1 MOa第六章:平面图形的认识 第一节:直线、射线、线段 知识点1:概念 线段:一段拉直的棉线可近似地看作线段,线段有两个端点。 线段的画法:(1)画线段时,要画出两个端点之间的部分,不要画出向任何一方延伸的情况.(2)以后我们说“连结 ”就是指画以A 、B 为端点的线段. 射线:将线段向一个方向无限延长,就形成了射线,射线有一个端点。如手电筒、探照灯射出的光线等。 射线的画法:画射线 一要画出射线端点 ;二要画出射线经过一点,并向一旁延伸的情况. 直线:将线段向两个方向无限延长就形成了直线,直线没有端点。如笔直的铁轨等。 直线的画法:用直尺画直线,但只能画出一部分,不能画端点。 知识点2:线段、直线、射线的表示方法:
(1) 点的记法:用一个大写英文字母 (2) 线段的记法:①用两个端点的字母来表示 ②用一个小写英文字母表示 如图:
记作线段AB或线段BA, 记作线段a, 与字母顺序无关 此时要在图中标出此小写字母 温馨提示:线段是直线(或射线)的一部分;2.线段不可向两方无限延伸,但可度量;3.延长线常化成虚线;4.延长线段AB是指按A到B的方向延长,延长线段BA是指按B到A的方向延长. (3) 射线的记法:用端点及射线上一点来表示,注意端点的字母写在前面 如图:
记作射线OM,但不能记作射线MO 温馨提示:1.射线是直线的一部分;2.射线是像一方无限延伸,有一个端点,不能度量,不能比较大小;3.射线可作反向延长线,不存在射线的延长线。 (4) 直线的记法:①用直线上两个点来表示 ②用一个小写字母来表示
如图:
记作直线AB或直线BA, 记作直线l 与字母顺序无关。 此时要在图中标出此小写字母
知识点3:线段、射线、直线的区别与联系: 联系:三者都是直的,线段向一个方向延长可得到射线,线段向两个方向延长可得到直线,故射线、线段都是直线的一部分,线段是射线的一部分。 区别:直线可以向两方延伸,射线可以向一方无限延伸,线段不能延伸,三者的区别见下表:
BABAl2
BAa
MOBA
kBA
名称 图形 表示方法 延伸、度量情况 端点 长度 共同点
线段 线段AB(或线段BA)(字母无序) 线段a 不能延伸,可度量 两个 有 都是直线,非曲线 射线 射线AB(字母有序) 只能向一方无限延伸,不可度量
一个 无
直线 直线AB(或直线BA)(字母无序) 直线l 可像两方无限延伸,不可度量 无 无 知识点4:直线的基本性质(重点) (1) 经过一点可以画无数条直线 (2) 经过两点只可以画一条直线 直线的基本性质:经过两点有且只有一条直线(也就是说:两点确定一条直线) 注:“确定”体现了“有”,又体现了“只有”。 如图:
经过点K可以画无数条直线 经过点A、B只可以画一条直线 温馨提示:两条射线(或线段)未必一定有交点 知识点5:两点的距离 连接两点的线段的长度,叫做这两点的距离。它是线段的长度,是数量,不是线段本身 知识点6:两点的距离 连接所有两点的线中,线段最短,简述为两点之间,线段最短。
l3
2)1(nnN
知识点7:线段的中点 如图,若点C将线段AB分为线段相等的两条线段AC和BC,则点C为线段AB的中点 A C B 温馨提示:1.一条线段的中点只有一个;2.某一点要成为线段的中点必须同时满足两个条件:点必须在这条线段上;它把这条线段分成相等的两条线段。 知识点8:线段的计数问题 阅读下表:
(1)根据表中规律可得到线段总数N与线段上点数n(包括线段的两个端点)存在着如下的关系
第二节:角——余角、补角 知识点1:角的定义 角是有两条具有公共顶点的射线组成的。两条射线的公共点叫做这个角的顶点。两条射线叫做角的两边。角也可以看成时一条射线绕它的顶点旋转而成的。 温馨提示: 1.因为射线是向一方无限延伸的,所以角的两边无所谓长短,即角的大小与它的边长无关。 2.角的大小可以度量,也可以比较。 3.根据角的度数,角可以分成锐角、直角、钝角、平角和周角。 锐角:大于0小于90;直角:等于90;钝角:大于90小于180; 平角:等于180(不能说成平角就是一条直线);周角:等于360(不能说成周角就是一条射线) 4.两条射线组成的图形叫做角或者角是由一条射线旋转而成的,这两种说法都是错误的 知识点2:角的表示 ●通常用三个大写字母表示,表示顶点的字母在中间。●在不引起混淆的情况下,也可以用表示顶点的大写字母表示角。●也可以用希腊字母(α,β,γ)或数字表示角。 4
2)1(nn知识点3:角的度量 概念:以度、分、秒为基本单位的角的度量制,叫做角度制。 1°=60′,1′=60″ ,1°=3600″,1周角=360,1平角=180. 温馨提示:1.角的度、分、秒是60进制的。2.在进行度分秒运算时,由低级单位向高级单位转换或者由高级单位向低级单位转换,要逐级转换,不能越级。
知识点4:角平分线(见课本) 知识点5:角的计数问题 数角与之前数线段是同一类问题,同样可从角的顶点出发引出n条射线,共有角的个数为:
知识点6:余角、补角 余角:如果两个角的和是一个直角,那么这两个角互为余角,其中一个角是另一个角的余角 补角:如果两个角的和是一个平角,那么这两个角互为补角,其中一个角是另一个角的补角 性质:●同角或等角的余角相等。●同角或等角的补角相等。 温馨提示:●钝角没有余角;●互为余角和补角是两个角之间的关系;如:
180321,不能说他们3个角互补。●互为余角、补角只与角的度数有关,与
角的位置无关,只要他们的度数等于90或者180,那一定互为余角或者补角。 知识点7:方向角 1.定义:一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)××度。 2.度量:方向角系分由南北起算,角度值在零度及九十度之间。 3.表示方式:在角度值之前冠以南北字样,其后则书出东西字样。 正北:北偏东0度或者北偏西0度。 正南:南偏东0度或者南偏西0度。 正东:北偏东90度或者南偏东90度。 正西:北偏西90度或者南偏西90度。 东北:北偏东45度。 西北:北偏西45度。 东南:南偏东45度 西南:南偏西45度 知识点8:时针、分针的夹角 (1)普通钟表相当于圆,其时针或分针走一圈均相当于走过360°角;
(2)钟表上的每一个大格(时针的一小时或分针的5分钟)对应的角度是:3012360; (3)时针每走过1分钟对应的角度应为:5.06012360; 5
(4)分针每走过1分钟对应的角度应为:660360。 计算举例: 例1. 如图1所示,当时间为7:55时,计算时针与分针夹角的度数(不考虑大于180°的角)。 解析:依据常识,我们应该以时针、分针均在12点时为起始点进行计算。由于分针在时针前面,我们可以先算出分针走过的角度,再减去时针走过的角度,即可求出时针与分针夹角的度数。 分针走过的角度为:55×6°=330°
时针走过的角度为:5.2375.055307 则时针与分针夹角的度数为:5.925.2373306555.055307 例2. 如图2所示,当时间为7:15时,计算时针与分针夹角的度数(不考虑大于180°的角)。 解析:此题中分针在时针的后面,与上题有所不同,我们应该先算出时针走过的角度,再去减去分针走过的角度,即可求出时针与分针夹角的度数。
时针走过的角度为:5.2175.015307 分针走过的角度为:90615 则时针与分针夹角的度数为:5.127905.217 总结规律 从上述两例我们可以总结出规律如下:当分针在时针前面,可以先算出分针走过的角度,再减去时针走过的角度,即可求出时针与分针夹角的度数;当分针在时针后面,可以先算出时针走过的角度,再减去分针走过的角度,即可求出时针与分针夹角的度数。 用字母和公式表示:当时间为m点n分时,其时针与分针夹角的度数为:
(1)分针在时针前面:5.0306nmn (2)分针在时针后面:65.030nnm 依据此公式可以求出任意时刻时针与分针夹角的度数,计算起来非常便捷。如果题目中涉及到秒,我们可以先把秒换算为分,再套用上述规律和公式进行计算即可。
第三节:相交线与平行线
知识点1:直线的位置关系 在同一平面内直线与直线的位置关系只有两种:相交与平行。 知识点2:垂直 当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,他们的交点叫做垂足。