利用三角函数求解最值问题一、教学目标1、知识技能目标：以圆的内接矩形的最大面积的求法作为引例，使学生逐步探究在半圆，四分之一圆的内接矩形相关最值问题，学会用三角函数求得内接矩形面积的最大值，能够总结求解最值问题基本思路。

2、过程方法目标：在恰当引进自变量、建立函数关系式的过程中，不断加强图形，文字，符号这三种数学语言的联系，培养学生讲实际问题抽象为数学问题的化归能力。

同时增强学生数形结合、分类讨论的数学思想，逐步提高学生应用意识和创新意识。

个问题的解决，培养学生积极主动的探索精神；通过加强学生的环保意识，增强学生的社会责任感4、教材分析：（1）教材的知识结构：本节课是一节复习课，是以三角函数中的三角公式、三角函数的图象、三角函数的性质为必要基础。

属于人教版高中《数学》第四册（必修B）第一、三章内容。

（2）教材的地位和作用：三角函数作为一种基本的初等函数，教材中主要介绍了各种三角公式及三角函数的图象与性质，对三角函数的具体应用涉及较少。

而新课程标准提倡在学生生活经验的基础上，教师尽可能多地提供各种机会让他们体验数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的应用价值。

本课为此联系生活实际提出问题，设计层层探究，促使学生出于证明或求解需要而思考引进自变量的特点，通过对常量和变量的分析，让学生体会三角函数的优势所在。

（3）对知识的处理：本节课在设计上以“创设情景、揭示矛盾（提出数学问题）——自主探索、展开讨论（形成数学概念）——反思总结、归纳提升（获得数学结论）——巩固深化、学以致用（运用数学知识）”为教学模式。

本课从教材中的一道习题出发，以最常见、最熟悉的例子—锯木料为切入点，对教学内容层层分析挖掘，促使学生思考探究，给学生提供了观察、操作、表达等机会。

同时帮助学生对所学内容进行加工处理，使之条理化，系统化便于存储记忆，并通过解题运用不断加深对知识本质的认识。

培养了学生勇于探索、深入研究的优秀学习品质。

(4)教学过程与方法：在教学中要注意学生的数学学习思维形成和深化过程，培养学生探究学习、合作学习的习惯。

让学生充分体会由特殊到一般的认识规律，培养学生学会观察、分析、发现、判断、归纳证明等研究问题的方法。

5、学情与学法指导学情分析：一方面从知识水平上看，学生刚学完三角函数的相关内容，对这一知识体系的综合运用能力没有达到一定高度，但已经具备一定的观察能力，分析能力和解题能力；另一方面师生之间比较熟悉，课堂沟通不成问题，在进度上可适当加快，但结构设计要符合学生的认知结构，要注重对学生观察，归纳能力的培养，而且要通过问题的设计激发学生自主探索的欲望。

学法指导：通过对圆、半圆、四分之一圆的内接矩形面积最大值的探索，让学生学会多角度、多方法去观察问题、分析问题、研究问题，增强化归意识。

通过对问题的不断发掘，培养学生积极参与乐于研究的良好学风。

二、教学重点、难点重点：利用三角函数将实际问题化归难点：寻找恰当自变量，建立函数关系式关键：准确把握常量和变量之间的密切关系三、教学过程与教学设计四、学生的思维过程设计1.设置情境,引入探究问题师：大家都知道我们国家的森林资源非常短缺，面对这种，我们只能更充分地利用有效的资源，让它获得最大的使用效率。

今天我们也从节约木材的角度出发，来探讨以下问题，大家请看大屏幕。

（大屏幕出现一批圆木，然后出现一根圆木的截面）师：这是一根圆木的截面，根据生产需求，要把它锯成横截面为矩形的木材，那么怎样锯法使得矩形面积最大？(大屏幕展示下图)师：像这样在截面内画矩形，它的面积最大吗？ 生：不是师：若想使面积最大，矩形还需满足什么条件？ 生：这个矩形要内接于圆。

(大屏幕展示下图)师：圆的内接矩形不止一个，究竟哪一个面积最大？生：我们可以设这个内接矩形为ABCD ，它的对角线BD 就是圆的直径,我猜想矩形ABCD 是圆的内接正方形时，面积能达到最大。

(大屏幕展示下图)师：这是个很好的想法，能不能证明这个猜想呢？（同学们开始动笔证起来,一会儿就有学生举手） 生：此时四边形ABCD 是正方形。

（他的话音刚落，另一名同学又举手，她有另一种解法）生：我的自变量设的是矩形的边CD,已知ABCD 横截面圆的半径为R ，则BD=2R 设CD=x ， 则 于是所以当 即，S 矩形ABCD 最大值为2R2 此时四边形ABCD 是正方形师：这两种证法都很好，一种方法是设角，引进三角函数；一种方法是设边，转化为二次函数的最值问题，都能解出矩形面积的最大值，它们的结果还验证了刚才那位同学的猜想。

结合这两种解法，我们来比较哪一种更简洁。

生：设角的方法师：对，恰当地设角，引进三角函数可以简化问题的解决过程。

这正是三角函数的魅力所在。

这个问题还要我们的具体操作，你现在知道怎样来锯这根圆木了吗？生：过圆心做两条互相垂直的直径，连接直径与圆的四交点，就是我们要求得内接正方形，沿着正方形的边来锯木料。

（大屏幕显示下图）2. 自主探索、展开讨论师：很好。

今天，我们继续从节约木材的角度出发，再来探求几个问题 探究1：若把上述问题中的圆木改换成半圆木，怎样截法得到面积最大的矩形？ 生：矩形应当是半圆的内接矩形（大屏幕显示下图），我们来求内接矩形的最大值。

,20）（设πθθ<<=∠DBC θθsin 2,cos 2R CD R BC ==则θθθ2sin 2cos sin 422ABCD R R S ==∴矩形。

最大值为时，Ｓ４＝，即当矩形2212sin R ABCD πθθ=2R)x 0422<<-=，（x R BC 时R x 2=()422242222ABCD 4244R R x x x R x R x CD BC S +--=-=-=⋅=矩形222R x =师：怎么求内接矩形的最大值呢？我们观察矩形长和宽的变化是由哪些因素引起的？ 生：连接OC, 设∠COB=θ ，θ的变化引起这个内接矩形的面积发生改变师：在半圆里，我们抓住了半径这个不变的常量，再观察出内接矩形的面积是随着半径OC 与半圆的底边直径的夹角而变化的，这样问题就能迅速解决。

师：探究2：若把半圆木改成四分之一圆木，，截得矩形的最大面积是多少？ （学生开始动手画四分之一圆木的内接矩形，经过学生的亲自动脑思考和讨论后，教师提问画法）生：有两种截法，一种是让矩形一边在一条半径OP 上；另一种截法，让矩形一组对边与弦PQ 平行。

（大屏幕显示下图）师：对于第一种截法，内接矩形的长和宽随着哪些量在变化？能不能求出这个矩形面积的的最大值？生：连接OC ，矩形的长和宽都与∠COB 有关，设∠COB=θ,则（同学们议论纷纷，很多同学看不出常量和变量的关系）师：我们来看大屏幕这个内接矩形是怎么变化的？（观察几次后，教师让学生讨论） 学生讨论：1.矩形面积变化时哪些量始终不变？2.哪些点的位置变化引起矩形面积改变且与常量相关？3.选择哪个量为自变量？(经过小组的讨论以及不断的交流,大家达成共识,并推举一名同学进行阐述)ABOCDθθθ2sin cos sin 222R R S ==。

时，当2max 4R S ==πθO PQ OPQB CDθθθ2sin 21cos sin 22R R S ==生：如图设∠MOB=θ，则（大屏幕显示下图）生：因为()22122/R R ->，所以探究2的结论是让矩形一边在一条半径OP 上可以得到内接矩形面积的最大值。

（话音刚落，班级里响起了一阵热烈的掌声）师：同学们想得很周密，运算得也很准确，经过大家的一致努力，我们终于解决了这个难题，这说明只要我们积极主动地认真思考，每个人都可以成为学习的主宰者！3.反思总结、归纳提升师：下面我们总结这类问题的解法，以便于在后续学习中借鉴 （学生初步总结，教师适当补充） 小结：第一 选择适当的“变量”作为函数自变量，寻求函数关系。

第二 注意自变量的实际意义，确定定义域。

第三 熟练进行代数式恒等变换。

最终得出结论。

A 组练习：（1）求60°扇形（120°扇形）的最大内接矩形面积。

（2）在Rt ∆ABC 中，AB=2a ，AC=a ，∠A=90，当A 、B 两点分别在x 轴、y 轴的正半轴上移动，且点C 与原点O 在AB 的两侧时，求OC 长的最大值。

B 组练习：半圆O 的直径为2，A 为直径MN 延长线上一点，且OA=3，B 为半圆上任意一点，以AB 为边作正三角形ABC 。

问∠AOB 为多少时，四边形OACB 面积最大？并求出它的最大值。

4.巩固深化、学以致用作业：某体育馆用运动场的边角地建一个矩形的健身房，如图所示。

ABCD 是一块边长为50mOQ θsin 2R BC =()2max 128RS -==时，当πθ ABCDMOPQ OABC()()()()2222222242sin 22cos 2sin 12cos 2sin sin 2cos sin 2sin cos sin 2R R R R R R R S -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=-+=-=-=πθθθθθθθθθθθ()θθθθsin cos sin cos -=-=R R R AB的正方形地皮，扇形CEF 是运动场的一部分，其半径为40m ，矩形AGHM 就是拟建的健身房，其中G 、M 分别在AB 和CD 上，H 在弧EF 上，设矩形AGHM 的面积为S ，∠HCF = θ ，请将S 表示为θ 的函数，并指出当点H 在弧EF 的何处时，该健身房的面积最大？最大面积是多少？H A B C D F E G。