ˆ ( x, t ) u (t ) d (t )) (t ) s ( f ( x, t ) f V n ˆ ( x, t ) ( F ( x, t ) D(t ) ) sgn( s) d (t )) s ( f ( x, t ) f ˆ ( x, t )) sF ( x, t ) sgn( s ) sD(t ) sgn( s ) sd (t ) s sgn( s) s ( f ( x, t ) f ˆ ( x, t )) F ( x, t ) s sd (t ) D(t ) s s sgn( s ) s ( f ( x, t ) f s sgn( s ) s
p ( p / q 1) p ( p / q 1) 2 x2 2 x2 x x x q q 2 p ( p / q 1) ˆ ( f ( x, t ) ueq (t )) x2 x q 2 p ( p / q 1) q (1 p / q ) p ( p / q 1) ˆ ( f ( x, t ) ueq (t )) x2 x2 x2 x p q q 2 p ( p / q 1) ˆ q (1 p / q ) ( f ( x, t ) ueq (t ) x2 x2 x2 ) p q q (2 p / q ) p ( p / q 1) ˆ ( f ( x, t ) ueq (t ) )0 x2 x2 p q x 1 s
ˆ ( x, t ) u (t ) d (t )] (t ) s [ f ( x, t ) f V n ˆ s [ f ( x, t ) f ( x, t ) u (t ) d (t )]
n
ˆ ( x, t ) ( F ( x, t ) D(t ) ) sgn( s) d (t )] s [ f ( x, t ) f ˆ ( x, t )) s F ( x, t ) sgn( s) s D(t ) sgn( s) d (t ) s sgn( s) s ( f ( x, t ) f ˆ ( x, t )) s F ( x, t ) s D(t ) s d (t ) s sgn( s) s ( f ( x, t ) f s sgn( s) s 0
满足滑模到达条件。 3、终端滑模控制方法 （1）终端滑模控制优点 在传统线性滑模控制中，系统状态到达滑模面后，按指数规律渐近趋近于 原点，虽然收敛速度可以通过参数进行调节，但其稳态误差无法在有限时间内 收敛为零的缺点限制了其应用。1988 年 Zak 提出了终端滑模，采用非线性滑模 取代传统线性滑模，使得系统状态收敛到平衡点是有限时间的，而不是渐近的。 （2）终端滑模通常由如下一阶动态方程描述 s (t ) x2 x1 β >0，p，q 是奇数，且 p>q>0。
ˆ ( x, t ) ②从而得到等效控制项为 ueq f
q
p
(2 p / q ) x2
③为满足滑模到达条件，考虑系统的参数摄动和外部扰动，选取 Lyapunov 函数
V (t ) 0.5s 2 (t )
④考虑系统的参数摄动和外部扰动,对 V(t)求时间的一阶导数
p ( p / q 1) (t ) s (t ) s (t ) s ( x2 2 ) V x x q 2 p ( p / q 1) s ( x2 ( f ( x, t ) ueq (t ) un (t ) d (t ))) x q 2 p ( p / q 1) q (1 p / q ) p ( p / q 1) s( ( f ( x, t ) ueq (t ) un (t ) d (t ))) x2 x2 x2 x q q 2 p q (2 p / q ) p ( p / q 1) s ( f ( x, t ) ueq (t ) un (t ) d (t ) ) x2 x2 q p p ( p / q 1) ˆ ( x, t ) q x (2 p / q ) u (t ) d (t ) q x (2 p / q ) ) ( f ( x, t ) f s x2 n 2 q p 2 p p ( p / q 1) ˆ ( x, t ) u (t ) d (t )) ( f ( x, t ) f s x n q 2
q/ p
（3）等效控制律为 u (t ) ueq (t ) un (t ) ，其中， ueq 为等效控制项， un 为非线性控制项。 （4）下面详细给出控制律的设计过程 ①当系统处于滑动状态时，暂且不考虑系统的参数摄动和外部扰动（ d (t ) 0 ）
( x ) 0 ，即 s ( x ) 由等效控制原理，如果达到理想的滑动模态，则 s
1

x 2p / q 其中，β>0，p，q 为奇数，且
①当系统处于滑动状态时，暂且不考虑系统的参数摄动和外部扰动（ d (t ) 0 ） ，
( x ) 0 ，即 s ( x ) 由等效控制原理，如果达到理想的滑动模态，则 s
对滑模 s 求时间的一阶导数
s x 0 x t
ˆ ( x, t ) ②从而得到等效控制项为 ueq f
q ( q / p 1) x x2Байду номын сангаасp 1
③为满足滑模到达条件，考虑系统的参数摄动和外部扰动，选取 Lyapunov 函数
V (t ) 0.5s 2 (t )
④对 V(t)求时间的一阶导数
q (t ) s (t ) s (t ) s ( x 2 x1( q / p 1) x2 ) V p q s( f ( x, t ) u (t ) d (t ) x1( q / p 1) x2 ) p q s( f ( x, t ) ueq (t ) un (t ) d (t ) x1( q / p 1) x2 ) p ˆ ( x, t ) q x ( q / p 1) x u (t ) d (t ) q x ( q / p 1) x ) s ( f ( x, t ) f 2 n 2 p 1 p 1 ˆ ( x, t ) u (t ) d (t )) s ( f ( x, t ) f
扰动，且假设 d (t ) D 0.1 ；系统初始状态 x1 0.3, x2 0.5 。 （2）线性滑模通常设计为系统状态的线性组合
s (t ) x1 x2 0 ，其中， 0 。
（3）等效控制律为 u (t ) ueq (t ) un (t ) ，其中， ueq 为等效控制项， un 为非线性控制项。 （4）下面详细给出控制律的设计过程 ①当系统处于滑动状态时，暂且不考虑系统的参数摄动和外部扰动（ d (t ) 0 ）
n
⑤令非线性控制项 un (t ) [ F ( x, t ) D(t ) ]sgn( s ) 控制增益为η>0 通常用符号函数 sgn(.)实现切换控制作用，且符号函数具有如下重要性质
1, s 0 sgn( s ) 1, s 0
s sgn( s ) s
则当滑模 s≠0 ，V(t)的一阶导数
( x ) 0 ，即 s ( x ) 由等效控制原理，如果达到理想的滑动模态，则 s
s x 0 x t
ˆ ( x, t ) u (t )) 0 x 1 x 2 x2 x 2 x2 ( f 对滑模 s 求时间的一阶导数 s eq
②从而得到等效控制项为 ueq
1

ˆ ( x, t ) x2 f
③为满足滑模到达条件，考虑系统的参数摄动和外部扰动，选取 Lyapunov 函数
V (t ) 0.5s 2 (t )
④考虑系统的参数摄动和外部扰动,对 V(t)求时间的一阶导数
(t ) s (t ) s (t ) s[ x2 ( f ( x, t ) ueq (t ) un (t ) d (t ))] V
s[ x2 f ( x, t ) ueq (t ) un (t ) d (t ))] s[ x2 f ( x, t ) ueq (t ) un (t ) d (t ))] ˆ ( x, t )) u (t ) d (t ))] s[ x2 f ( x, t ) ( x2 f n ˆ s [ f ( x, t ) f ( x, t ) u (t ) d (t )]
1 x2 x 2 f ( x, t ) u (t ) d (t ) x
其中， x(t ) [ x1 (t ), x2 (t )]; f ( x, t ) 为未知函数，表示系统内部扰动，假设其估计值为
ˆ ( x, t ) x 2 ，且满足 f ( x, t ) f ˆ ( x, t ) F ( x, t ) 0.1x 2 ；d (t ) 0.1sin(t ) 表示系统外部 f 1 1
n
⑤令非线性控制项 un (t ) [ F ( x, t ) D(t ) ]sgn( s ) 控制增益为η>0 通常用符号函数 sgn(.)实现切换控制作用，且符号函数具有如下重要性质
1, s 0 sgn( s ) 1, s 0
s sgn( s ) s
则当滑模 s≠0 ，V(t)的一阶导数
对滑模 s 求时间的一阶导数
s x 0 x t
q ( q / p 1) q 1 x 2 x1( q / p 1) x2 x1 x p p ˆ ( x, t ) u (t ) q x ( q / p 1) x 0 f eq 2 p 1 x 2 s
ˆ ( x, t ) q x ( q / p 1) x 中，因为 p>q，所以(q-p)/p<0，在状态空间 x1=0，x2≠0 区 ueq f 2 p 1