1.2直角三角形
一、选择题
1．下列命题中，是真命题的是（）
A．相等的角是对顶角B．两直线平行，同位角互补
C．等腰三角形的两个底角相等D．直角三角形中两锐角互补
2．若三角形三边长之比为1∶3∶2，则这个三角形中的最大角的度数是（）
A．60°B．90°C.120°D．150°
3．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶1∶2，则其各角所对边长之比等于（）
A．3∶1∶2 B．1∶2∶3C．1∶3∶2 D．2∶1∶3 4．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第
三条边所对的角的关系是（）
A．相等B．互补C．相等或互补D．相等或互余5．具备下列条件的两个三角形可以判定它们全等的是（）
A．一边和这边上的高对应相等B．两边和第三边上的高对应相等
C．两边和其中一边的对角对应相等D．两个直角三角形中的斜边对应相等
二、填空题
6．在等腰三角形中，腰长是a，一腰上的高与另一腰的夹角是30°，则此等腰三角形的底边上的高是．
7．已知△ABC中，边长a，b，c满足a2＝1
3
b2＝
1
4
c2，那么∠B＝.
8．如图1－46所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为海里（结果保留根号）．
三、解答题
9．已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10
3
c m，底边BC＝
16
3
c m，求底边上
的高A D
的长．
10．如图1－47所示，把矩形ABC D沿对角线B D折叠，点C落在点F处，若AB＝
12 c m，BC＝16 c m．
（1）求A E的长；
（2）求重合部分的面积．
11．如图1－48所示，把矩形纸片ABC D沿EF折叠，使点B落在边A D上的点B′处，点A落在点A′处．
（1）求证B′E＝B F；
（2）设A E＝a，AB＝b，B F＝c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给出证明．
12．三个牧童A，B，C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时，他们所需走的最大距离（看守点到本区域内最远处的距离）相等．按照这一原则，他们先设计了一种如图1－49（1）所示的划分方案，把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧场．过了一段时间，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案．牧童B的划分方案如图1－49（2）所示，三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童C的划分方案如图1－49（3）所示，把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个要所需走的最大距离相等．
（1）牧童B的划分方案中，牧童（填“A”“B”或“C”）在有情况时所需走的最大距离较远．
（2）牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原则?为什么?（提示：在计算
时可取正方形边长为2）
参考答案
1．C [提示：可以举出例子说明A，B，D为假命题．]
2．B [提示：设三边长分别为a，a，2a，则a2+（3a）2＝（2a）2，为直角三角形．
3．D [提示：∠A＝90°，∠B＝30°，∠C＝60°．]
4．C [提示：如图1－50（1）所示，已知AB＝A′B′，BC＝B′C′，A D ⊥BC于点D，A′D′上B′C′于D′点，且A D＝A′D′，根据HL可判定Rt△AB D≌Rt△A′B′D′，从而证得∠B＝∠B′．如图1－50（2）所示，可知此时两角互补．]
5．B [提示：利用HL可证明．]
6．1
2
a
3
2
a[提示：由题意可以画出如图1—51所示的两种情况．]
7．60°[提示：b 2=3a 2，c 2=4a 2 c 2=a 2+b 2，b =3a ，c =2a ． 8．40+403 [提示：在Rt △AC P 中，A P C =45°，A P=402 ,∴AC =P C =40．在Rt △P CB 中，∠P BC =30°，BC =403 , ∴AB =AC +BC =40+403. ]
9．解：∵A D 为底边上的高∴B D=C D=12BC =12×163=83
(c m)．在Rt △AB D 中由勾股定理，得A D=2222108()()33AB BD -=+=369
=2c m 10．解：(1) ∵∠CB D= ∠ F B D(轴对称图形的性质)，又∠CB D=∠A D B (两直线平行，内错角相等)，∴∠F B D=∠A D B (等量代换)．∴E B =ED(等角对等边)．设A E=xc m ，则DE=(16一x )c m ，即E B =(16一x )c m ，在Rt △AB E 中，AB 2=B E 2一A E 2即l22=(16一x )2一x 2，解得x =3．5．即A E 的长为3．5 c m ． (2)BA ⊥A D ，
∴S △B DE =12DE •BA =12
×(1 6—3.5)×12=75(c m 2)． 11．(1)证明：由题意得B ′F=B F ，∠B ′FE=∠B FE ．在矩形
ABC D 中，A D ∥BC ，
∴∠B ′EF=∠B FE ，∴∠B ′FE=∠B ′EF ，∴B ′F=B ′E ．∴
B ′E=B F ． (2)解：a ，b ,f 三者关系有两种情况．①a ，b ,c
三者存在的关系是a 2十b 2=c 2.证明如下：连接B E ，则B E= B ′E ．由(1)知B ′E=B F=c ∴B E=c ．在△AB E 中，∠A =90°∴A E 2+AB 2=B E 2∵A E=a AB =b ，∴a 2+b 2=c 2．②a ．b ，c 三者存在的关系是a +b >c 证明如下：连接B E ，则B E=B ′E ．由(1)知B ′E=B F=c ，B E=f ．在△AB E 中，A E+AB >B E ∴a +b >c .
12．解：(1)C [提示：认真观察，用圆规或直尺进行比较，此方法
适用于标准作图．] (2)牧童C 的划分方案不符合他们商量的．
划分原则．理山如下：如图1－52所示，在正方形DEFG 中，四边
形HENM ，MNFP ，DHPG 都是矩形，且HN=NP=HG ，则EN=NF ， S 矩形HENM =S 矩形MNFP ，取正方形边长为2．设HD=x ，
则HE=2一x,在Rt△HEN和Rt△DHG中，由HN=HG，得
EH2+EN2=DH2+DG2，即(2一x)2+l2=x2+22，解得x =1
4
,∴HE=2－x =
7
4
,
∴S
矩形HENM =S
矩形MNFP
=1×
7
4
=
7
4
,∴S矩形DHPG≠S矩形HEMN
∴牧童C的划分方案不符合他们商量的原则．。