目录摘要................................................................................................................................................... I I ABSTRACT ......................................................................................................................................... I II 第一章绪论.. (4)1.1 三角函数的起源与发展 (4)1.2 三角函数的最值问题 (4)第二章解决三角函数最值问题的方法技巧 (6)2.1 利用三角函数的定义、性质与函数图像解决最值问题 (6)2.2 利用转化（或化归）思想解决最值问题 (7)2.3 利用换元法解决最值问题 (10)2.4 利用数形结合解决最值问题 (14)2.5 利用不等式解决最值问题 (15)第三章三角函数最值的简单应用 (17)3.1 在数列中的简单应用 (17)3.2 在不等式中的简单应用 (18)3.3 在几何中的简单应用 (19)3.4 在复数中的简单应用 (20)第四章结论 (22)参考文献........................................................................................................... 错误!未定义书签。

致....................................................................................................................... 错误!未定义书签。

三角函数最值问题的若干讨论学生：指导教师：摘要三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，在近几年的高考试题中经常出现，成为高考中的一个命题热点，同时也是高中数学必修课中的几大容之一。

解决三角函数的最值问题不仅会用到三角函数的基本定义、单调性、奇偶性、周期性、有界性和三角函数图像，而且还会用到三角函数的多种恒等变化。

同时，在三角函数的最值问题中常常涉及到初等函数、不等式、方程、几何等方面问题；而且在解决一些不等式、数列等问题中也会用三角函数的最值来求解。

由此看来，三角函数的最值问题具有一定的综合性和灵活性。

本文将从具体的是实例出发，介绍并分析求解三角函数最值问题的几种基本方法和几种比较典型的解题方法，找出一般的解题方法和技巧；在介绍三角函数最值在数列、不等式等题型中的简单应用。

关键字：三角函数；最值；方法；技巧；应用TRIGONOMETRIC NUMBER OF DISCUSSIONS ON THE QUESTION OF THE MOST V ALUEStudent:teacher:ABSTRACT Trigonometry problem is the most value of trigonometric function that the basic knowledge of comprehensive application, In recent years the high exams often appears in, become a hot spot in the university entrance exam proposition, also the high school mathematics required courses in one of several major contents. To solve the most value of trigonometric function, not only can use ask basic trigonometric definition, monotony, parity, the periodicity, the boundedness and trigonometric functions image, and will use trigonometry multiple identical changes. Meanwhile, in the most value problem trigonometric function often involves elementary function,, inequality equation, a few problems; how And in solving some problems such as sequence, inequality will also be by trigonometric function of most value to solve. Consequently, the most value problem trigonometric function has certain comprehensive and flexibility.This paper will start from the concrete examples, is introduced and analyzed the most value problem solving trigonometric functions of several basic method and several comparatively typical problem solving method, and find out the general problem solving methods and skills; In the introduction of the most value in the sequence of trigonometric function and inequality in regearching into simple application.Key words:trigonometric function, optimum value, method, technique, adhibition第一章绪论1.1 三角函数的起源与发展三角学的概念起源甚早，在古文献「莱因德纸草书」出土后证据显示古埃及人己有实用三角学的粗略概念，来保持金字塔每边都有相同的斜度，只是当时并没有使用余切这个名词而已。

至公元前150年至100年间，希腊人热衷天文学，开始研究三角学，于是三角学渐渐有了雏形。

后来印度人吸收了希腊人在三角学方面的知识，再加以改进，也把它当成研究天文学的利器。

长久以来，三角学就这样依附着天文学发展，直到十三世纪，才从天文学中脱离成一门独立的学科。

十六世纪的欧洲，由于航海，历法计算的需要，更增加三角学的重要性。

如今它不但应用于天文、地理、航海、航空、建筑、工程、体育等的一门基础学问，甚至在我们日常生活中，也成为不可欠缺的知识。

三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。

它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变数之间的映射。

由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。

在数学中，三角函数(也叫做圆函数)是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。

三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。

更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

三角函数最一开始是用来表示角度和直角三角形三边边长关系的式子，直角三角形中的sin x和cos x可由毕氏定理给出它的定义：若一个直角三角形，它的一个锐角角度为x，因此得到正弦函数sin x和余弦函数cos x的定义。

1.2 三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，在近几年的高考试题中经常出现，成为高考中的一个命题热点。

其出现的形式，或者是在小题中单纯的考察三角函数的值域问题，或者隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一，或者在解决某问题时，应用三角函数的有界性会使问题更易于解决。

在三角函数最值问题中，不仅仅会考查到三角函数的定义、基本性质、函数图像，它可能会牵涉到数列、几何、方程等高中其他章节的知识。

因此，三角函数的最值问题也成为高中必修课中几大容之一。

由于，三角函数的最值问题变化性强、综合性高，学生在解有关三角函数最值问题的题目时，常常出现思路模糊，难以抓住问题的中心导致不能找到适合题目问题的解题方法。

本文将针对历年高考中出现的关于三角函数最值的各类问题进行探讨，寻找解决该类题型的基本思路、技巧和方法。

查阅三角函数最值问题的相关书籍与1995年到2010年的高考试题，不难发现：三角函数最值问题的出现形式变化多，有时以小题单独考查，有时结合三角函数的其他基本知识综合考查，甚至出现在数列、几何、不等式等大题之中。

虽然，三角函数最值问题的题型多而杂，但是我们可以根据解决不同最值问题的方法将其进行归纳汇总。

本文中归纳和总结了多种方法技巧，如用三角函数的基本性质解决最值问题、用转化思想与换元思想如何将复杂的三角函数化为较简单的函数来解决最值问题、以及如何利用数形结合或不等式解决三角函数最值问题的。

我们在解题的基础上加以分析与点评，使方法技巧更加易懂与迁移。

在归纳总结的基础上，本文将简要的介绍三角函数最值在数列、几何、不等式、复数等中的应用。

第二章 解决三角函数最值问题的方法技巧2.1 利用三角函数的定义、性质与函数图像解决最值问题对于一些比较简单的纯粹求三角函数最值的问题，我们可以直接利用三角函数的定义、基本性质和一般三角函数的图像求解最值。

(1)、应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律求解问题。

三角函数值在四个象限中的符号规律如下：当角α在第一象限时：sin α 正，cos α 正，tan α 正，cot α 正；当角α在第二象限时：sin α 正，cos α 负，tan α 负，cot α 负；当角α在第三象限时：sin α 负，cos α 负，tan α 正，cot α 正；当角α在第四象限时：sin α 负，cos α 正，tan α 负，cot α 负.例1 函数cos cot sin tan sin cos tan cot x x x x y x x x x=+++的值域是（ ）。