致不同的基准电压值V REF。

如图2.5 所示， 1 Q 由一个正比于温度（a =1）的电流偏置：Q2由一个近似与温度无关（a ≈0）的电流偏置:通过电阻R4，可以产生一个与温度成非线性关系的电流I NL，有图可得：因此，基准电压可由下式给出：联立式（2-23）式（2-26），显然只需将R2/R4 取为4-n-1，那么V BE2 中的非线性项即可被抵消，理论上就可以得到零温度系数的基准电压源。

当然，由于不可能得到完全精确的PTAT 和独立于温度的电流，再加上电流镜的失配，这一理论结果是难以达到的。

由图可知，DS1 DS2 DS3 DD BE V =V =V =V -V ，因此要改善电流镜的效果，可以调整R3/R2，将V REF调到大约等于一个V BE，这样就使得M4 的V DS 与前三者相等，降低了电流镜的失配，提高了电路性能。

另外，此电路由于可通过改变R3/R2来降低V REF 的值，因此该电路可以工作在IV 左右的工作电压下。

2.3.3 利用电阻比值随温度变化的曲率校正方法由前面的理论分析可知，V BE中有关温度的非线性项为TlnT ，因此式（2-20）的泰勒展开式为：利用两个温度系数相异的电阻的比值，同样可以得到与T 有关的高阶项，这样就可以用来消除V BE中温度的高阶项，达到基准电压温度曲率补偿的目的。

这种曲率补偿方法的核心电路见图2.6。

图2.6中，R1 、R4和R2由P型注入电阻制成，其具有正温度系数; R3由高阻多晶硅制成，其具有负温度系数。

显然，可以得到:上式中，由于R1与R2是由同一种材料制成，具有相同的温度系数，因此它们的比值与温度无关;R3与R1则是两种由不同材料制成的电阻，因此它们的比值会随温度的变化而变化。

在0～100℃范围内，可以认为K HpolyR 0 (T-T ) <<1，因此可将电阻比值3 1 R /R 用泰勒展开为下式[13]:将式（2-29）代入式（2-28）中，得：式中，K PdiffR是P注入电阻的温度系数，为正值; K HpolyR是多晶硅高阻的温度系数，为负值。

由式（2-20）可知，V BE中的非线性项为一负值，再结合式（2-30）可知调整R2 /R1以及R3 (T0 )/R1 (T 0)可做到完全消去一次项和二次项，但不能保证更高阶项的完全消除。

当然，虽然不能完全消去各高阶项，但是由于不同材料电阻的正负温度特性，也能够大大削弱这些项所引起的误差。

显然，不同材料电阻的温度系数正负差异越大，那么曲率补偿的效果就越好。

而为了使M1和M2形成的电流镜相互匹配，必须使得V DS1 =V DS 2 ，因此图中的R4的材料与R1和R2相同，且在温下，其值为R2 + R3。

另外，此电路需要对R2 /R1以及R3 /R 1 进行微调来达到理想的性能。

要消除基准源的线性误差，需同时调节R2 /R 1和R3 /R 1;要消除基准源的高阶误差，则只需调节R3 /R 1。

因此，第一步微调可以找出合适的R3 /R1 ，使得高阶误差最小化; 第二步可微调R2 /R1，使得线性误差最小化。

如此，即可得到一个低温度系数的基准源。

2.3.4 指数曲率补偿方法二次曲率补偿方法[8、14]是通过单一的添加与温度平方成正比的项来达到消除V BE二次项的目的，二次补偿后的V REF表达式如下：其中K1、K2 都是优化后的参数。

K1 是用于对V BE线性项进行补偿,K2是对曲率项补偿。

经过优化后,V REF中只剩下关于温度的高阶项，这样便提高了基准源的精度。

虽然在原理上，二次补偿方法是相当简单的，但是要在实际的设计中采用这种方法，确有颇多难点。

其中最主要的原因是产生一个正比于温度平方的电压需要一个很复杂的电路，从而会导致显著的片内面积和功率的损耗，因此，比较而言，电路简单，性能良好的指数曲率补偿方法便应运而生。

指数曲率补偿方法是在V REF叠加一个温度的指数函数来达到消除高次项的目的。

由于指数函数的泰勒展开仍是一个T的多项式，结合式（2-27），可以看出，只要合理地选择参数，不仅能消除二次项，并且能尽可能多地消除其他高次项。

指数型温度补偿技术的电路原理图如图2.7:其中，两个电流源1 I 、2 I 是PTAT电流源，因此基准源REF V 可表达如下:式中，β是晶体管的电流增益，最后一项/ ( ) 2 c RT βT 是Q的基区电流流经R 所产生的电压降，就是用他来补偿BE V 中温度的非线性项。

1 c 、2 c 设计为可调节的参数，1 c 用于调节线性项，2 c 用于调节非线性项。

通过调节1 c 、2 c ，REF V 的温度漂移可以最小化。

三极管的电流放大系数β是温度的函数，上式中β(T)可表达如下:式中β∞和G ΔE 都是与温度无关的常量。

G ΔE 为发射极禁带宽度的“减小”因子（bandgap narrowing factor），与发射极的掺杂浓度及器件尺寸成正比。

联立式（2-32）、式（2-33）式，指数型温度补偿的基准电压为:上式中1 K 、2 K 与式（2-31）中的1 K 、K 相同，都是优化后的参数。

1 K 是用于对BE V的线性项进行补偿， 2 K 是对曲率项补偿。

综上所述，几种曲率补偿方法的比较如下[15]：一阶补偿技术的主要思想是通过加入一个与热电压T V 成正比的电压源来抵消二极管的基极-发射极电压V BE的负温度系数。

然而，相对于热电压是温度的线性函数,V BE却是一个包含温度高次项的复杂函数，即使在最适宜的补偿条件下，基准电压源V REF也会包含一些温度漂移项。

由于这种特性是一阶温度补偿技术所固有的，在一定范围内不可能通过一阶补偿技术来提高温度的稳定性，为了在一阶补偿技术的基础上增加带隙基准的温度稳定性，产生了一些对V BE 曲率补偿的方法。

相对于一阶温度补偿技术，二阶温度曲率补偿带隙基准电路解决了一阶补偿所固有的温度曲率问题，令带隙基准的温度稳定性得到了很大提高。