当前位置:文档之家› 2015湖北理科数学试题及标准答案(word解析版)

2015湖北理科数学试题及标准答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. (1)【2015年湖北,理1,5分】i 为虚数单位,607i 的共轭复数....为( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 【答案】A【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-,共轭复数为i ,故选A .【点评】本题考查复数的基本运算,复式单位的幂运算以及共轭复数的知识,基本知识的考查. (2)【2015年湖北,理2,5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( ) (A )134石 (B )169石 (C )338石 (D )1365石 【答案】B【解析】依题意,这批米内夹谷约为281534169254⨯=石,故选B .【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力,比较基础. (3)【2015年湖北,理3,5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) (A )122(B )112 (C )102 (D )92【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以37n n C C =,解得10n =,所以二项式(1)n x +中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=,故选D .【点评】本题考查二项式定理的应用,组合数的形状的应用,考查基本知识的灵活运用 以及计算能力.(4)【2015年湖北,理4,5分】设211(,)X N μσ,222(,)Y N μσ,这两个正态分布密 度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )(A )21()()P Y P Y μμ≥≥≥ (B )21()()P X P X σσ≤≤≤(C )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤ (D )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称,所以12μμ<,从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤,故选C .【点评】本题考查了正态分布的图象与性质,学习正态分布,一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量,结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质.(5)【2015年湖北,理5,5分】设12,,,n a a a ∈R ,3n ≥.若p :12,,,n a a a 成等比数列;q :22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++,则( ) (A )p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件 (B )p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件 (C )p 是q 的充分必要条件 (D )p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a 成等比数列,则公比()13n n aq n a -=≥且0n a ≠;对命题q ,①当时,成立;②当时,根据柯西不等式,等式成立,则,所以成等比数列,所以p 是q 的充分条件,但不是q 的必要 条件.故选A .0=n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++0≠n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==12,,,n a a a(6)【2015年湖北,理6,5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,则( )(A )sgn[()]sgn g x x = (B )sgn[()]sgn g x x =- (C )sgn[()]sgn[()]g x f x = (D )sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B 【解析】因为()f x 是R 上的增函数,令()f x x =,所以()()1g x a x =-,因为1a >,所以()g x 是R 上的减函数,由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知,1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩,故选B .(7)【2015年湖北,理7,5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12x y +≥”的概率,2p 为事件“1||2x y -≤”的概率,3p 为事件“12xy ≤”的概率,则( ) (A )123p p p << (B )231p p p << (C )312p p p << (D )321p p p << 【答案】B【解析】因为[],0,1x y ∈,对事件“12x y -≥”如图(1)阴影部分1S , 对事件“12x y -≤”,如图(2)阴影部分2S ,对事件“12xy ≤”,如图(3)阴影部分3S ,由图知,阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<,正方形的面积为111⨯=,根据几何概型公式可得231p p p <<,故选B .【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,利用数形结合是解决本题的关键.本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小.(8)【2015年湖北,理8,5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则( )(A )对任意的,a b ,12e e > (B )当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e <(C )对任意的,a b ,12e e < (D )当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e > 【答案】D【解析】依题意,1e =2e ==因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++,由于0m >,0a >,0b >, 当a b >时,01b a <<,01b m a m +<<+,b b m a a m +<+,22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e <;当a b <时,1b a >,1b m a m +>+,而b b m a a m +>+,所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e >.所以当a b >时,12e e <,当a b <时,12e e >,故选D .【点评】本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础. (9)【2015年湖北,理9,5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则AB ⊕中元素的个数为( )(A )77 (B )49 (C )45 (D )30【答案】C【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ,所以集合A 中有9个元素(即9个点), 即图中圆中的整点,集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素(即 25个点):即图中正方形ABCD 中的整点,集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点(除去四个顶点),即77445⨯-=个,故选C .【点评】本题以新定义为载体,主要考查了几何的基本定义及运算,解题中需要取得重复的元素.(10)【2015年湖北,理10,5分】设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数.若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n =同时成立....,则正整数n 的最大值是( ) (A )3 (B )4 (C )5 (D )6【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<,由2[]2t =得223t ≤<,由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<,可得22t ≤<所以22t ≤<由3[]3t =得334t ≤<,所以56t ≤<55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<,与56t ≤<n 的最大值是4,故选B .【点评】本题考查简单的演绎推理,涉及新定义,属基础题.二、填空题:共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号.......的位置上....答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11-14题)(11)【2015年湖北,理11,5分】已知向量OA AB ⊥,||3OA =,则OA OB ⋅= . 【答案】9【解析】因为OA AB ⊥,3OA =,()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===.【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,考查了向量模的求法,是基础的计算题.(12)【2015年湖北,理12,5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 . 【答案】2【解析】因为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭,所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图,由图知,两函数图像右2个交点,所以函数()f x 由2个零点.【点评】本题考查三角函数的化简,函数的零点个数的判断,考查数形结合与转化思想的应用.(13)【2015年湖北,理13,5分】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶 在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD = m .【答案】【解析】依题意,30BAC ∠=︒,105ABC ∠=︒,在ABC ∆中,由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒,所以45ACB ∠=︒,因为600AB =,由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒,即300BC =m ,在Rt BCD ∆中,因为30CBD ∠=︒,BC =,所以tan30CD BC ︒==,所以CD =m . 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.关键是构造三角形,将各个已知条件向这个主三角形集中,再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系,列方程或列式求解.(14)【2015年湖北,理14,5分】如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方),且2AB =.(1)圆C 的标准..方程为 ;(2)过点A 任作一条直线 与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点,下列三个结论: ①NA MA NBMB=; ②2NB MA NAMB-=;③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . (写出所有正确结论的序号) 【答案】(1)()(2212x y -+=;(2)①②③ 【解析】(1)依题意,设()1,C r (r 为圆的半径),因为2AB =,所以r =,所以圆心(C ,故圆的标准方程为()(2212x y -+=.(2)解法一:联立方程组()(2212x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,解得01x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或01x y =⎧⎪⎨=⎪⎩,因为B 在A 的上方,所以()1A,()1B ,领直线MN 的方程为0x =,此时()0,1M -,()0,1N ,所以MA =2MB =2NA =-NB =1NA NB==,1MA MB==,所以NA MA NB MB =所以)112NB MA NAMB-==-=,)11NB MA NAMB+==+=解法二:因为圆心(C,(E ∴,又2AB =,且E 为AB 中点,∴()1A,()1B ,M ,N 在圆22:1O x y +=,∴可设()cos ,sin M αα,()cos ,sin N ββ,NA ∴===NB ∴===1NA NB∴===,同理1MA MB=-.所以NAMA NBMB=,所以)112NB MA NA MB -=+-=,)11NB MA NAMB+==+=正确结论的序号是①②③.【点评】本题考查求圆的标准方程,用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.(一)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第15题作答结果计分.) (15)【2015年湖北,理15,5分】(选修4-1:几何证明选讲)如图,P A 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且3BC PB =,则ABAC=_______.【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,由切割定理知,()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+,因为3BC PB =,所以224PA PB =,即2PA PB =,由A PAB PC ∆∆∽,所以12AB PB AC PA ==. 【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用,考查逻辑推理能力. (16)【2015年湖北,理16,5分】(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=,曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ,l 与C 相交于A ,B 两点,则||AB = .【答案】【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=,所以sin 3cos 0ρθρθ-=,所以30y x -=,即3y x =;由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,消去t得224y x -=,联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩,解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即A ⎝⎭,B ⎛ ⎝⎭,由两点间的距离公式得AB =. 【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程,参数方程化普通方程,考查了直线和圆锥曲线的位置关系,是基础的计算题.三、解答题:共6题,共75分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.(17)【2015年湖北,理17,11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期(1...........(2)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度,得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12,求θ的最小值.解:(1)根据表中已知数据,解得π5,2,A ωϕ===-.数据补全如下表:且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.(2)由(1)知 π()5sin(2)6f x x =-,得π()5s i n (22)6g x x θ=+-. 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z . 令π22π6x k θ+-=,解得ππ212k x θ=+-,k ∈Z .由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称, 令ππ5π21212k θ+-=,解得ππ23k θ=-,k ∈Z . 由0θ>可知,当1k =时,θ取得最小值π6. 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式,函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律的应用,属于基本知识的考查.(18)【2015年湖北,理18,12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公、比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)当1d >时,记n n nac b =,求数列{}n c 的前n 项和n T .解:(1)由题意知:1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩,即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩,得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩,故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩. (2)由1d >,知21n a n =-,12n n b -=,故1212n n n c --=,于是2341357921122222n n n T --=+++++ ① 2345113579212222222n n n T -=+++++ ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n nn n T --+=++++++-=-,故12362n n n T -+=-. 【点评】本题考查求数列的通项及求和,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题. (19)【2015年湖北,理19,12分】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图,在阳马P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,过棱PC 的中点E ,作 EF PB ⊥交PB 于点F ,连接,,,.DE DF BD BE .(1)证明:PB DEF ⊥平面.试判断四面体DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,求DCBC的值.解:解法一:(1)因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD BC ⊥,由底面ABCD 为长方形,有BC CD ⊥,而PD CD D =,所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ⊂平面,所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =,点E 是PC 的中点,所以DE PC ⊥. 而PC BC C =,所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ⊂平面,所以PB DE ⊥. 又PB EF ⊥,DE EF E =,所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形, 即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)如图1,在面PBC 内,延长BC 与FE 交于点G ,则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线.由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以PB DG ⊥. 又因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD DG ⊥. 而PD PB P =,所以DG PBD ⊥平面.故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角,设1PD DC ==,BC λ=,有BD =Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB∠=∠=,则πtan tan 3BDDPF PD=∠==, 解得λ所以1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,DC BC =解法二:(1)如图2,以D 为原点,射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 设1PD DC ==,BC λ=,则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ,(,1,1)PB λ=-,点E 是PC 的中点,所以11(0,,)22E ,11(0,,)22DE =,于是0PB DE ⋅=,即PB DE ⊥. 又已知EF PB ⊥,而DE EF E =,所以PB DEF ⊥平面. 因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.由DE ⊥平面 PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑, 四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)由PD ABCD ⊥平面,所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量;由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量. 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,则π1cos 32||||BP DP BP DP λ⋅===⋅, 解得λ. 所以1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,DC BC =【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题,直线与直线,直线与平面的垂直的转化,空间角的求解,属于难题.(20)【2015年湖北,理20,12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利 1200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过 12小时.Z (单位:元)是一个随机变量.(1)求Z 的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.解:(1)设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ,相应的获利为z ,则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ (1) 目标函数为 10001200z x y =+.当12W =时,(1)表示的平面区域如图1,三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当2.4, 4.8x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=. 当15W =时,(1)表示的平面区域如图2,三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当3, 6x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=.当18W =时,(1)表示的平面区域如图3,四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D . 将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+,当6,4x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=.(2)由(1)知,一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,线性规划的应用,二项分布概率的求法,考查分析问题解决问题的能力.(21)【2015年湖北,理21,14分】一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且1DN ON ==,3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时,带动..N 绕O 转动一周(D 不动时,N 也不动),M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (1)求曲线C 的方程;(2)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探 究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值; 若不存在,说明理由.解:(1)设点(,0)(||2)D t t ≤,00(,),(,)N x y M x y ,依题意,2MD DN =,且||||1DN ON ==,所以00(,)2(,)t x y x t y --=-,且2200220()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时,点N也不动,所以t 不恒等于0,于是02t x =,故00,42x y x y ==-,代入22001x y +=,可得221164x y +=,即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y +=(2)①当直线l 的斜率不存在时,直线l 为4x =或4x =-,都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.②当直线l 的斜率存在时,设直线1:()2l y kx m k =+≠±,由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点,所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=,即22164m k =+. ① 又由,20,ykx m x y =+⎧⎨-=⎩ 可得2(,)1212m m P k k --;同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ 的距离为d =和|||P Q PQ x x -,可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得,222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时,2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--;当2104k ≤<时,2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--.因2104k ≤<,则20141k <-≤,22214k ≥-,所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-, 当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时,OPQ S ∆的最小值为8.综合(1)(2)可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值8.【点评】本题主要考查椭圆方程的求解,以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用,结合三角形的面积公式是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大.(22)【2015年湖北,理22,14分】已知数列{}n a 的各项均为正数,1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ,e 为自然对数的底数.(1)求函数()1e x f x x =+-的单调区间,并比较1(1)n n+与e 的大小;(2)计算11b a ,1212b ba a ,123123b b b a a a ,由此推测计算1212n n b b b a a a 的公式,并给出证明;(3)令112()nn n c a a a =,数列{}n a ,{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ,证明:e n n T S <.解:(1)()f x 的定义域为(,)-∞+∞,()1e xf x '=-.当()0f x '>,即0x <时,()f x 单调递增;当()0f x '<,即0x >时,()f x 单调递减. 故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞,单调递减区间为(0,)+∞.当0x >时,()(0)0f x f <=,即1e xx +<. 令1x n=,得111e n n +<,即1(1)e n n +<. ①(2)11111(1)1121b a =⋅+=+=;22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=;2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=. 由此推测:1212(1).n n nb b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②.①当1n =时,左边=右边2=,②成立.②假设当n k =时,②成立,即1212(1)k kk b b b k a a a =+. 当1n k =+时,1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++,由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++.所以当1n k =+时,②也成立.根据(1)(2),可知②对一切正整数n 都成立.(3)由n c 的定义,②,算术-几何平均不等式,n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++ 1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n =++++++12e e e n a a a <+++=e n S . 即e n n T S <.【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用,考查利用归纳法证明与自然数有关的问题,考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识,考查了利用放缩法法证明数列不等式,是压轴题.。

相关主题