2
3
2
4

3
3
0
4
3
ˆ ()
Dmeyer小波
Dmeyer小波即离散的Meyer小波，它是Meyer小波基于FIR的近似， 用于快速离散小波变换。
Waveinfo(‘dmey’)
DMEYINFO Information on "Discrete" Meyer wavelet.
Battle-Lemarie线性样条小波 （绘制程序）
function Wav = AF1(w,t0) t=-t0:0.01:t0; if(w==0)
Wav = 1; else Wav = -16./w./w.*(sin(w./4))^4.*sqrt((1+2.*(sin(w./4))^2./(12./3.*(sin(w./4))^2)./(3-8.*(sin(w./4))^2+8.*(sin(w./4))^4))).*exp(i.*w.*t)./2./pi; end subplot(1,2,1); Ingegl1 = quadv(@(w)AF1(w,4),-450,450); plot([-4:0.01:4],Ingegl1);
w=linspace(-50,50,2^10); Wav = real(-16./w./w.*(sin(w./4)).^4.*sqrt((1+2.*(sin(w./4)).^2./(12./3.*(sin(w./4)).^2)./(3-8.*(sin(w./4)).^2+8.*(sin(w./4)).^4))).*exp(-1./2.*i.*w)); subplot(122) plot(w,Wav);
Wf b1,b2

f x, y 2 j

2 j x b1 , 2 j y b2 dxdy
当 a 2 j , b1 al, b2 am;l, m Z 时，得出二维 离散小波变换：
Wf j,l, m 2 j
wavemngr('read')
• Haar • Daubechies • Symlets • Coiflets • BiorSplines • ReverseBior • Meyer • DMeyer • Gaussian • Mexican_hat • Morlet • Complex Gaussian • Shannon • Frequency B-Spline • Complex Morlet
10. 二进样条小波
在第9章介绍。
11.Symlet (symN)小波 Symlet小波函数是Daubechies提出的近似对称的小波函数，它是 对db函数的一种改进。 Symlets小波系通常表示为 symN(N=2,3,…,8)
12. Coiflet (coifN)小波 根据R.Coifman的要求，Daubechies构造了Coiflet小波，它具有 CoifN (N=1,2,3,4,5)这一系列。 Coiflet的小波函数的2N阶矩 为零，尺度函数的2N-1阶矩为零。其小波函数与尺度函数的支撑 长度为6N-1, 具有比dbN更好的对称性。
t c 1 t 1 , 0 （衰减性）
允许条件是保证正、逆小波变换存在的条件。
f (t) 1
c

1 a2
WT f
(a, b)
a,b
(t)dadb
f (t) 2 1
c
1
2
a2 WTf (a, b) dadb
"Discrete" Meyer Wavelet
Definition: FIR based approximation of the Meyer Wavelet.
Family Short name
DMeyer dmey
Orthogonal
yes
Biorthogonal
yes
Compact support yes
5 16
,

3 4
,
3 16

常用于图形学中。其中尺度函数是一 个三次B样条。
Bior2.4
双正交小波解决了线性相位和正交性要求的矛盾。
4. Morlet小波
(t) et2 / e2 i0t
ˆ () 2 e(0)2 /2
Morlet小波不存在尺度函数; 快速衰减但非紧支撑.
第7章 小波时频分析
孙延奎 清华大学计算机科学与技术系
内容
小波及连续小波变换
常用的基本小波 线性时频分析
窗口傅立叶变换 小波变换 S变换
二次时频分析
频谱图 量图 WVD
希尔伯特-黄变换 同步挤压小波变换 同步挤压S小波变换
小波及连续小波变换
设函数 tL1(R)

p2

4q2 16q2
1 4

p3

4q22 q2 2 8q2
q0 1 2q2

q1

1 2
~
pn 2 hn , qn 2hn
h
1 2
1

8
,
1 2
,
3 4
,
1 2
,
1
8

h
1 2
3 16
,

3 4
,
5 16
,
5 2
,
在Matlab中， morlet 小波的定义为
(t) et2/2 cos5t 问 ˆ () ?
Morlet小波
Morlet小波是Gabor 小波的特例。
g
t

t2
1 2 2 e 2 1/ 4
t g t eit
1, 5
L2(R) ，并且 ˆ (0) 0 ，即

(t)dt 0

，则称 (t) 为一个基本小波或母小波。
a,b (t)
1 (t b)
aa
a,b R a 0
(连续)小波函数
a和b的意义
a,b (t)
2 2

(t)
2 2
WTf (a,b)
1 a
f (t) (t b)dt
DWT
possible
CWT
possible
8. Shannon小波


t


sin

t

1/ 2 t
sin 2
1/ 2
t

1/
2

ˆ



ei
/
2
1,
0,
2
其它
t
在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的， 具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，Shannon小波是频率带限函数，具有 好的局部化特性。

1
4
8

3
3
0



2 3
8 ,
3

vt t4 35 84t 70t2 20t3 t 0,1
t

2


1 2

ˆ

2
1
2
cos


v

3


1


2 2

a
f , a,b
WTf (a,b)
1 a
f (t) (t b)dt a 1/2

a
f a
b
a t a 1 * t / a
连续小波变换
在实际工程应用中,常假设a>0. 在Matlab小波工具箱中，用cwt（）函数计算。
连续卷积的定义:h f (t) h u f t u du f u h t u du
线性时频分析
• 时频分析的必要性 • 常用的时频分析方法
Gabor变换 短时傅里叶变换 连续小波变换 S-变换
时频分析的基本思想
• 时频分析旨在构造一种时间和频率的联合密度函数，以揭 示信号中所包含的频率分量及其演化特性。时频分析实际 上是将一维的时间信号映射到时频（或时间尺度）二维空 间，可以很好地表示出信号的频率成分随时间的变化规律 ，而这恰是非平稳信号分析所需要的。
常用的基本小波
1. Haar小波
1

(t)


1
0
0 t 1/2 1/2 t 1
其它
ˆ () i 4 ei /2 sin2 / 4

1 (t)
01
1
2
1
2. Daubechies小波
D4尺度函数与小波
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
1
2
3
4
5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1
0
1
2
3
D6尺度函数与小波
3、双正交小波 双正交B样条小波（5-3）、 （9-7）小波滤波器
bior2.2, bior4.4
（7-5）小波滤波器:

p0

4q2 8q2
3 2

p1

4q22 5q2 1 8q2 2

f x, y