均值不等式知识点:
二、习题讲解：
例1： (1)求y = x+Z(x>O)的最小值
(2)求y = x + 2(x ≥ 2)的最小值
X
(3)己知x>2,求y = x+ —的最小值x-2
变式训练：
4
1.已知x>o,求y = 2- X -一的最大值
X
2.当x>-l时，求f(x)= x+ —的最小值
x + 1
3•已知xv-∙求函数y=4x-2+—-一的最上值
4 4x-5
4•己知JU b. c ∈ R »求证：a2 +b2 + c2≥ ab+bc+ ac
y= 2-3x--(x>0)的最大值是2-4石
5・X
6.y = ZxH—-—,x>3
x-3
7.y = 2sinx÷-—,xu(O,τr)
Sin X
例2： (1)已知OVXV丄，求y =ZX(I-2x)的最衣值
2 2
(2)已知：a、b都是正数，Ka + b = l, α=a÷i, β = b+-f求a+β的最小值a b
变式训练：
1.己知OVXV 求函数y =x(l - 3x)的最大值
2.当0 Cx <4时，求y =χ(8 - 2x)的最人值。

3.设0 <xv扌，求函数y = 4x(3-2x)的最人值。

4已知Ovxvl,求函数y =Jx(I-X)的最大值.：
o<x<-,求怖数y = Jx(2-3x)
5. 3
6若x+2y = l,则2x + 4y的最小值是_______
7.已知x,yeRJ且满足- + ∑ = 1,则Xy的绘大值为__________
2.设x ∈f θ,-1,则函数y = 2血x + 1的最小值为
2 丿 sin2x
5 Z X Y - — 4x+ S
3.己知Xnz 则f(x)=-~~ 的最小值
2 2x-4 y=手宀的最小值是
4. √X 2 + 2
IK X 2 + 7x+10 “ 一… 求y= (x>-l)的值域。

χ- + 5
6求函数y =-==的值域。

7•设x ，y,z 为正实数.且满足x-2y+3z = 0 •则的最小值
例 4：己知a,b,cwR+,且a + b+c = l∙求证：丄 + —+ - ≥9
变式训练：
1 4
1.己知a >0,b >0,a +b= 2 >则y = — +二的最小值是 2正数x 5y 满足X +2y = l,求l∕x+l∕ y 的最小值。

例3：求函数y = X - +3x+3 x+1
(x>-l)的1⅛小值 变式训
练:
3.设a >0,b>0.若是3'与扌的等比中项，则的瑕小值为( ).
a b
1
A . 8
B . 4 C. 1 D∙ —
4
1 9
4 B⅛x>O,y>0 ,且一 + —= 1,求x+ y 的最小值。

X Y
5a⅛a,b,χ,y∈R+且仝+2 = 1,求χ+y的最小值
X y
例6：若a >0,b>0,则A=J^+b^,B = ^≥,C = √^b, D = -^-的大小顺序为:
V 2 2 1 丄1
—十—
a b
1.若函数χ,y满足X? + y2 + Xy = It则x+ y的Ai大值是:
2.函数y= y∣3χ + Vl - 3x的最人值是
3.若正数a,b满足ab-(a +b)= 1,则ab的最小值为
综合练习：
i ■+ 4十b+ C- a c+a-b a + b — c_
己知a,b,cwR ,求证： ---------- + --------- + -------- ≥3
a b C
已a,b,c G R+,求证：—+ — + ≥ a + b + c
a b C
g2 I)2 ς2
己知a,b,cwR∖求证：一+— + —≥a +b+ c
b Ca
判断卜•列命题：
(1)•・• a,b ∈ R+,.∙.- + - ≥ 2 J- • - = 2
a b Yab
(2)vx,y∈ R+,.*.lgx+lgy≥2λ∕lgx∙lgy
(3)va∈R,a≠0,.∙.- + a≥2
a。