因此，电势法向微商有跃变
场 有限，则电位 必须为连续函数。
(2)
，因此：
在面电荷两侧，边界条件：
，
上两式相加，并代入偶极子内部关系
,得：
18.
19.
时
(1)先求格林函数
设点电荷电量 ，电荷所在点 的坐标为 ，场点坐标为 。见图所示
镜象电荷 的坐标为 ，带电量为
式中
以下展开所用公式
( )
( )
时
(2) ，因此
上式第一项，依以下公式
,
且 为奇数时，
同理 为奇数时
因此
式中
时，方法类似。
以下求电荷密度
5.
时：
时，
区域为等电势，因此
两边同乘 并求积分 ，利用勒让德多项式的正交关系
得
，
时，
因此，
6.
(1)先求无外场时的电位分布
依高斯定理：
时，
时，
因此， 时
(2)有外场时，依电位叠加原理得
，
，
时， ，得：
， 有限，得：
依边界条件： ，得
因此有
①
②
时，
依边界条件： ，得
因此
③
④
由式③得 ，代入式①得
( )
时，镜象电荷 ，位于z轴 处，因此
(2)
时，两情况相等。
11.
有三个镜像电荷，位置、电量分别为
,
,
,
12.
有三个镜像电荷，位置、电量分别为
,
,
,
13.
16.
处单个偶极子 产生的场
，式中： ，
因此：
①
上式代入式①得
17
(1)
， 分别为面自由电荷密度和极化电荷
密度
边界条件： 即：
，或：பைடு நூலகம்
得： ，或：
球外空间 ，电位 满足拉普拉斯方程
解为：
因此：
由 时， ，得
得： ， ， ，
3.
，
式中 ， 满足方程
，
解为： ，
时， ，得：
时， 有限，
因此： ，
依 ，
，得
因此 ，
4.
设介质球半径为
，
，
式中：
， 满足方程
，
时， ，得：
时， 有限，得
因此
依 得
①
， ②
因此：
依 ，得
③
， ④
依③得： ，代入①得：
依③、④得： ，
由式②、④得
，
7.
，
因此，
依 ，得
因此， ①
②
时，
因此，
稳恒时， ， ，
因此， ，即
因此， ③
④
由②、④两式得
由①、③两式得
，
8．
单独存在时的电位
依 ， 得：
因此：
令 ，则
9.
镜象在 处，电量为 。 点在导体球壳上，电位为零。因此：
，得：
，
感应电荷分布于内表面，总电量为
10.
(1)
导体球壳内表面感应电荷为 ，外表面电荷为 。因此，
第二章习题
1.
(1)
(2)
(3)
(4)
2.
(1)
边界条件：设未放置导体球时，原点电位为 ，任意点电位则为
球外空间 ，电位 满足拉普拉斯方程
解为：
放入导体球后：
因此
两边同乘 并求积分 ，利用勒让德多项式的正交关系
得： , , ,
故：
依 时， ，得
上式两同乘 并求积分 ，得： ， ，
，
故：
(2)
导体球单独存在时的空间电位