1910 1946 1984 1985 1986 1987
Harr Gabor Morlet Meyer,Daubecies Meyer Mallat
1988
Daubecies在NSF的小波专题研讨会进行了讲座。
Daubecies
小波理论与工程应用

Inrid Daubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波器 组(filter banks)之间的内在关系，使离散小波分析变成 为现实。 Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家在 把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献。 在信号处理领域中，自从Inrid Daubechies完善了小波变 换的数学理论和Stephane Mallat构造了小波分解和重构 的快速算法后，小波变换在各个工程领域中得到了广泛的 应用，典型的如语音信号处理、医学信号处理、图像信息 处理等。
(2) 子带编码



系统输入是一个一维的带限时间 离散信号x(n) 分析滤波器h0(n)和h1(n)是半波 数字滤波器，理想传输函数H0,H1 如下图所示。 H0低通滤波，输出x(n)的近 似值 H1高通滤波，输出x(n)的高 频或细节部分 综合滤波器g0(n)和g1(n) ˆ n 为重构的结果 x
G1 z H1 z 2 H 0 z H1 z P z G0 z H 0 z detH m z
H 0 z G0 z H1 z G1 z 2
G0 z H 0 z G0 z H 0 z
(2) 子带编码
4个8抽头Daubechies正交滤波器的冲激响应。 低通滤波器h0(n)的系数为：-0.010 597 40，0.032 883 01，0.030 841 38，0.187 034 81，-0.027 983 76，0.630 880 76，0.714 846 57，0.230 377 81。 其余正交滤波器参数可以通过公式计算获得。

滤波h0(n)的输出
h0 n* xn h0 n k xk H 0 z X z
k

整理
1 ˆ X ( z ) [ H 0 ( z )G0 ( z ) H1 ( z )G1 ( z )] X ( z ) 2 1 [ H 0 ( z )G0 ( z ) H1 ( z )G1 ( z )] X ( z ) 2
(1) 图像金字塔
图象的高斯近似值金字塔，分 辨率分别为：512×512， 256×256，128×128，64×64。 金字塔的分辨率越低，伴随 的细节越少; 低分辨率图像用于分析大的 结构或图像的整体内容，高分 辨率图像用于分析单个物体的 特性。 相应拉普拉斯预测残差金字塔， 分辨率分别为：512×512， 256×256，128×128，64×64。 从低级开始通过内插和滤波获 得高级高斯金字塔的预测残差 图象。
(a)
(b)
两种图像金字塔和它的统计特性。（a）高斯金字 塔（近似），（b）拉普拉斯金字塔（预测残差）
(2) 子带编码

子带编码也是多分辨率相关的重要图像技术 在子带编码中，一幅图像被分解为一系列限 带分量的几何，称为子带。


子带可以重组在一起无失真地重建原始图象。 每个子带通过对输入进行带通滤波而得到。 子带带宽小于原始图像带宽，子带可以进行无信 息损失的抽样 原始图象的重建可以通过内插、滤波、和叠加单 个子带来完成


小波变换是基于具有变化的频率和有限持续时间的 小型波进行的。它是多分辨率理论的分析基础。

多分辨率理论将多种学科的技术有效地统一在一起 ，其优势很明显—某种分辨率下所无法发现的特性 在另一种分辨率下将很容易被发现。

本章将从多分辨率的角度解释小波变换。
主要内容


背景 多分辨率展开 一维小波变换 快速小波变换 二维小波变换 小波包
小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。在信号处理、图
像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘探、流体 力学、电磁场、CT成象、机器视觉、故障诊断、分形、数值 计算等已有重大突破。
小波分析发展简史
时间 1822 标志性事件 Fourier变换，在频域的定位最准确，无任何时域 定位能力。如：δ函数，时域定位完全准确，频域 无任何定位能力。 提出规范正交基。 Gabor变换(STFT)，窗函数的大小和形状与时间和 频率无关而保持固定不变。不构成正交基。 提出连续小波变换。 提出离散小波变换。 Meyer证明了不可能存在时域频域同时具有正则性 的正交小波基，证明了小波的自正交性。 统一了多分辨率分析和小波变换，给出了快速算 法。 人物 Fourier
小波函数必须满足以下两个条件：
(1) 小波必须是振荡的； (2) 小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局 部化的。如：
图1 小波例1
图2 小波例2
小波变换具有良好的局部时频聚焦特性，而被称为“数学
显微镜”。
小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。从
数学来说是大半个世纪“调和分析”的结晶（包括傅里叶分 析、函数空间等）。
金字塔方框图
(1) 图像金字塔迭代算法
1. 2.
3. 4. 5.
初始化，原始图象大小2J×2J，j＝J j-1级，以2为步长进行子抽样，计算输入图像减 少的分辨率近似值——j-1级近似值，生成子抽 样金字塔。 对j-1级近似值进行步长为2的内插，并进行过滤 ，生成与输入图像等分辨率的预测图像。 计算输入图像和预测图像之间的差异，产生预测 残差金字塔。 重复2、3、4步骤。


（美）多布著，李建平译，小波十讲，国防 工业出版社 ，2011 孙延奎著，小波变换与图像、图形处理技术， 清华大学出版社，2012 朱希安，曹林编著，小波分析及其在数字图 像处理中的应用，电子工业出版社，2012
什么是小波？
时间A
时间B
“小波”（wavelet)就是一种“尺度”很小的波动，并 具有时间和频率特性。
基础级J的大小为N×N （J=log2N） 顶点级0的大小为1×1 第j级的大小为2j×2j （0j J） 共有J+1级，但是通常我们截 短到P＋1级，其中1 PJ
(1) 图像金字塔


J-1级近似输出用来建立近似值金字塔；作为金字塔基级的原 始图像和它的P级减少的分辨率近似都能直接获取并调整； J级的预测残差输出用于建立预测残差金字塔；近似值和预测 残差金字塔都通过迭代计算获得。





同样，以2为因子的内插对应的变换为 xn 2 n 0,2,4.. up x n X up z X z 2 其它 0 X(n)先抽样再内插得到 x ˆ n

ˆ z X
ˆ z X
1 2
X z X z

第二项含有－z，代表了抽样-内插过程带来的混叠
(2) 子带编码

对于输入的无失真重建，假定下列条件： H 0 z G0 z H1 z G1 z 0 消除混叠 消除幅度失真 H 0 z G0 z H1 z G1 z 2

矩阵表达
G0 z
g k h n k 1 g k h n k 2 n
n 0 0 0 0 k k
由性质，以及奇 次方相互抵消
g k h 2n k
0 0 k
g0 k , h0 2n k n
24
(2) 子带编码

将H0和G0表示成G1和H1的函数
(a)
(b)
（a）一维子带编码和解码的两频带滤波器组， （b）频谱分离特性
(2) 子带编码

序列x(n)的Z变换 X z xn z n


z 0,1,...

时域以2为因子的抽样对应到Z域 1/ 2 1/ 2 1 xdown n x2n X down z 2 X z X z
n 1
g 0 n 1 h1 n
&
g 0 n 1
n2 n
g1 n 1 h0 n
h1 n
分析调制矩阵
(2) 子带编码

证明分析滤波器和综合滤波器双正交
2 Pz G0 z H 0 z H 0 z H1 z detH m z detH m z detH m z
g i k , h j 2n k i j n i, j 0,1
g1 k , h1 2n k n g 0 k , h1 2n k 0 g1 k , h0 2n k 0
满足该条件的滤波器 组称为具有双正交性


傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换的基础函数是正弦函数。 小波变换基于一些小型波，称为小波，具有变化的频率和 有限的持续时间。
傅里叶变换与小波变换

傅里叶变换反映的是图像的整体特征，其频域分析 具有很好的局部性，但空间(时间)域上没有局部化 功能。 与傅里叶变换相比，小波变换是空间(时间)和频率 的局部变换，它通过伸缩平移运算对信号逐步进行 多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频 率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可 聚焦到信号的任意细节。
第七章 小波变换和多分辨率处理
张 萍 电子科技大学 光电信息学院 E-mail: pingzh@
参考资料
教材：
Rafael C. Gonzalez, etc，Digital Image Processing (Third Edition)，电子工业出版社， 2010
参考书籍：
(2) 子带编码

分析滤波器和综合滤波器满足上述条件，所 以具有双正交性