解直角三角形
一、 复习目标
1.掌握直角三角形中锐角三角函数的定义。

2.熟记30°，45°，60°角的各三角函数值，会计算含特殊角三角函数的代数式的值。

3.能熟练运用勾股定理、直角三角形中两锐角互余及三角函数定义解直角三角形。

4.会用解直角三角形的有关知识解简单的实际问题。

二、自测导学：
1.在直角三角形ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝( )
A ．3sin 40°
B ．3sin 50°
C ．3tan 40°
D ．3tan 50°
2.在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝23，则AB 的长为________．
3. 若ααcos ,2
3
)90sin(则=
-ο=______. 4.如图，一堤坝的坡角∠ABC ＝62°，坡面长度AB ＝25米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB =500，则此时就将坝底向外拓宽多少米（结果保留到米，参考数据：sin620 ≈ ,cos620 ≈ ,tan500 ≈ ）
三、复习过程
（一）知识回顾
1.三角函数
（1）锐角三角函数的定义：
B
C
a
①
斜边
的对边
A
∠
叫∠A的正弦.记作sin A a
A
c
∠
==
的对边
斜边
②
斜边
的邻边
A
∠
叫∠A的余弦.记作cos A b
A
c
∠
==
的邻边
斜边
③
的邻边
的对边
A
A
∠
∠叫∠A的正切.记作
tan
A a
A
A b
∠
==
∠
的对边
的邻边
（1）解直角三角形的定义：
由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角)．
（2）直角三角形的边角关系
①三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
②两个锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
（3）解直角三角形的类型
3. 解直角三角形的应用
（1）仰角、俯角
如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上
方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
（2）坡度(坡比)、坡角
如图②，坡面的高度h和水平距离l的比叫做坡度(或坡比)，
即i＝tan α＝h
l
，坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
（3）方向角
一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达为北(南)偏东(西)多少度．如图③，A点位于O点的北偏东60°方向．
注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．
(二)典型例题
例1:已知2)cos (sin ,450ααα-<<化简οο. 解:|cos sin |)cos (sin 2αααα-=- αααcos sin ,450<∴<<οοΘ 比如ααα
ααcos sin ,2
3
cos ,2
1sin ,30<==ο. 再如οοοο50sin 40cos cos ,40sin sin ,40====ααα ααcos sin ,40cos 40sin <∴<οοΘ. 所以ααααsin cos |cos sin |-=-.
例2.如图，已知在Rt△ABC 中，∠ACB =90度，CD ⊥AB 于点D
，
AC =
AB =设∠BCD =α，那么cos α的值是_____.
B
解析：
90,=.cos ACB CD AB A BCD AC AB AC AB αα∠=⊥∴∠∠=∠==∴=
==o Q Q ，又 变式1．如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cos B ＝2
3
，
则BC 的长为( )
A ．4
B ．2 5 C. 181313 D. 1213
13
例3. 一艘轮船位于灯塔P 南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A 处，它向东航行多少海里到达灯塔P 南偏西45°方向上的B 处
（参考数据：3≈，结果精确到）
变式2．如图，从热气球C 处测得地面A ，B 两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A ，D ，B 在同一直线上，则AB 两点间的距离是( )
A ．200米
B ．2003米
C ．2203米
D ．100(3＋1)米
变式3．我国为了维护对钓鱼岛P(如图)的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同(AP ∥BD)，当轮船航行到距钓鱼岛20 km的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC＝5 km.轮船到达钓鱼岛P时，测得D处飞机的仰角为30°.试求飞机的飞行距离BD(结果保留根号)．
(三)课后作业 一、选择题
1.已知在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，AC ＝3，那么AB 的长为( )
A ．3sin α
B ．3cos α C. 3sin α D. 3
cos α
2.
3.在Rt△ACB 中，∠C ＝90°，AB ＝10，sin A ＝35，cos A ＝4
5，tan A
＝3
4
，则BC 的长为( ) A ．6 B ． C ．8 D ．
4．如图，要测量B 点到河岸AD 的距离，在A 点测得∠BAD ＝30°，在C 点测得∠BCD ＝60°，又测得AC ＝100米，则B 点到河岸AD 的距离为( )
A ．100米
B ．50 3 米 C. 200
3 3 米 D ．50米
5.如图，在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝30°，CD ⊥AB ，垂足为D ，
CD ＝1，则AB 的长为( )
A ．2
B ．2 3 C. 3
3＋1 D. 3＋1
二、填空题
6．βα,是锐角,且23)15cos(,23sin =-=
οβα,则3
βα+=______. 7.如图，某山坡的坡面AB ＝200米，坡角∠BAC ＝30°，则该山坡的高BC 的长为 米．
三、解答题
8.如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1 100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°，然后沿平行于AB的方向水平飞行×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB.。