测量平差复习题及答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】测量平差复习题及答案一、综合题1．已知两段距离的长度及中误差分别为cmm5.4465.300±及cmm5.4894.660±，试说明这两段距离的真误差是否相等他们的精度是否相等答：它们的真误差不一定相等；相对精度不相等，后者高于前者。

2．已知观测值向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2121LLL的权阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=32313132LLP，现有函数21LLX+=，13LY=,求观测值的权1LP，2LP，观测值的协因数阵XYQ。

答：12/3LP=；22/3LP=；3XYQ=3．在下图所示三角网中，A．B为已知点，41~PP为待定点，已知32PP边的边长和方位角分别为0S和0α，今测得角度1421,,,LLL 和边长21,SS，若按条件平差法对该网进行平差：（1）共有多少个条件方程各类条件方程各有多少个（2）试列出除图形条件和方位角条件外的其它条件方程（非线性条件方程不要求线性化）答：（1）14216,6,10n tr =+=== ，所以图形条件：4个；极条件：2个；边长条件：2个；基线条件：1个；方位角条件：1个 （2）四边形14ABPP 的极条件（以1P 为极）：34131241314ˆˆˆˆsin()sin sin 1ˆˆˆˆsin sin sin()L L L L L L L L +⋅⋅=+ 四边形1234PP P P 的极条件（以4P 为极）：10116891167ˆˆˆˆsin()sin sin 1ˆˆˆˆsin sin sin()L L L L L L L L +⋅⋅=+ 边长条件（1ˆAB S S - ）：123434ˆˆˆˆˆˆsin()sin()AB S S L L L L L =+++ 边长条件（12ˆˆS S - ）：1121314867ˆˆˆsin ˆˆˆˆˆsin()sin sin()S L S L L L L L ⋅=++ 基线条件（0AB S S - ）：02101191011ˆˆˆˆˆsin()sin()S S L L L L L =+++4．A ．B ．C 三点在同一直线上，测出了AB ．BC 及AC 的距离，得到4个独立观测值，m L 010.2001=，m L 050.3002=，m L 070.3003=，m L 090.5004=，若令100米量距的权为单位权，试按条件平差法确定A ．C 之间各段距离的平差值Lˆ。

答：ˆ[200.0147,300.0635,300.0635,500.0782]T L=5．在某航测像片上，有一块矩形稻田。

为了确定该稻田的面积，现用卡规量测了该矩形的长为cm L 501=,方差为22136.0cm =σ，宽为cm L 302=,方差为22236.0cm =σ，又用求积仪量测了该矩形的面积231535cm L =，方差为42336cm =σ，若设该矩形的长为参数1ˆX ，宽为参数2ˆX ，按间接平差法平差：（1）试求出该长方形的面积平差值；（2）面积平差值的中误差。

答：（1）令0111ˆX X x =+，0222ˆX X x =+，011X L =，022X L =，误差方程式为：1122312ˆˆ305035v xv xv v v ===+-令：10013050B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，0035L ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，单位权方差为2036σ=，则法方程为：T T B PBX B PL =，可得：120.30.5x X x ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则0111ˆ50.3X X x =+=，0222ˆ30.5X X x =+= 所以面积平差值为2312ˆˆˆ50.3*30.51534L X X cm ===（2）2200.35T V PVcm rσ== ()12112212ˆˆˆˆˆˆˆˆˆdXdS X dX X dX X X dX ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以ˆˆ98.94SS Q =则2ˆ 3.4814S cm σσ==±6．如图水准网中，A 为已知点，高程为10.000A H m =，观测高差及路线长度为：m h 563.21=，km S 11=；m h 326.12-=，km S 12=；m h 885.33-=，km S 23=；m h 883.34-=，km S 24=；若设参数12334ˆˆˆˆˆˆˆTTBX X X X H h h ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦，定权时C= 2 km ，试列出：（1）、误差方程和限制条件；（2）、法方程式。

答：（1）误差方程为：112231243ˆˆˆˆ4ˆv x v x v x x v x=⎧⎪=⎪⎨=++⎪⎪=⎩ 限制条件为：13ˆˆ20xx --= （2）法方程为：1234ˆ31004ˆ130140ˆ00110ˆ01102x x xx-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 7．设对某量进行了两组观测，得到观测值的真误差如下： 第一组：3，-3，2，4，-2，-1，0，-4，3，-2 第二组：0，-1，-7，2，1，-1，8，0，-3，1 试回答如下问题：（1）两组值的平均误差1ˆθ、2ˆθ和中误差1ˆσ、2ˆσ（2）这两组观测值的精度，哪一组精度高，为什么答：（1）1ˆθ=，2ˆθ=；1ˆσ=，2ˆσ=（2）两组观测值的平均误差相同，而中误差不同，由于中误差对大的误差反应敏感，故通常采用中误差作为衡量精度的指标，本题中1ˆσ<2ˆσ，故第一组观测值精度高。

8．设对丈量10km 的距离同精度丈量10次，令其平均值的权为5，现以同样等级的精度丈量的距离。

问丈量此距离一次的权是多少。

（问答题，10分）答：一次观测值的权倒数1025N C P === ，所以每次丈量10km 距离的权为：100.5P =长度为i S 距离的权为：1i i C P S = ，则112.510,2.510C C P P == ，所以15C = 故12.522.5C P == 9．下列各式中的()1,2,3i L i =均为等精度独立观测值，其中误差为σ，试求下列函数的中误差：(1)()12312X L L L =++；(2)321L L L Y =答：（1）3x σ= （2）3x σ=10．在图一所示测角网中，A 、B 、C 为待定点，同精度观测了1L 、2L 、3L 和4L 共四个角度观测值。

设平差后BAC ∠为参数Xˆ。

（1）试指出采用何种平差模型； （2）写出函数模型和法方程。

答：采用附有参数的条件平差模型；平差方程为：123ˆˆˆ1800L L L ++-= 34ˆˆ3600L L +-= 1ˆˆ0L X -= 则条件方程为：12313421300ˆ0v v v w v v w v x w +++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ ，其中闭合差方程为1123234031w L L L w L L w L X ⎧=++⎪=+⎨⎪=-⎩，建立法方程为： 1122333110120001011ˆ0100k w k w k w x⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪+= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11.有水准网如下图，网中A ．B 为已知水准点，高程m H A 013.12+=．m H B 013.10+=可视为无误差，C ．D 为待定点，共观测了四个高差，高差观测值及相应水准路线的距离为：km S 21=，m h 004.11-=，km S 12=，m h 516.12+=，km S 23=，m h 512.23+=，km S 5.14=，m h 520.14+=。

试用条件平差法求C和D 两点高程的平差值。

答：4,2n t == ，所以2r = ，条件方程如下：12324ˆˆˆ0ˆˆ0A Bh h h H H h h ⎧+-+-=⎪⎨-=⎪⎩ 以ˆi i ih h v =+ 代入上式，可得上述方程的最终形式为： 123411100001014v v v v ⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭，以1km 观测高差为单位权观测，则法方程为：1212502.540k k k k +=⎧⎨+-=⎩ ，解得120.35, 1.74k k =-= 进而求得()0.74 1.40.7 2.6TV mm =--观测值的平差值为：1234ˆˆˆˆ1.0047, 1.5174, 2.5127, 1.5174L m L m L m L m =-=== 则C 、D 两点的平差高程为：11.0083,12.5257C D H m H m ==12.设在三角形ABC 中，观测三内角321,,L L L ，将闭合差平均分配后得到的各角之值为014489ˆ,025050ˆ,030140ˆ321'''='''='''= L L L ，如下图。

它们的协方差阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=633363336LLD ，已知边长m S 000.15000=（无误差），试求b a S S ,的长度和它们的协方差SS D 。

答：013023ˆˆˆˆsin /sin 967.679,sin /sin 1150.573a b S S L L m S S L L m ==== 对函数式取自然对数，并微分得：331213231323ˆˆˆˆcos cos cos cos ˆˆˆˆ,ˆˆˆˆsin sin sin sin a b a b dS L dS L L L dL dL dL dL S S L L L L ==== 即1132233ˆˆˆ0ˆˆˆ0ˆa a a b b b dLdS S ctgL S ctgL dS dL dS S ctgL S ctgL dL ⎛⎫ ⎪⎛⎫-⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭则23263311460114604 1.860.7713630962096250.77 1.32(20610)33645SS D cm --⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=--⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎪--⨯⎝⎭⎝⎭⎪⎪----⎝⎭⎝⎭。