当前位置:文档之家› (完整版)第六章实数知识点总结

(完整版)第六章实数知识点总结

第六章实数
知识网络:
考点一、实数的概念及分类
1、实数的分类
2、无理数
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一点,归纳起来有四类
(1)开方开不尽的数,如32
,7等;
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如
3
π+8等;
(3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;
(4)某些三角函数,如sin60o 等(这类在初三会出现)
判断一个数是否是无理数,不能只看形式,要看运算结果,如0,16
π是有理数,而不是无理数。

3、有理数与无理数的区别
(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数;(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。

考点二、平方根、算术平方根、立方根
1、概念、定义
(1)如果一个正数x的平方等于a,即,那么这个正数x叫做a的算术平方
根。

(2)如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根(或二次方跟)。

如果,那么x叫做a的平方根。

(3)如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a 的立方根(或a 的三次方根)。

如果,那么x叫做a的立方根。

2、运算名称
(1)求一个正数a的平方根的运算,叫做开平方。

平方与开平方互为逆运算。

(2)求一个数的立方根的运算,叫做开立方。

开立方和立方互为逆运算。

3、运算符号
(1)正数a的算术平方根,记作“a”。

(2)a(a≥0)的平方根的符号表达为。

(3)一个数a的立方根,用表示,其中a是被开方数,3是根指数。

4、运算公式
4、开方规律小结
(1)若a≥0,则a的平方根是a a a
它们互为相反数,其中正的那个叫它的算术平方根;0的平方根和算术平方根都是0;
负数没有平方根。

实数都有立方根,一个数的立方根有且只有一个,并且它的符号与被开方数的符号相同。

正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0。

(2)若a<0,则a 没有平方根和算术平方根;若a 为任意实数,则a 的立方根是。

(3)正数的两个平方根互为相反数,两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。

考点三、实数的性质
有理数的一些概念,如倒数、相反数、绝对值等,在实数范围内仍然不变。

1、相反数
(1)实数a 的相反数是-a ;实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零)
(2)从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=-b ,反之亦成立。

2、绝对值
(1)要正确的理解绝对值的几何意义,它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离,数轴分为正负两半,那么不管怎样总有两个数字相等的正负两个数到原点的距离相等。

|a|≥0。

(2)若|a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0,零的绝对值是它本身。

(3)
⎩⎨
⎧<-≥)0()0(a a a a
3、倒数
(1)如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。

实数a 的倒数是1/a (a ≠0) (2)倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

考点四、实数的三个非负性及性质
1、在实数范围内,正数和零统称为非负数。

2、非负数有三种形式
(1)任何一个实数a 的绝对值是非负数,即|a|≥0; (2)任何一个实数a 的平方是非负数,即
≥0;
(3)任何非负数的算术平方根是非负数,即 ()。

3、非负数具有以下性质 (1)非负数有最小值零; (2)非负数之和仍是非负数;
(3)几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.
考点五、实数大小的比较
实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同:
(1)正数大于0,0大于负数,正数大于一切负数,两个负数比较,绝对值大的反而小;
(2)实数和数轴上的点一一对应,在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大;
(3)两个数比较大小常见的方法有:求差法,求商法,倒数法,估算法,平方法。

(4)对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

常用有理数来估计无理数的大致范围,要想正确估算需记熟0~20之间整数的平方和0~10之间整数的立方.
考点六、实数的运算
(1)在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算 (2)有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立
(3)实数混合运算的运算顺序与有理数的运算顺序基本相同,先乘方、开方、再乘除,最后算加减。

同级运算按从左到右顺序进行,有括号先算括号里。

(4)在实数的运算中,当遇到无理数时,并且需要求结果的近似值时,可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数,再进行计算。

二、典例剖析,综合拓展 知识点1:算术平方根 1.
1691的算术平方根为( ) (A )131 (B )-131 (C )±131 (D )(169
1)2
算术平方根的定义: 2.
169
1
的算术平方根可表示为 ,即 =
算术平方根的表示方法: (用含a 的式子表示) 3. -
169
1
有算术平方根吗?8的算术平方根是-2吗? 算术平方根具有 性,即⑴被开方数a 0,⑵a 本身 0,必须同时成立
4、已知115+的小数部分为m ,115-的小数部分为n ,则=+n m
跟踪练习: ① 式子
3+x 有意义,x 的取值范围
② 已知:y=5-x +x -5+3,求xy 的值
③ 043=-+-b a ,求a+b 的值
知识点2:平方根
1. 49的平方根是 ,算术平方根是 ,它的平方根可表示为 ; 2、
9的平方根是
3、快速地表示并求出下列各式的平方根
⑴1
16
9
⑵|-5| ⑶0.81 ⑷(-9)2
平方根的定义: 平方根的表示方法 (用含a 的式子表示) 平方根的性质: 4、如果一个数的平方根是1+a 和72-a ,求这个数
5.用平方根定义解方程
⑴16(x+2)2
=81 ⑵4x 2
-225=0
6、下列说法正确的是( ) A 、
16的平方根是4± B 、6-
表示6的算术平方根的相反数
C 、 任何数都有平方根
D 、2
a -一定没有平方根 知识点3:立方根
1. -8的立方根是 ,表示为 立方根的定义:
立方根的表示方法: (用含a 的式子表示) 2.说出下列各式表示的意义并求值: ⑴
3
512
.0-= ⑵-
3
729-= ⑶3
3
)2(-= ⑷(
3
8)3
=
3.如果
3
2-x 有意义,x 的取值范围为
立方根的性质:
4.用立方根的定义解方程
⑴x 3
-27 =0 ⑵2(x+3)3
=512
拓展提高: 1、已知
732
.13≈,
477.530≈,(1)≈300 ;(2)≈3.0 ;
(3)0.03的平方根约为 ;(4)若
77.54≈x ,则=x
2、已知
442
.133
≈,
107.3303
≈,694.63003≈,求(1)≈33.0 ;
(2)3000的立方根约为 ;(3)07.313
≈x ,则=x
知识点4:重要公式
公式一: ∵
2
2=
2
3=
2
4=
2
)
2(-=
2
)
3(-=
2
)
4(-=

2
a =
有关练习: 1.
2)71
(-= 2
1999=
2.如果2)3(-a =a-3,则a 的取值范围是 ; 如果
2
)
3(-a =3-a,则a 的取值范围是
3.数a,b 在数轴上的位置如图:
化简:2
)(b a -+|c+a|
公式二:
∵(
4)2
= (9)2
= (25
)2
=
∴2)(
a = (a ≥0)
综合公式一和二,可知,当满足a 条件时,
2a =2)(a
公式三: ∵ 3
3
2=
3
3
3=
3
3
4=
3
3
)2(-= 3
3
)3(-= 3
3
)4(-=

3
3
a = ;
随堂练习:化简:当1<a <3时,
2
)1(a - +3
3
)3(-a
公式四: ∵ (
3
8)3
= (327
)3
= (
3
125
)3
=
∴33
)(
a =
综合公式三和四,可知,当满足a 条件时,
3
3a =33)(a
公式五:
3
a -=
知识点五:实数定义及分类
无理数的定义: 实数的定义: 实数与 上的点是一一对应的
1、判断下列说法是否正确:
(1)实数不是有理数就是无理数。

( )(2)无限小数都是无理数。

( ) (3)无理数都是无限小数。

( )(4)根号的数都是无理数。

( )。

相关主题