《泛函分析》复习与总结(2014年6月26日星期四 10:20---11:50)第一部分 空间及其性质泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。

以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。

一．空间（1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于(,)X ρ,,x y z X∈(i) 【非负性】，并且当且仅当(,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】；x y =(ii) 【对称性】；(,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。

(,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、s S 所有的内积空间。

（2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数）！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果(,||||)X ⋅是数域（或）上的线性空间，对于和X K =¡K =£a K ∈，成立,x y X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】||||0x ≥||||0x =0x =；(ii) 【齐次性】；||||||||||ax a x =⋅(iii) 【三角不等式】。

||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（n ¡1,2,3,n =L n£）、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b ）、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间（范数是由内积导出的范数）。

（3）内积空间 （线性空间 + 内积）！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果(,(,))X ⋅⋅是数域（或）上的线性空间，对于和X K =¡K =£a K ∈，成立,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正(,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】；(ii) 【第一变元可加性】；(,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】；(,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。

(,)(,)x z z x =内积空间的典型代表：空间（）、空间（n ¡1,2,3,n =L n£）、空间、空间。

1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系:{内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}.⊂⊂2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内积.3) 在距离空间中，，当0k x x ρ−−→⇔0(,)0k x x ρ→；k →∞赋范线性空间中，，当；||||0k x x ⋅−−→⇔0||||0k x x -→k →∞内积空间中， ，当||||0k x x ⋅−−→⇔00(,)0k k x x x x --→.k →∞重点. ！ 要求会验证距离, 范数和内积.二．完备性，稠密性，可分性（1）！完备性距离的完备性是指“空间中的任何基本列都是收敛的”具有完备性的距离空间称为完备距离空间；完备的赋范线性空间称为Banach 空间；完备的内积性空间称为Hilbert 空间. 重点. 验证一个距离是否完备是泛函分析基本的技能。

注. 距离空间的*完备化不是本课程的重点.（2）稠密性若, 则称在中稠密. 当时, 也称是的A B ⊇A B A B ⊂A B 稠密子集.关于在中稠密的等价命题:A B 在中稠密, 存在, 使得;A B ⇔y B ∀∈n x A ∈n x y ρ−−→, .⇔0ε∀>(,)x AS x B ε∈⊇U （3）！可分性如果有可数的稠密子集, 则称具有可分性. 类似地可以B A B 定义可分的距离空间, 可分的赋范线性空间, 可分的内积空间等. 不具有可分性的空间称为不可分空间.B 可分空间的典型代表：空间（）、空间（n ¡1,2,3,n =L n£）、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤<∞([,])p L a b ）、空间、空间.1p ≤<∞[,]C a b [,]k C a b 不可分空间的典型代表：空间、空间.l ∞([,])L a b ∞重点. 要求会找出具体的可分空间中可数稠子集. 掌握不可分空间的证明方法.！不可分空间的证明方法: 如果空间中含有一个不可数子集, X A 且其中任何两个不同点之间的距离大等于一个确定的正数, 则是X 不可分的. （例如中这样的集合是分量为零和1的无穷维向量全l ∞体；中这样的集合是上的集特征函数全体）([,])L a b ∞[,]a t 三 空间中的集合（1）开集、闭集、有界集、无界集；（2）疏朗集、稠密集；（3）列紧集！、完全有界集！、紧集.具体空间中列紧集的判别条件：a ．和或有限维赋范线性空间中：Weierstrass 定理（有n ¡n£界集是列紧集）;b. ！中： Arzela-Ascoli 定理（一致有界且等度连续）；[,]C a b （4）内积空间中的正交集， ！正交基.Parseval 恒等式、Bessel 不等式。

（5）有限维赋范线性空间的性质：1. 有界集即列紧集；2. 有限维赋范线性空间中任何两个范数都是等价的。

四 具体的空间已经学过的具体空间有：◆空间（）;n ¡1,2,3,n =L ◆空间（）;n £1,2,3,n =L ◆空间（）;p l 1p ≤≤∞◆空间（）;([,])p L a b 1p ≤≤∞◆空间;[,]C a b ◆空间。

[,]k C a b注. 1. 要求掌握每个具体空间中收敛的含义；(例如有限维赋范线性空间中点列按范数收敛意味着每个分量收敛、点列的收[,]C a b 敛意味着函数列的一致收敛等等)。

2. ！要求掌握列紧集的判别方法（仅限于有限维赋范线性空间中Weierstrass 定理和空间中的Arzela-Ascoli 定理）；[,]C a b 3. ！要求掌握具体空间中距离或范数完备性的证明方法；（的完备性证明不作要求）([,])p L a b 4. 会用Holder 不等式、Minkowski 不等式、Cauchy 不等式、Schwartz 不等式和Bessel 不等式等；5. 具体空间的共轭空间， 仅限于要求掌握：！空间（）的共轭空间（泛函的表示形式，等距同构，p l 1p ≤≤∞证明不作要求）；空间（）的共轭空间（泛函的表示形式，等([,])p L a b 1p ≤≤∞距同构，证明不作要求）；第二部分 映射 算子 泛函泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 算子部分包括泛函分析所学过的各种抽象或具体的映射，算子，泛函等。

也涉及到与之相关的性质和众多重要的定理, 例如共鸣定理，闭图像定理，开映射定理以及泛函延拓定理等等。

以下几点是对第二部分内容的归纳和总结。

一. 泛函分析中的映射在泛函分析中, 映射:T X Y→当是空间时称为算子; 当是空间, 是数域(或,X Y X Y Y K ==¡)时称为泛函;£当是线性空间时, 主要考虑线性算子:X, , ;()T ax by aTx bTy +=+,a b K ∈,x y X ∈泛函分析中的非线性映射:1.*压缩映射: , 其中. (,)(,)Tx Ty x y ραρ≤[0,1)α∈Banach 不动点定理.2.*紧集上的连续泛函(对照数学分析中有限闭区间上的连续函数的性质).二. 有界线性算子（1）是由映射到的有界线性算子全体所组成的赋范(,)L X Y X Y 线性空间（尤其是当是Banach 空间时也是Banach 空间）Y (,)L X Y ；（2）有界线性算子列的收敛：0{}(,)k k T L X Y ∞=⊂算子列的按算子范数收敛： ；(,)||||0L X Y k T T ⋅−−−−→算子列的强收敛： 对于每一个，；x X ∈||||0()()Y k T x T x ⋅−−−→（参见Banach-Steinhaus 定理，P59）（3）重要定理开映射定理、逆算子定理；！共鸣定理、 ！一致有界定理、 ！Banach-Steinhaus 定理；闭图像定理、！范数等价性定理（P63引理1）；注. 重点在于定理的理解和应用，定理的证明通常不作要求。

（4）共轭算子 *T 共轭算子的定义（）以及简单性质；[*]():()T f x f Tx =重要实例：*以为核的积分算子的共轭算子、 ！左位移(,)K s t （右位移）算子的共轭算子。

（5）具体的线性算子●！以为核的积分算子；(,)K s t ●！由变上限积分所定义的算子；●微分算子；●！由到的左位移（右位移）算子.p l p l 注. 线性算子的有界性等价于连续性.重点. 要求掌握：验证算子有意义、验证线性性质、验证线性算子是有界的、 ！会求较为简单的算子或泛函的算子范数。

三. 有界线性泛函（1）的概念和简单性质 ().*X *(,)X L X K =（2） 的概念和简单性质: 在等距同构（自然投射）的意义**X 下可以视为的子空间（），当在等距同构意义X **X **X X ⊂下与相等时，称为自反空间；X **X （3）的实例：！空间（）的共轭空间（泛函的*X pl 1p ≤≤∞表示形式，等距同构，证明不作要求）；空间（）的共轭空间（泛函的表示形式，([,])p L a b 1p ≤≤∞等距同构，证明不作要求）；（3）泛函列的收敛： 设，0{}*k k f X ∞=⊂按算子范数收敛于（称为强收敛）： ；k f 0f *||||0X k f f ⋅−−−→弱收敛于： 对于每一个：k f 0f **F X ∈；0()()k F f F f −−→弱*收敛于： 对于每一个： 。

k f 0f x X ∈0()()k f x f x −−→注. 1. 当是自反空间时，弱收敛与弱*收敛等价。

X 2. 对于泛函列的弱收敛，也有相应的Banach-Steinhaus 定理。

（4）点列的收敛：◆在赋范线性空间中，设，X 0{}k k x X ∞=⊂按范数收敛于（称为强收敛）： ；k x 0x ||||0X k x x ⋅−−−→弱收敛于： 对于每一个： ；k x 0x *f X ∈0()()k f x f x −−→弱*收敛于： 对于每一个： 。