非奇异终端滑模控制（读书笔记）王蒙1、非奇异终端滑模控制特点非奇异终端滑模控制是近年来出现的一种新型滑模控制方法，它通过有目 的地改变切换函数，直接从滑模设计方面解决了现有终端滑模控制存在的奇异 性问题，实现了系统的全局非奇异控制；同时它又继承了终端滑模的有限时间 收敛特性，与传统的线性滑模控制相比，可令控制系统有限时间内收敛到期望 轨迹，且具有较高的稳态精度，特别适用于高速、高精度控制。
2、线性滑模控制方法（1）这对不确定二阶非线性系统122(,)()()x x x f x t u t d t =⎧⎨=++⎩ 其中，12()[(),()];(,)x t x t x t f x t =为未知函数，表示系统内部扰动，假设其估计值为12ˆ(,)f x t x =，且满足21ˆ(,)(,)(,)0.1f x t f x t F x t x -≤=；()0.1sin()d t t =表示系统外部扰动，且假设()0.1d t D ≤=；系统初始状态120.3,0.5x x ==。
（2）线性滑模通常设计为系统状态的线性组合12()0s t x x β=+=，其中，0β>。
（3）等效控制律为()()()eq n u t u t u t =+，其中，eq u 为等效控制项，n u 为非线性控制项。
（4）下面详细给出控制律的设计过程①当系统处于滑动状态时，暂且不考虑系统的参数摄动和外部扰动（()0d t =） 由等效控制原理，如果达到理想的滑动模态，则()0s =x ，即()0s xs x t∂∂=⋅=∂∂x 对滑模s 求时间的一阶导数12222ˆ((,)())0eqs x x x x x f x t u t βββ=+=+=++= ②从而得到等效控制项为21ˆ(,)eq u x fx t β=--③为满足滑模到达条件，考虑系统的参数摄动和外部扰动，选取 Lyapunov 函数2()0.5()V t s t =④考虑系统的参数摄动和外部扰动,对 V(t)求时间的一阶导数22222()()()[((,)()()())][(,)()()())][(,)()()())]ˆ[(,)((,))()())]ˆ[(,)(,)()()]eq n eq n eq n nnV t s t s t s x f x t u t u t d t s x f x t u t u t d t s x f x t u t u t d t s x f x t x f x t u t d t s f x t fx t u t d t ββββββββββββββ==++++=++++=++++=++--++=-++⑤令非线性控制项()[(,)()]sgn()n u t F x t D t s η=-++ 控制增益为η>0通常用符号函数sgn(.)实现切换控制作用，且符号函数具有如下重要性质1,0sgn()1,0s s s >⎧=⎨-<⎩ sgn()s s s =则当滑模 s ≠0 ，V(t)的一阶导数ˆ()[(,)(,)()()]ˆ[(,)(,)()()]ˆ[(,)(,)((,)())sgn()()]ˆ((,)(,))(,)sgn()()sgn()()sgn()ˆ((,)(,))(,nnV t s f x t f x t u t d t s f x t fx t u t d t s f x t fx t F x t D t s d t s f x t f x t s F x t s s D t s d t s s s f x t fx t s F x t βββηββββηββ=-++=-++=--+++=---+-=--)()()sgn()sgn()0s D t s d t s s s s s βββηβηηβ-+-≤-=-<满足滑模到达条件。
3、终端滑模控制方法 （1）终端滑模控制优点在传统线性滑模控制中，系统状态到达滑模面后，按指数规律渐近趋近于 原点，虽然收敛速度可以通过参数进行调节，但其稳态误差无法在有限时间内 收敛为零的缺点限制了其应用。
1988 年 Zak 提出了终端滑模，采用非线性滑模 取代传统线性滑模，使得系统状态收敛到平衡点是有限时间的，而不是渐近的。
（2）终端滑模通常由如下一阶动态方程描述1/2()q ps t x x β=+β >0，p ，q 是奇数，且 p>q>0。
（3）等效控制律为()()()eq n u t u t u t =+，其中，eq u 为等效控制项，n u 为非线性控制项。
（4）下面详细给出控制律的设计过程①当系统处于滑动状态时，暂且不考虑系统的参数摄动和外部扰动（()0d t =） 由等效控制原理，如果达到理想的滑动模态，则()0s =x ，即()0s xs x t∂∂=⋅=∂∂x 对滑模s 求时间的一阶导数111(/1)(/1)2122(/1)2ˆ(,)()0q p q p q p eq q q s x x x x x x p pq f x t u t x x p βββ---=+=+=++=②从而得到等效控制项为1(/1)2ˆ(,)q p eq q u fx t x x pβ-=-- ③为满足滑模到达条件，考虑系统的参数摄动和外部扰动，选取 Lyapunov 函数2()0.5()V t s t =④对 V(t)求时间的一阶导数11111(/1)22(/1)2(/1)2(/1)(/1)22()()()()((,)()())((,)()()())ˆ((,)(,)()())ˆ((,)(,)()(q p q p q p eq n q p q p n nq V t s t s t s x x x p qs f x t u t d t x x pqs f x t u t u t d t x x pq qs f x t f x t x x u t d t x x p ps f x t f x t u t d βββββ-----==+=+++=++++=--+++=-++))t⑤令非线性控制项()[(,)()]sgn()n u t F x t D t s η=-++ 控制增益为η>0通常用符号函数sgn(.)实现切换控制作用，且符号函数具有如下重要性质1,0sgn()1,0s s s >⎧=⎨-<⎩sgn()s s s =则当滑模 s ≠0 ，V(t)的一阶导数ˆ()((,)(,)()())ˆ((,)(,)((,)())sgn()())ˆ((,)(,))(,)sgn()()sgn()()sgn()ˆ((,)(,))(,)()()sgn()sgn()nV t s f x t f x t u t d t s f x t fx t F x t D t s d t s f x t fx t sF x t s sD t s sd t s s s f x t f x t F x t s sd t D t s s s s s sηηηηη=-++=--+++=---+-=--+--≤-=- 满足滑模到达条件。
（5）终端滑模的收敛特性系统从任意初始状态到达滑模面的时间r t 为(0)r s t η≤系统沿滑模面到达原点的时间s t 为()/1()()p q p s s pt x t p q β-=-终端滑模控制器可使得系统从任意初始状态有限时间()r s t t +内收敛到原点。
（6）终端滑模控制奇异性问题现有的终端滑模控制器的设计方法存在控制奇异问题，即当系统处于状态空间的某个特定子空间时，终端滑模控制器的输出信号可能出现无穷大情况。
例如，在终端滑模控制策略1(/1)2ˆ(,)q p eq q u f x t x x p β-=--中，因为p>q ，所以(q-p)/p<0，在状态空间x1=0，x2≠0区域，等效控制无穷大，这是物理不可实现的。
4、非奇异终端滑模的控制方法（1）对于终端滑模的控制奇异性问题，现有的一种解决方法是在终端滑模和线 性滑模之间进行切换，或者令系统轨迹运动到一个预先指定的保证终端滑模控 制非奇异的区域，然而这些方法都是间接的。
冯勇等人提出一种非奇异 终端滑模控制方法，可直接从滑模设计方面解决上述问题。
（2）非奇异终端滑模通常可描述为2/11()p q s t x x β=+ 其中，β>0，p ，q 为奇数，且1<p/q<2。
（3）等效控制律为()()()eq n u t u t u t =+，其中，eq u 为等效控制项，n u 为非线性控制项。
（4）下面详细给出控制律的设计过程①当系统处于滑动状态时，暂且不考虑系统的参数摄动和外部扰动（()0d t =）， 由等效控制原理，如果达到理想的滑动模态，则()0s =x ，即()0s xs x t∂∂=⋅=∂∂x 对滑模s 求时间的一阶导数(/1)(/1)122222(/1)22(/1)(1/)(/1)2222(/1)(1/)222(/1)2ˆ((,)())ˆ((,)())ˆ((,)())ˆ((,)(p q p q p q eq p q p q p q eq p q p q eq p q eq p p s x x x x x x q q p x x f x t u t qp q p x x x x f x t u t q p q p q x f x t u t x x q p p x f x t u t q βββββββββ---------=+=+=++=++=++=+(2/)2))0p q q x p β-+= ②从而得到等效控制项为2(2/)ˆ(,)p q eq qu fx t x pβ-=--③为满足滑模到达条件，考虑系统的参数摄动和外部扰动，选取 Lyapunov 函数2()0.5()V t s t =④考虑系统的参数摄动和外部扰动,对 V(t)求时间的一阶导数(/1)222(/1)22(/1)(1/)(/1)2222(/1)(222()()()()(((,)()()()))(((,)()()()))((,)()()()p q p q eq n p q p q p q eq n p q p eq n p V t s t s t s x x x q p s x x f x t u t u t d t q p q p s x x x x f x t u t u t d t q p q p q s x f x t u t u t d t x q p βββββββ-------==+=++++=++++=++++2/)(/1)(2/)(2/)22(/1)2)ˆ((,)(,)()())ˆ((,)(,)()())q p q p q p q n p q n p q q s x f x t f x t x u t d t x q p p p s x f x t f x t u t d t qββββ----=--+++=-++⑤令非线性控制项()[(,)()]sgn()n u t F x t D t s η=-++ 控制增益为η>0通常用符号函数sgn(.)实现切换控制作用，且符号函数具有如下重要性质1,0sgn()1,0s s s >⎧=⎨-<⎩ sgn()s s s =则当滑模 s ≠0 ，V(t)的一阶导数(/1)2(/1)2(/1)2(/2ˆ()((,)(,)[(,)()]sgn()())ˆ(((,)(,))(,)sgn()()()sgn()sgn())ˆ(((,)(,))(,)()())p q p q p q p q p V t s x f x t fx t F x t D t s d t qp x s f x t fx t sF x t s d t sD t s s s q p x s f x t fx t s F x t sd t s D t s q p x q ηβηβηββ---=--+++=--+--=--+--≤-1)sη-当滑模 s ≠0 时，由于 p 、q 为奇数且 1<p/q<2，因此满足2/10p q x -≥ ，故0V ≤。