不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221５）⎰⋅-⋅dxxxx32532６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x)32(⎰+８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23(２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs⎰２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx xx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx（Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。

2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。

3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。

4、设)(x f 的一个原函数为x xsin ，求⎰'dxx f x )(。

5、求下列不定积分１）dx x ⎰2cos 2 ２）dx x ⎰-2sin 1３）⎰+dxx x211arctan４）dxx xx⎰+-11５）⎰++))((2222b x a x dx ６）dxx a xx ⎰-27）⎰+dxxxx ln 1ln 8）⎰+dxx xe x232arctan )1(（Ｃ）求以下积分１）⎰-dxe xe x x 12)⎰+xx dxsin 2)2sin(３）dx e e x x⎰2arctan ４）dx x x ⎰+4351 ５）dx x x x ⎰+-185 ６）dx x x xx ⎰+cos sin cos sin第四章不定积分习题答案（Ａ）１、（１）cx+-1（２）cx+--2332（３）cxxx++-423123（４）cxx+-arctan（５）cxx+--3ln2ln)32(52（６）cxx++-)tan(cot（７）cxe x++ln32（８）cxx++427)7(4２、（１）cx+--4)23(81（２）cx+--32)32(21（３）ct+-cos2（４）cx+lnlnln（５）cx+tanln（６）ce x+arctan（7）cx+)sin(212（８）cx+--41ln43（9）cx+2cos21(10)cxx+-+2494132arcsin21(11)cxx++-1212ln221(12)cxx+-3sinsin3(13)cxx+-5cos101cos21(14)cxx+-secsec313(15)cxx++-)9ln(292122(16)c+32arctan321(17)cx+-10ln210arccos2(18)cx+2)(arctan3、(1)ctt+-cotcscln（2）cxxx+--)sincos(2（3）c x x +--)2arccos 24(tan22(4)cx a a xa x a +--)(arcsin 22222(5)cxx++21 (6)c x x ++-)21ln(2(7)c x x x +-++)1ln (arcsin 212 (8)c x x x +-+-211arcsin4、(1)c x x x ++-sin cos (2)c x x x +-+21arcsin (3)c x x x +-3391ln 31 (4)cxx e x ++--)2sin 42(cos 1722 (5)cx x x x +++-)1ln(6161arctan 31223(6)c x x x x x +-+sin 2cos 2sin 2（7）c x x x x x ++-2ln 2ln 2(8)c x x x x x x +-++sin cos sin 2161235、(1)c x x x x ++-+-3ln 279233123 (2)c x x +++-5ln 2ln (3)cx x ++-)1ln(21ln 2(4) cx x x x +-+-+-arctan 21)1ln(411ln 21ln 2(5)cx x x x ++++++-312arctan 3311ln 2122(B)设曲线)(x f y =，由导数的几何意义：x y 1='，c x dx x +=⎰ln 1，点)3,(2e 代入即可。

设函数为)(x F ，由211)()(x x f x F -=='，得C x dx x f x F +==⎰arcsin )()(，代入)23,1(π即可解出C 。

由假设得)()(),()(b ax f b ax F x f x F +=+'∴='，故c b ax F a dx b ax f b ax F b ax F a ++=+∴+'='+⎰)(1)(),(])(1[。

４、把)(x f '凑微分后用分部积分法。

５、（１）用倍角公式：2cos 12cos 2xx +=（２）注意0sin cos ≥-x x 或0sin cos <-x x 两种情况。

（３）利用)cot (11,cot 1arctan 2x arc d dx x x arc x -=+=。

（４）先分子有理化，在分开作三角代换。

（５）化为部分分式之和后积分。

（６）可令t a x 2sin 2=。

（７）可令,sin )(2t a b a x -=-则t a b x b 2cos )(-=-。

（８）令t x =+ln 1。

（９）分部积分后移项，整理。

（１０）凑xearctan 后分部积分，再移项，整理。

（１１）令t x =2tan。

（１２）变形为⎰-⋅--4)2(23x x x dx后，令t x x =--23，再由2211t x =--，两端微分得tdt dx x 2)2(12=-。

（Ｃ）1） 解：令1-=xe u ，则du u udx u x 2212),1ln(+=+=所以原式du u u u u du u ⎰⎰+-+=+=222214)1ln(2)1ln(2c u u u u ++-+=arctan 44)1ln(22c e e e x x x x +-+---=1arctan 414122）解：方法一：原式⎰⎰⎰==+=2cos 2tan )2(tan 412cos 2sin )2(41)cos 1(sin 223x x xd x x x d x x dx c x x x d x x++=+=⎰2tan ln 412tan 81)2(tan 2tan 2tan 14122方法二：令t x=2tan方法三：变形为⎰+-)cos 1)(cos 1(2sin 2x x xdx，然后令u x =cos再化成部分分式积分。

3）解：原式)(arctan 212⎰--=xx e d e])1()(arctan [21222⎰+--=-xx x xx e e e d e e （令u e x =）])1(arctan [21222⎰+--=-u u du e e x x]1arctan [21222⎰⎰++--=-u du u du e e x x []ce e e e x x x x +++-=--arctan arctan 2124）解：原式)](11)(11[31)(131********433x d x x d x x x d x x ⎰⎰⎰+-++=+=)]1()1()1()1([3134133433++-++=⎰⎰-x d x x d xc x x ++-+=433473)1(94)1(2145）解：原式⎰⎰-++=+-=----2)()(2122222443x x x x d dx x x x x ，令22-+=x x uc u u u du ++-=-=⎰22ln 2412212cx x x x ++++-=1212ln24124246）解：原式dxx x x x ⎰+-+=cos sin 11cos sin 221dx x x dx x x x x ⎰⎰+-++=cos sin 121cos sin )cos (sin 212⎰++--=)4sin()4(221)cos (sin 21ππx x d x x ⎰+-++-=)4(cos 1)4cos(221)cos (sin 212ππx x d x x)4cos(])4cos(11)4cos(11[241)cos (sin 21πππ+++++-+-=⎰x d x x x x cx x x x ++-+++-=)4cos(1)4cos(1ln 241)cos (sin 21ππ。