求数列前n 项和常用方法（经典讲解）一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+⋅，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，()111nn a q S q-=-，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+L ；（2）21nk k ==∑222211631123(1)(21)()(1)2n n n n n n n ++++=++==++L ； （3）31nk k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=L ；（4）1(21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L .例1 已知3log 1log 23-=x ，求23n x x x x ++++的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n S n =++++，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-n n 501≤∴ 当 88-n ，即8n =时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。

如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.例3 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加） )89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89 ∴ S ＝44.5例4 函数()1x f x x =+，求()()()()1111220121201220112f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.三.错位相减法：适用于差比数列（如果{}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b ⋅叫做差比数列）即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，即可转化为等比数列求和. 如：等比数列的前n 项和就是用此法推导的.例5 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S …………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{}21n -的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）即：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+变式 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.解：由题可知，22n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项是等差数列{}2n 的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………② （设制错位） ①－②得，1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴1242n n n S -+=-四.裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。

这是分解与组合思想（分是为了更好地合）在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 适用于1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭，其中{}n a 是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。

其基本方法是()()1n a f n f n =+-. 常见裂项公式： （1）111(1)1n n nn ++=-，1111()()n n k k nn k++=-；111111()n n n n a a d a a ++=-⋅（{}n a 的公差为d ）；（2）1111()n n n n a a d a a ++=-+.（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）；（3）1111(1)(1)2(1)(1)(2)[]n n n n n n n -++++=-；（4）1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+；)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n ； （5）nn n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则； （6）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+； （7）11(1)!!(1)!n n n n ++=-；（8）常见放缩公式：21211112()2()n n n n n nnn n +-+++--=<<=-.例6 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111 （裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和） ＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-＝11-+n例7 求和1111133557(21)(21)n S n n =++++⨯⨯⨯-+.例8 在数列{}n a 中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项的和.解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{}n b 的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)111(8+-n＝ 18+n n例9 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2∴ 原等式成立变式 求11113153563n S =+++.解：1111315356311111335577911111111111(1)()()()2323525727911111111(1)()()()2335577911(1)2949+++=+++⨯⨯⨯⨯=-+-+-+-⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦=-= 五.分段求和法：例10 在等差数列{}n a 中102523,22a a ==-，求：（1）数列{}n a 前多少项和最大；（2）数列{}n a 前n 项和.六.分组求和法: 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列， 可把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例11 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…。