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数列求和的常用方法

数列求和的常用方法
主要方法:
1.求数列的和关键是看数列的通项公式形式注意方法的选取:
2.求和过程中注意分类讨论思想的运用;转化思想的运用; 一、公式法
二、分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。

1、求和:①321ΛΛ个
n n S 111111111++++=
②22222)1
()1()1(n n n x
x x x x x S ++++++
=Λ ③求数列1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,…前n 项和n S
2






n



231
,,71,41,
1112-+⋅⋅⋅+++-n a
a a n ,… 三、 合并求和法:
1、求22222212979899100-++-+-Λ的和。

2、1-2+3-4+5-6+7-8+9-……….+
n 1-1
n +)( 3(2014山东19文)
在等差数列{}n a 中,已知2d =,2a 是1a 与4a 等比中项.
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设()12
,n n n b a +=
记()1231n
n n T b b b b =-+-++-L ,求n T . 4.( 2014山东19理)
已知等差数列}{n a 的公差为2,前n 项和为n S ,且1S ,2S ,4S 成等比数列。

(I )求数列}{n a 的通项公式; (II )令n b =,4)
1(1
1
+--n n n a a n
求数列}{n b 的前n 项和n T 。

5、(2011山东理数20)等比数列{}n a 中,123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且123,,a a a
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)若数列{}n b 满足:()1ln n
n n n b a a =+-,求数列{}n b 的前n 项和n S .
6、(2011山东文数20)等比数列{}n a 中,123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且123,,a a
a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)若数列{}n b 满足:(1)ln n
n n n b a a =+-,
求数列{}n b 的前2n 项和2n S .
四、 错位相减法:.×.
1、已知数列)0()12(,,5,3,11
2
≠--a a n a a n Λ,求前
n 项和。

2、
132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S
3、求数列
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n
前n 项的和 4、{2}.n
n n ⋅求数列前项和
5、设{}n a 是等差数列,{}n b 是各项都为正数的等比数列,且111a b ==,3521a b +=,5313a b +=
(Ⅰ)求{}n a ,{}n b 的通项公式; (Ⅱ)求数列n n a b ⎧⎫

⎬⎩⎭
的前n 项和n S . 7、已知等差数列{}n a 的前3项和为6,前8项和为-4。

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设1*
(4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈,求数列
{}n b 的前n 项和n S
8、(){213}.n
n n -⋅求数列前项和
9、求数列1357
,,,,24816
⋅⋅⋅,212n n -的前n 项和.
10、已知等差数列{}n a 的前3项和为6,前8项和为-4。

(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)设1*
(4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈,求数列{}
n b 的前n 项和n S
11、等比数列{n a }的前n 项和为n S , 已知对任意的
n N +∈,点(,)n n S ,均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.
(1)求r 的值;
(2)当b=2时,记 1
()4n n
n b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T
12、(07山东理17)设数列
{}
n a 满足
211233333
n n n a a a a -++++=
…,a ∈*
N . (Ⅰ)求数列{}n a 的通项;
(Ⅱ)设n n
n
b a =
,求数列{}n b 的前n 项和n S . 13.(2009山东卷文)(本小题满分12分)
等比数列{n a }的前n 项和为n S , 已知对任意的
n N +∈ ,点(,)n n S ,均在函数(0x
y b r b =+>且
1,,b b r ≠均为常数)的图像上.
(1)求r 的值; (11)当b=2时,记 1
()4n n
n b n N a ++=
∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T
五、裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负
相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式:
11
1)1(1+-
=+n n n n ;
1111
()
(2)22
n n n n =-++
)1
21
121(21)12)(12(1+--=+-n n n n
1、求和)12)(12()2(5343122
22+-++⋅+⋅=
n n n S n Λ
2、求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n
项和
11-+n
3、在数列{a n }中,
1
1211++⋅⋅⋅++++=
n n n n a n ,又1
2+⋅=
n n n a a b ,求数列{b n }的前n 项的和.
1
8+n n
5、求数列
311⨯,421⨯,5
31
⨯,…,)2(1+n n ,…
的前n 项和S 6.求
7、数列{n a }的前n 项和为n S ,且满足,11=a
,)1(2n n a n S +=
(I )求n a 与1-n a 的关系式,并求{n a }的通项公式;
(II )求和.1
1
111121232
2-++-+-=+n n a a a W Λ 9、(2010山东文理数)已知等差数列{}n a 满足:
37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S .
(Ⅰ)求n a 及n S ; (Ⅱ)令b n =
2
1
1
n a -(n ∈N *),求数列{}n b 的前n 项和n T .
11.已知数列}{n a 的通项公式为n a =
1
2
n +,设13242111
n n n T a a a a a a +=
+++⋅⋅⋅L ,求n T . 六、倒序相加法求和 1、求
2222cos 1cos 2cos 3cos 89++++o o o o L L
2、求
οοοο89sin 3sin 2sin 1sin 2222+⋅⋅⋅+++
3、求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
七、带绝对值号的数列求和
1、在数列{}n a 中,已知4,2011+=-=+n n a a a , 求的值
2、若数列{}n a 的通项公式为123-=n a n ,求数列{}n a 的前n 项和n S
(四)巩固练习:
1.求下列数列的前n 项和n S : (1)5,55,555,5555,…,
5(101)9
n
-,…; (2)
1111
,,,,,132435(2)
n n ⨯⨯⨯+L L ; (3
)n a =; (4)
23,2,3,,,n a a a na L L ;
5、13,24,35,,(2),n n ⨯⨯⨯+L L ;
(6)2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++o o o o L L . 2.已知数列{}n a 的通项65()2
()
n n
n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数,
求其前n 项和n S .。

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