第2课时数学归纳法的应用双基达标(限时20分钟)
1．利用数学归纳法证明1
n＋
1
n＋1
＋
1
n＋2
＋…＋
1
2n<1(n∈N
*，且n≥2)时，第二步
由k到k＋1时不等式左端的变化是
()．
A．增加了
1
2k＋1
这一项
B．增加了
1
2k＋1
和
1
2k＋2
两项
C．增加了
1
2k＋1
和
1
2k＋2
两项，同时减少了
1
k这一项
D．以上都不对
解析不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n
的等差数列，当n＝k时，左端为1
k＋
1
k＋1
＋
1
k＋2
＋…＋
1
2k；当n＝k＋1时，
左端为
1
k＋1
＋
1
k＋2
＋
1
k＋3
＋…＋
1
2k＋
1
2k＋1
＋
1
2k＋2
，对比两式，可得结论．
答案 C
2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是
()．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确
B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确
C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确
D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)
解析因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确．
答案 B
3．已知平面内有n条直线(n∈N*)，设这n条直线最多将平面分割成f(n)个部分，则f(n＋1)等于
()．A．f(n)＋n－1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n＋1 D．f(n)＋n＋2
解析要使这n条直线将平面所分割成的部分最多，则这n条直线中任何两条不平行，任何三条不共点．因为第n＋1条直线被原n条直线分成n＋1条线段或射线，这n＋1条线段或射线将它们所经过的平面区域都一分为二，故f(n＋1)比f(n)多了n＋1部分．
答案 C
4．已知S n＝1
1·3＋
1
3·5＋
1
5·7＋…＋
1
(2n－1)(2n＋1)
，则S1＝________，S2＝________，
S3＝________，S4＝________，猜想S n＝________.
解析分别将1,2,3,4代入观察猜想S n＝n
2n＋1
.
答案1
3
2
5
3
7
4
9
n
2n＋1
5．用数学归纳法证明“当n为正偶数时x n－y n能被x＋y整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________．解析因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除．
答案2x2k－y2k能被x＋y整除
6．用数学归纳法证明：
1＋1
22＋
1
32＋…＋
1
n2＜2－
1
n(n≥2)．
证明：(1)当n＝2时，1＋1
22＝
5
4＜2－
1
2＝
3
2，命题成立．
(2)假设当n＝k时命题成立，即1＋1
22＋
1
32＋…＋
1
k2＜2－
1
k，当n＝k＋1时，
1＋1
22＋
1
32＋…＋
1
k2＋
1
(k＋1)2
＜2－
1
k＋
1
(k＋1)2
＜2－
1
k＋
1
k(k＋1)
＝2－
1
k＋
1
k－
1 k＋1＝2－
1
k＋1
，命题成立．
由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立．
综合提高(限时25分钟)
7．用数学归纳法证明不等式
1n ＋1＋1n ＋2
＋…＋12n >1124(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，下列说法正确的是
( )．
A ．增加了一项1
2(k ＋1)
B ．增加了两项
12k ＋1和12(k ＋1)
C ．增加了B 中的两项，但又减少了一项
1k ＋1 D ．增加了A 中的一项，但又减少了一项1k ＋1
解析 当n ＝k 时，不等式左边为1k ＋1＋1k ＋2
＋…＋12k ， 当n ＝k ＋1时，不等式左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2
. 答案 C
8．命题P (n )满足：若n ＝k (k ∈N *)成立，则n ＝k ＋1成立，下面说法正确的是( )． A ．P (6)成立则P (5)成立 B ．P (6)成立则P (4)成立 C ．P (4)成立则P (6)成立 D ．对所有正整数n ，P (n )都成立
解析 由题意知，P (4)成立，则P (5)成立，若P (5)成立，则P (6)成立．所以P (4)成立，则P (6)成立． 答案 C
9．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为________．
解析 ∵等式对一切n ∈N *均成立，∴n ＝1,2,3时等式成立，即：⎩⎨⎧
1＝3(a －b )＋
c ，
1＋2×3＝32(2a －b )＋c ，
1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c ，
整理得⎩⎨⎧
3a －3b ＋c ＝1，
18a －9b ＋c ＝7，
81a －27b ＋c ＝34，
解得a ＝12，b ＝c ＝1
4.
答案 a ＝12，b ＝c ＝1
4
10．数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝a n
3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算出a 2，a 3，a 4后，
归纳、猜测得出a n 的表达式为________． 解析 a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝2
19，猜测a n ＝2
6n －5
. 答案 a n ＝2
6n －5
11．求证：1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤1
2＋n .
证明 (1)当n ＝1时，f (1)＝1＋1
2，原不等式成立； (2)设n ＝k (k ∈N *)时，原不等式成立 即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤1
2＋k 成立， 当n ＝k ＋1时， f (k ＋1)＝f (k )＋
12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1≥1＋k 2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋1
2k ＋1
>1＋
k 2＋
＝1＋k 2＋1
2＝1＋k ＋12， f (k ＋1)＝f (k )＋
12k
＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1≤12＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12
k ＋1<12＋k ＋
∴f (k ＋1)<1
2＋(k ＋1)即n ＝k ＋1时，命题成立． 综合(1)、(2)可得：原命题对n ∈N *恒成立．
12．(创新拓展)数列{a n }满足S n ＝2n －a n ，n ∈N *，先计算前4项后猜想a n ，并用数学归纳法证明．
证明 当n ＝1时，S 1＝2－a 1，∴a 1＝1， n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝4－a 2，∴a 2＝3
2， n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝6－a 3，∴a 3＝7
4， n ＝4时，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝8－a 4，∴a 4＝15
8. ∴猜想a n ＝2n －1
2
n －1.
用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝1，猜想成立， ②假设n ＝k 时猜想成立，即a k ＝2k －1
2
k －1成立．
那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝2k －a k ＋a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k ＝2＋2k －12k －1＝2k ＋1－1
2
k －1，
∴a k ＋1＝2k ＋1－1
2k ，即n ＝k ＋1时猜想成立． 由①②可知，对n ∈N *猜想均成立．。