们同意前人的提法，认为线性泛函与无穷维空间上引进坐标的思想有关，而对偶理论则有如无穷维线性空间上的解析几何学。

Chp.1 距离线性空间SS1. 选择公理，良序定理，佐恩引理有序集的定义：（1）若a在b之先，则b便不在a之先。

（2）若a在b之先，b在c之先，则a在c之先。

这种先后关系记作良序集：A的任何非空子集C都必有一个属于C的最先元素。

良序集的超限归纳法：（1）为真，这里是A中最先的元素。

2）对一切,为真，则亦真那么对一切皆真。

选择公理设N={N}是一个非空集合构成的族，则必存在定义在N上的函数f，使得对一切N都有部分有序称元素族X是部分有序的，如果在其中某些元素对（a,b）上有二元关系，它据有性质：例如X中包换关系在部分有序集下，有上界、极大元和完全有序其中完全有序的C：。

例如在复数域中，按大小关系定义两个复数的关系，则复平面是部分有序的，实轴、虚轴是完全有序的。

佐恩引理设X非空的部分有序集，如果X的任何完全有序子集都有一个上界在X中，则X必含有极大元。

从现代观点来看，泛函分析研究的主要是研究实数域或者复数域上的完备赋范线性空间。

SS2. 线性空间，哈迈尔（Hamel）基线性空间的定义：加法交换、加法结合、有零元，有负元、有单位元等。

线性流形：线性空间中的非空子集，如果它加法封闭、数乘封闭。

线性流形的和M+N：所有形如m+n的元素的集合，其中m∈M, n∈N。

线性流形的直和：如果M∩N={θ},则以代替M+N如果,则称M与N是代数互补的线性流形。

于是有下述定理：定理2.1 设M,N是线性空间X的线性流形，则当且仅当对每个x∈X都有唯一的表达式x=m+n, m∈M,n∈N.定理2.2 若，则dimX=dimM+dimNHamel基的定义：设X是具有非零元的线性空间，X的子集H称为X的Hamel基，如果（1）H是线性无关的。

（2）H张成的线性流形是整个空间。

则有Hamel基和线性无关子集的关系：定理2.3 设X是线性空间，S是X中任意的线性无关子集，则存在X的一个Hamel基使得推论任何非零线性空间必有Hamel基由定理2.3，可有定理2.4 设M是线性空间X的线性流形，则必有线性流形使得，即N是M的代数补。

SS3 距离空间（度量空间），距离线性空间定义了距离（满足正定性、对称性和三角不等式的映射）d(x,y)的空间即为距离空间，记为<X,d>按距离收敛：设距离空间<X,d>中的点列使得,则称按d(·，·)收敛到x，简记为距离线性空间：设赋有距离d(·,·)的线性空间X满足（1）（2）距离线性空间的例子例1 有界序列空间（m）设X代表所有有界数列的集合，设定义加法和数乘：以及距离：则它是一个线性距离空间例2 收敛序列空间（c）元素、加法、数乘和距离定义同上，序列有极限。

例3 本质有界可测函数空间定义加法和数乘：(x+y)(t)=x(t)+y(t), (ax)(t)=ax(t)以及距离：d(x,y)=essup|x(t)-y(t)|例4 所有序列空间（s）元素、加法和数乘定义同例1，距离例5 空间设X代表满足条件的所有数列的集合，加法和数乘同例1，距离为SS4 距离空间中的拓扑，可分空间<X,d>中，球、开集、邻域、闭集、内点、内部的概念同拓扑。

其中，极限点的概念相当于拓扑学中的聚点，连续函数的定义和拓扑也是一致的。

稠密：设<X,d>是距离空间，S包含于X称为稠密的，如果任给.空间X称为可分的，如果X内有一个可数的稠密集。

例5、所有序列空间（s）是可分的；有界序列空间（m），例3是可分的。

SS5 完备距离空间完备性：称<X,d>是完备的，若对任意的柯西序列都收敛。

例C[0,1]:所有复值连续函数的集合，是完备的。

定义与例3相同的加法和数乘，定义距离d(x,y)=max|x(t)-y(t)|，则它是线性距离空间，称为连续函数空间完备化：对距离空间<X,d>，若有完备的距离空间,使X等距于，即有,且T(x)是中的稠密子集，则为X的完备化。

进一步，有定理定理5.1任何距离空间都存在完备化SS6 列紧性列紧：<X,d>中集合M是列紧的，如果M中任何序列都有收敛子列。

闭的列紧集称为自列紧集。

ε-网：对<X,d>中的M,N，ε为给定正数，若对M中的任一点x，必存在N中的一点x'使得d(x,x')<ε，则N是M的ε-网。

完全有界：距离空间X中的集合M是完全有界的，若对人给的ε>0，总存在由有限元组成的M的ε-网。

定理6.1：在距离空间中，列紧性蕴含完全有界性；若更设X完备，则列紧性与完全有界性等价。

定理6.2：在距离空间中，任何完全有界集是可分的。

定理6.3：在距离空间中，紧（紧致）性和自列紧性等价。

等同连续：设F是一族从<X,d>到<Y,ρ>的函数，若任给都有ρ<f(x),f'(x))<ε, 当d(x,x')<δ,则称F是等同连续的。

定理6.4：（阿尔采拉-阿斯科利）是列紧的必须且只需F是一致有界且等同连续的。

定理6.5：（蒙泰尔）设是区域Ω上一致有界的解析函数列，则与任何完全位于Ω内的有界区域D（D 的闭包在Ω内），恒有f的子序列在D上一致收敛。

SS7 赋范线性空间满足范数三公理的从X到R的映射‖·‖称为范数，这样的赋范线性空间记为<X,‖·‖>。

赋范线性空间X中，‖x‖是x的连续函数。

线性算子设T是从到的函数（映射），若对一切x,y∈X和数a,b都有T(ax+by)=aT(x)+bT(y)，则称T是X到Y的线性算子。

如果还存在常数C>0，使对一切x∈X都有,则T是有界的如上的C的下确界称为T的范数，记为‖T‖定理7.1设X,Y是赋范线性空间，T是从X到Y的线性算子，则下述等价：（1）T在X某点连续；（2）T在X中所有点连续；（3）T是有界的。

线性算子的值域、满射的线性算子、单射的线性算子，逆算子这些定义是显然的。

其中有界线性算子的逆算子一般未必有界，若有界则称为有界可逆的。

定义在从线性空间X到复数域C的线性算子函数，称为线性泛函。

命题7.2 有限维赋范线性空间中点收敛等价于坐标收敛命题7.3 有限维赋范线性空间与同维度实数域线性同构且同胚。

Riesz引理：设M是赋范线性空间X的真子空间，则对任给的正数且根据这个引理，我们知道任何赋范线性空间X，若球B(x,r)是列紧的，则X必是有限维的。

Chp.2 希尔伯特空间SS1内积空间定义设X是复线性空间，如果对任给的x,y∈X都恰有一个复数，记为(x,y)，与之对应，并且这个对应有下列四条性质：(1)(2)(3)(4)对任意的x,y∈X和a∈C,则称(x,y)是x与y的内积，称X为具有内积的内及空间。

正交的定义：(x,y)=0进一步可以构建正规正交集，并且向欧几里得空间那样构建二范数‖x‖。

定理1.1给出内及空间X中的正规正交集{x}，则对任何x∈X.贝塞尔不等式施瓦茨不等式定理1.2每个内积空间X按二范数称为赋范线性空间名义命题1.1 内积(x,y)是x,y的二元连续函数，即当x,y有极限时，内积也有极限。

命题1.2 设点集M在内积空间X中稠密，若有x'∈X使(x,x')=0, 对任意x∈X,则x'=0须知，内积空间中向量的范数有着异于其它赋范线性空间中向量范数的独特性质。

命题1.3 平行四边形法则是否每个赋范线性空间X都能赋以内积(x,y)使得原来的范数‖x‖总可以表成为呢？可以证明：X能赋以内积的充要条件是X中的范数满足平行四边形法则。

例1在空间C[0,1]不是内积空间。

只需取x(t)=1,y(t)=t,考虑‖x+y‖和‖x-y‖即可。

（C[0,1]是完备的）定义1.3 若内积空间是完备的，则称H为希尔伯特空间例2 空间的全体形成的线性空间，是希尔伯特空间。

例3 空间是希尔伯特空间。

（注意到上两例同时也是线性距离空间）命题1.4 内积空间X的完备化是希尔伯特空间。

SS2 正规正交基现设H表示非零希尔伯特空间正规正交基：设S是H中的正规正交集，如果H中没有其他的正规正交集真包含S，则称S为H的正规正交基。

这等价于：命题2.1 设S是H中的正规正交集，则S是H的正规正交基充要条件是H中没有非零元与S中每个元正交。

定理2.1若H可分，则H必有一个可数的正规正交基。

定理2.2每个非零的希尔伯特空间都有正规正交基定理2.3设是H的一个正规正交基，则对任何的x∈X,都有推论每个可分的希尔伯特空间都与l^2同构。

SS3射影定理，弗雷切特-利亚茨表现定理设M是希尔伯特空间H的线性流形，定义，称其为M的正交补，二者的交为{0}，它也是H的子空间。

定理3.1（射影定理）设M是希尔伯特空间H的子空间，则每个x∈X都可以唯一地表成：称这个由x与M唯一确定的y为x在M上的正交射影。

命题3.1 设M是H的线性流形，则.设表示希尔伯特空间H上全体连续线性泛函按逐点定义的加法和数乘形成的线性空间，对,按这个范数，它也是完备的赋范线性空间，称其为H的共轭空间或对偶空间。

定理3.2 弗雷切特-利亚茨表现定理设使f可表为定义3.1 设φ(x,y)是从H×H到C中的函数，据有性质：(1)(2)则称它是H上的双线性泛函定理3.3设φ(x,y)是H上的有界的共轭双线性泛函，则恰有H上一个有界线性算子A，使得φ(x,y)=(Ax,y)SS4 希尔伯特共轭算子（伴随算子），拉克斯-米尔格拉姆定理希尔伯特共轭算子设H1,H2都是希尔伯特空间，T是从H1到H2的有界线性算子。

称T^*为T的希尔伯特共轭算子，也称伴随算子，即由其定义可见总之，对于这样的一个有界线性算子，总有它的伴随算子使得上式成立，且由其唯一确定。

例1 对于一个矩阵算子，它的共轭转置就是它的希尔伯特共轭算子。

Chp.3 巴拿赫空间上的有界线性算子SS1 有界线性算子算子的范数：设X,Y是赋范线性空间，以下记从X到Y的全体有界线性算子集合为L(X,Y),而L(X,X)简记为L(X).设A∈L(X,Y)，我们知道A的范数为‖A‖=sup‖Ax‖/‖x‖，其中x不为零。

命题1.1 两个L(X,Y)中算子和的范数小于范数的和，数乘算子的范数等于算子范数的数乘。

命题1.2 设X是赋范线性空间，Y是巴拿赫空间，则L(X,Y)也是巴拿赫空间。

命题1.3 算子积的范数小于范数的积。

范数A强于范数B，指A的收敛蕴含了B的收敛；如果互相都强于互相，则称二者是等价的。

算子的逆命题1.5 设X,Y都是赋范线性空间，A:X->Y是线性映射，那么A是单射的，且定义在R(A)上的算子A'是连续的，充分必要条件是存在常数m>0使得‖Ax‖≥m‖x‖,对任意的X中的x。