(n)
1 (t0 ) 2

b
b
ˆ i n exp(it )d 0. f 0
1 b ˆ 因为：f (t ) f exp i t t0 exp(it0 )d , 2 b 将 exp(i (t t0 ))展开成无穷级数有： 1 [i (t t0 )]n f (t ) n! 2 n 0 这与f 0矛盾。


DTFT：离散时间傅里叶变换
适用信号:离散时间信号 变换公式:
1 x ( n) 2
2
X (e
j
)e
jn
d
X (e )
j
n
x ( n )e

jn


DFS：离散时间傅里叶级数
适用信号:离散时间周期信号 变换公式:
x[n] 1 ak N



1 x(t ) 2


X ( j )e
jt
d

CFS: 连续时间傅里叶级数

适用信号:连续时间周期信号 变换公式:
x(t )
k
a e
k

jk0t

k
a e
k

jk ( 2 / T ) t
1 1 jk0t jk ( 2 / T ) t ak x(t )e dt x(t )e dt TT TT
定理:时频不能同时有限长
ˆ 不能在某区间上为0； 如果f (t) 0是紧支撑的，则f ˆ ( ) 0是紧支撑的，则f (t )也不能在某区间上为零。 类似地，如果f 证明（前半部分）： 1 b ˆ ˆ 设f 的支集为[b, b], 则：f (t ) f exp(it )d . b 2 如果t [c, d ]时f (t ) 0, 则在点t0 (c d ) / 2处将上式两边微分n次得到： f


时频原子的分辨率受如下两个结论限制:

Heisenberg测不准原理 不存在同时具有时限和频限的时频原子
(t ) 的时频结构：时频局部化的定量描述 时频原子
设
F ˆ ( )， (t )的4个时频参数为： (t ) 1, (t )
u t (t ) dt : (t )的时域能量分布中心 .......... ......... 均值时间


如果时频原子在时间上是集中于某个时刻点u周围,根 据(1)式,则 Tf ( ) 仅与信号f(t)在该邻域的值有关。 如果时频原子在频率上是集中于某个频率点 周围, 根据(2)式,则 Tf ( ) 仅与信号f(t)的频谱在该邻域的值 有关。
“最高的时频分辨率 ”

如果所选择的时频原子的能量在时间上集中在某个时 刻点,同时在频率上集中在某个频率点,则线性时频变 换的结果必然精确反映原始信号在某个时刻点和某个 频率点上的信息-具有最高的时频分辨率。 问题:上述时频原子存在否?
概述 定义 性质 实现
傅里叶分析概述
傅里叶分析可以分析信号中的“频率成分”。 它是一个全局的分析。 它有很多好的性质：如其所选择的基本分析单元是LTI 系统的特征函数，可将其方便地用于分析线性时不变 系统-利用傅里叶分析可以将时域卷积运算转化成频域 相乘运算。 傅里叶分析数字实现时常常采用FFT进行快速实现。

小波时频原子

特点：都是由一个基本的单元信号经过变换得到；
线性时频变换
Tf ( ) f ,

f (t ) (t )dt..................(1)
*

1 2
：参数集

Hale Waihona Puke * ˆ ˆ f ( ) ( )d........(2)
线性时频变换的时频局部化
2 t2
2

tf (t ) dt

'

2
fˆ d
2

1
4 f

tf (t ) dt



f (t ) dt..... （Parseval定 理 及 傅 里 叶 变 换 的质 性）
再根据 Schwarz 不等式，有：
2 t2
1 f
连续时间傅立叶变换 CTFT
离散时间傅立叶变换 DTFT
连续、非周期 连续、非周期
x(t ) X ( j) X ( jt ) 2 x()
x(n) X (e )
离散、非周期 连续、周期
j
信号时域和频域特性之间关系：
本课程中傅里叶变换的记号:
ˆ ( ) f

b
b
ˆ n exp(it )d 0. f 0
时频能量密度
P f (u , ) f , u , (t )
2



f (t ) (t )dt
* u ,
2
它度量了信号的能量在以 (u , ) 为中心的时频邻域内的分布。

傅里叶变换(分析)的定义
•根据信号的不同，傅里叶变换有四种定义： •CTFT: •CFS: 连续时间傅里叶变换 连续时间傅里叶级数
•DTFT： 离散时间傅里叶变换 •DFS： 离散时间傅里叶级数


CTFT:连续时间傅里叶变换
适用信号:连续时间信号 变换公式:
X ( j ) x(t )e jt dt
Heisenberg测不准原理结论
2 t2
1 4
b ( t u ) 2
当且仅当f (t ) ae
eit时等号成立
证明（ Weyl） ： 假 定 lim 1 2 f
4
t 2
t f (t ) 0, 不 失 一 般 性 ， 只 证 明定 该理 对 u 0时 成 立 。



为了分析信号中时变的频率结构，需要引入 一些时频分析的新工具：短时傅里叶变换和 小波变换就是其中的代表。 短时傅里叶变换和小波变换的差别在于采用 了不同的时频原子

不同时频原子具有不同的时频特性。
时频原子


时频原子的基本概念 线性时频变换的定义 时频原子的时频局部化描述 Heisenberg测不准原理 时频原子的时频结构-Heisenberg-box 时频能量密度

再 考 虑 到 许 瓦 兹 不 等成 式立 的 条 件 ， 有 ： 存b, 在 使得： f ' (t ) 2btf (t ) 进一步推出存在 C , 使 得f (t ) a exp(bt 2（ ) 得证）

时频不可能同时有限长

尽管有了Heisenberg测不准原理的限制,可能仍然有人认为存在 某个信号在时间-频率域上可以同时是有限长的,但这个结论也是 不成立的。
连续、周期 离散、非周期
1 2 Ak X ( j k ) T T
DTFT j
离散时间傅立叶级数 DFS 1 x(n) Ak An x(k )
N
离散、周期 离散、周期
2 j k 1 Ak X (e N ) N
x(n) X (e )
CFS X (e jt ) x(k )


2

2 t 2


ˆ( ) d : (t )的频域能量分布中心 .......... ....... 均值频率
2 2
2
( ) (t u ) (t ) dt : (t )的时域能量分布范围 ...... 时宽
ˆ ( ) d : (t )的频域能量分布范围 ( ) (t ) ...频宽
k N
jk0 n a e k
k N
jk ( 2 / N ) n a e k
n N
x[n]e
jk0n
1 N
n N
jk ( 2 / N ) n x [ n ] e
四种傅里叶变换的关系:
连续时间傅立叶级数 CFS
x(t ) Ak
2 2
可以用 (u , )为中心，时宽为 t ( ),频宽为 ( )
的时频盒：heisenberg box定量表示 (t )的时频分辨率。

Heisenberg-box示例：

有关Heisenberg-box的几个值得注意的问题： 根据测不准原理，Heisenberg-box的面积至少要大于1/2； 在Heisenberg-box所处位置以外的地方并不表示该时频原子就没 有能量分布，Heisenberg-box只是代表了该时频原子的大部分能 量集中的位置和区域。
F F ˆ e jt0 f (t ) f 0
t F ˆ s f ( ) s f s F ˆ f ( p ) (t ) ( j ) p f
傅里叶变换的重要缺陷:难于获得信号的“局部变化”规律


从频率分析角度看： 傅里叶变换不能提供频率随时间局部变化的规律。 从信号奇异性分析角度看:
4
[



tf ' (t ) f * (t ) dt]2
2 1 t ' [ f (t ) f * (t ) f '* (t ) f (t )]dt 4 2 f

2 1 2 t ( f (t ) )' dt 1 / 4(考 虑 到 lim t f (t ) 0, 再 由 分 部 积 分 ) 4 t 4 f



f (t )e

it
dt
1 f (t ) 2