设X 是一个非空集，K 是复（或实）数域。

如果下列条件满足，便称X 为一复（或实）线性空间
（1）X 是一加法交换群，即对任意的x,y 之和，适合称为记做y x y x u X U X ,,,+=∈∃∈ y
x y x K x K x x x x
x x
x x ax u X X K x a X x a K x
x x x X x X x x
x X x X z y x z y x x
y y x βααβαβαβααββαθθθθ+=+∈∀∈∀+=+=•=∂=∈∃⨯∈∀∈=+∈∃∈∀+=+∈∀∈∃++=+++=+)()
,,())(3.2(1)2.2()(1.2,u ,,)2(-,,,)4.1(,,)3.1())(2.1(1.1;;'）（）（的数乘，适合
对称为计做）（即的数乘运算，
与中的数定义了数域为记使得对对唯一的）
（）（
线性同构 Ty
Tx y x T X X T X X βαβα+=+−→−)(2)1(:,1
1）（在上的即他是一对一的并且是它既是单射又是满射，都是线性空间，设
线性子空间
为线性子空间一个线性空间，则称上的加法与数乘还构成依若设E X E X E ⊂ 线性流形
{}为线性流形则称使得及线性子空间若设E E X E 000000E x x x x E E X X x ∈+∆+=⊂∈∃⊂线性相关
，否则称为线性无关的
，使得不全为存在称为线性相关的，如果一组向量0....0......1111=++∈∈n n n n x x K X x x λλλλ
线性基 中向量的线性组合
都是而且任意的，
中的向量是线性无关的向量组，即中的一个极大线性无关是若A A X A X x ∈
维数 线性空间中的线性基的元素个数（势）
线性包 {}{}{}A x K A x x y A x i i i n n ∈∈∈+=∈λαλααλλ称为中的向量族，线性组合是是一个指标集，
设,....X A 11
线性和与直接和
{}21212121,E E E E E E y E x y x X E +∈∈+的线性和，记，为的子空间，
是设 准范数
x )
4(x
x -)3(y
x x )2(0x ;0x 1·n 01lim ==+≤+=−→←=≥−→−−→−αθ
n a y x R X ）（，满足条件
：准范数 F*空间
x x n x x X n n -∞−→−−→−-来定义当按照一个赋准范数空间)(0,
F 空间： 完备的F*空间
范数 （范数必是整范数）
)
()3(y x x )2(0x ;0x 1·1齐次性（三角不等式性）
（正定性）
）（，满足条件
：范数x a ax y x R X =+≤+=−→←=≥−→−θ
线性赋范空间——B*空间
当赋准范数的线性空间中的准范数是范数时，这类空间叫线性赋范空间，又叫B*空间 完备的B*空间称为B 空间
定理 12211212
1x x x ,X ··1c c c c ≤≤使得数上的范数时，则必有常都是与、若 2、有穷维B*空间必是B 空间
3、B*空间上的任意有穷维子空间必是闭子空间
次线性泛函
上的一个次线性泛函
是（正齐次性），则称）（次可加性）（数，若他满足
是线性空间上的一个函设X P x P x P y P x P y x P R X P )()(2)
)(()()(1:1λλ=+≤+−→− 定理 x
c x P x c c c x x P x P X B P 2121)(,0)(,0)(*≤≤=−→←=≥使得则存在正常数并且的一个次线性泛函，若空间是有穷维设θ
为了B*空间X 是有穷维的，必须且仅需X 的单位球面是列紧的
为了B*空间X 是有穷维的，必须且仅需其任意有界集是列紧的
定义
B*空间X 上的一个子集A 称为是有界的，如果存在常数C>0，使得)(A x c x ∈∀≤ （F.Riesz 引理） )(1-1,
,10*00X x x y y X y t X B X ∈∀-≥=∈∃<<∀ξ，并且使得么对的一个真闭子空间，那空间是若。